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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程解的结构 第四节一、一、线性齐次方程解的结构线性齐次方程解的结构 二、线性非齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构 *三、常数变易法三、常数变易法 2021/8/61n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、线性齐次方程解的结构一、线性齐次方程解的结构（一）（一）n 阶线性微分方程阶线性微分方程的概念 一个n阶微分方程，如果其中的未知函数及其个阶导数都是一次的，则叫它为n阶线性微分方程阶线性微分方程，简称，简称n阶线性方程阶线性方程我们重点研究二阶线性
2、微分方程时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程.2021/8/62证毕（二）、线性齐次方程解的结构（二）、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边, 得(叠加原理) 定定理理1.思考：一般的n阶线性微分方程是否也有叠加原理2021/8/63说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/64定义定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关
3、, 否则称为线性无关线性无关.例如， 在( , )上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/65两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关( 无妨设线性无关常数注注:中有一个恒为 0, 则必线性 相关相关机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例:常数对于对于n个函数如何确定它们的线性相关性，有行列式个函数如何确定它们的线性相关性，有行列式wronsky理论理论20
4、21/8/66定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则数) 是该方程的通解.例如例如, 方程有特解且常数,故方程的通解为定理定理2. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为注注：n阶齐次线性方程的解构成阶齐次线性方程的解构成n维向量空间维向量空间2021/8/67二、线性非齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解 .证证: 将代入方程左端, 得复习 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/68是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如,
5、方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/69定理定理 3.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/610常数, 则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解, 是任意例例3.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/611例例4. 已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解 .解解:
6、是对应齐次方程的解, 且常数因而线性无关, 故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/612定理定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 注:定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 例例则则2021/8/613定理定理 5.是方程的特解,则的特解. 是是的特解. 是是其中是实值函数是实值函数例例是方程的特解,则是方程的特解。是方程的特解。2021/8/614*三三、常数变易法、常数变易法复习: 常数变易法: 对应齐次方程的通解: 设非齐次方程的解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 情形情形1. 已知对应齐
7、次方程通解: 设的解为 由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/615令于是将以上结果代入方程 : 得故, 的系数行列式是对应齐次方程的解P10 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/616积分得: 代入 即得非齐次方程的通解: 于是得 说明说明: 将的解设为 只有一个必须满足的条件即方程, 因此必需再附加一 个条件, 方程的引入是为了简化计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/617例例5.的通解为 的通解.解解: 将所给方程化为:已知齐次方程求利用,建立方程组: 积分得故所求通解为, 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/618情形情形2. 仅知的齐次方程的一个非零特解 代入 化简得设其通解为 积分得(一阶线性方程)由此得原方程的通解: 代入 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/619例例6.的通解.解解: 对应齐次方程为由观察可知它有特解:令代入非齐次方程后化简得此题不需再作变换. 特征根:设的特解为于是得的通解: 故原方程通解为 (二阶常系数非齐次方程二阶常系数非齐次方程)代入可得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/620部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
