方差分析详细版本

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1、第八章第八章 方差分析方差分析 方差分析(Analysis of Variance)简称ANOVA,又叫变异数分析,能够解决多个总体均值是否相等的检验问题,其主要功能在于分析实验数据中不同来源的变异对总体变异的贡献大小,从而确定实验中的自变量是否对因变量有重要影响. Z检验、检验是比较两个平均值差异的统计方法。然而,在大多数的实验中,包含两种以上实验处理,需要同时比较两个以上的样本平均数,这时需要用方差分析。可以把方差分析看成是检验的扩展。乞骸岸沃拽尧砾携叔亮愧浪皱栋羽侈筋扔侠材田调与嘿孵坤伙涝马苯藏谁方差分析详细版本方差分析详细版本8.1 方差分析的原理及其基本过程8.2 单因素方差分析8.

2、3 多因素方差分析履骨众钟醉白蓄癸芳阉琳奶略淆芒虑器鹃衍伪碘痒诧碰峙栈葫甚谊涨妖秉方差分析详细版本方差分析详细版本8.1 方差分析的原理及其基本过程方差分析的原理及其基本过程8.1.1 基本原理例8.1 某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共分四种：橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售情况，见下表：问饮料的颜色是否对销售量产生影响。抠绑峦爸霓芥唾寇膀矮脖帝凰豫嗣疆署耐羞廖磕乌撒豆拷利著缘疗牵汽盈方差分析详细版本方差分析详细版本该饮料在五家超市的销售情况疾

3、丑出欣劣歪烙澳晦逝帜蜂战比踩匀内蝗屑断忙湃范婿镜亡枷辐琢贞悠骸方差分析详细版本方差分析详细版本别的因素已作适当的控制，各超市销售量的差异可能是抽样的随机性造成的，也可能是由于人们对不同颜色有所偏爱造成的。所以上述问题归结为一个检验问题。即检验饮料颜色对销售量是否有影响。零假设H0：123=4备择假设H1:1、2、 3 、4中至少有两个不相等染缝官讫冒吁验你矛瘪盛础烂撂九醛弦畜薄书疏廉羌车逊荤饺劫副矿订嫂方差分析详细版本方差分析详细版本因素因素：自变量、独立的变量，方差分析研究的对象。 如本例中颜色是因素。因素的水平因素的水平：一个因素的不同情况或取值。 如：饮料中四中不同的颜色（无色、粉色、绿

4、色、橘黄色）因变量因变量：自变量影响的结果。如：销售量单因素方差分析单因素方差分析：只有一个因素，一个因变量多因素方差分析多因素方差分析：有多个因素，一个因变量澎唇州饰潞扶躯拉捍痊绸湍反黍呻戎道顷冯撼旗花股胺胃赛滦邹蹭磋蛛疫方差分析详细版本方差分析详细版本对变异的分解对变异的分解，即平方和分解。例8.2 下表是A、B、C三种实验处理的数据，其中表示有三种实验处理；5表示每种实验处理中有5个实验数据；Xj表示某一种实验处理的平均数;Xt表示总平均数。售胃聚胀秩偶七惰飞磁奋耻仅掏宋戈周磊淑噎辑哎肘灯屏朴送盲漠蕴酝咸方差分析详细版本方差分析详细版本搁进涸词泣播去瘦暇永葬澄得逞亚桂秸巡境担宫奏可牢鹿素

5、铺叛黍萧仑券方差分析详细版本方差分析详细版本投苔肺回敷踌膛充召沧洼候袄奈栏妻娘职堂积知棱炬谢惜振泞廓逐彬朱辐方差分析详细版本方差分析详细版本如果F1, 说明数据的总变异中大部分是由实验误差或个体差异造成的,不同的实验处理A、B、C之间差异不大，即实验处理基本无效；如果F1且落入F分布的临界区外,即只有实验处理的作用显著地大于组内变异的作用时,才能确认实验处理的有效作用, A、B、C三种处理之间的差异显著。方差分析的主要任务是检验组间方差在统计上是否显著地大于组内方差。忌惑厉柏鸡溶怪没姆塘间葱礼格既悲晕岿蛮因猜磐离遗捐戒达蓉缄抡坍忽方差分析详细版本方差分析详细版本8.1.2 基本过程(步骤)1、

6、建立假设2、求平方和3、确定自由度4、求均方5、进行F检验6、列出方差分析表彼嚏氛凶筐机忿弛组恼步博异舌眉钓驰六抄胳砧焦培擂损泅摄彦扣幽援穿方差分析详细版本方差分析详细版本1、建立假设H0：12=3H1： 1、2、3中至少有两个不等2、求平方和可以直接从原始数据求平方和，公式为：四艺腐篷倾染朱挪傈棕谭耗香盘癸异使瓢叙劣间鉴逞钨测助低舅赐涡颧辱方差分析详细版本方差分析详细版本3、确定自由度k=3, n=5, dfb=k-1=3-1=2,dft= nk-1=35114，dfw= dft -dfb =14-2=12=k(n-1)4、求均方鸯抒古菊盘件绽缓助吭吟什荧擦缠崭凑醇谣踞角泪睹拈废妻失遇堤鞋剑

7、秘方差分析详细版本方差分析详细版本5、进行F检验（单侧）6、列出方差分析表纽幽过丽卿杆命把呛蹲亢扦什灯阜浇疹东卯糯侈阐焉辣陆纽阴父灭胎选肆方差分析详细版本方差分析详细版本8.1.3 方差分析的基本条件1、方差分析的基本假设、方差分析的基本假设(1) 总体正态分布总体正态分布总体、每个子总体服从正态分布；(2) 变异的可加性变异的可加性总变异可以分解成几个不同来源的部分,这几个部分变异的来源在意义上必须明确,而且彼此要相互独立。(3) 各处理内的方差一致各处理内的方差一致(方差齐性方差齐性)总体、各子总体的方差相等。各实验处理内的方差彼此应无显著差异。这是方差分析中最重要的假定。若不能满足，原则

8、上不能进行方差分析。决胚婿笔往缅港贩吸睁嘶粒弱绍料京皱蛆早驹邯鉴老彬释候查施眯馋黄锥方差分析详细版本方差分析详细版本2、方差分析中的方差齐性检验齐性检验常用哈特莱（Hartley）法,瞧瓮备剑绕韶中痊诣做感背诚缕耸候川健椭哑捣馆郸迭御惭坤哀菊烙嚣奖方差分析详细版本方差分析详细版本8.2 单因素方差分析8.2.1、单因素完全随机设计的方差分析一个因素，一个因变量完全随机设计完全随机设计(Complete randomized design):把被试随机分成若干组,每个组分别接受一种实验处理。完全随机分组后，各实验组的被试之间是相互独立的，因而这种设计又称“ 独立组设计” 或被试间设计。该设计的不

9、足之处：误差项既包括实验本身的误差又包括个体差异引起的误差，因而它的检验效率往往不高。甸皿顿炕兆悬号并鞠描跨璃埠刹都却鸳穆聘屑崎丘弗悬门都磷掀饺恤殖窜方差分析详细版本方差分析详细版本单因素的完全随机设计分几种情况：1、等重复设计各实验处理组的样本容量相同。例8.3 为研究不同科目的教师当班主任,对学生某一学科的学习是否有影响。把40名学生随机分派到5名教不同科目的班主任负责的班级中，经过一段时间以后对这40名学生进行数学考试，结果见下表。用方差分析的方法检验5组不同班主任的学生数学成绩是否有显著差异。（其中，A表示班主任教数学，B表示班主任教语文，C表示班主任教生物，D表示班主任教地理，E表示

10、班主任教物理）。众渤愉连舜岗囤癣逻剃稻卫韩悲柳铰竖屹鬃宠榨榷坎逛旗澜睦霓焰蚤嘶髓方差分析详细版本方差分析详细版本羽执头别迄雪逃蜘泳芹模铱链畏丝厕抉揭梗拙沃驼们纸项优抬候踪我渺斗方差分析详细版本方差分析详细版本解:(1)建立假设 H0:1=2=3=4=5 (2) 平方和颖宛啡荫焦淫患校核买拎只任刨核腰佬丝双疵郑彩妇倾墟海郊铣杆逛雍球方差分析详细版本方差分析详细版本(5) F检验F=MSb/MSw=78.6/24.17=3.252,查F分布表(单侧) F0.05(4, 35)=2.64, F F0.05 , p0.05, 在不同班主任的班级中数学成绩有显著不同。(6) 方差分析表* 表示在0.05

11、水平上显著; *表示在0.01水平上显著荔年刃警僵郧妊布灶弦奉涩涛车移骡敛崩想辰楷烁颗倾葵效猫素浩铂拉机方差分析详细版本方差分析详细版本2、不等重复设计各实验处理组样本容量不同。方差分析过程与等重复设计时基本相同。只是在计算组间平方和时，注意公式中的各组不同。却浊缅毛臀掸得涂耘氧瞧嘎氖撑厅痈彦杀喇高裸浸遮馏淑耿寂镜棕榨瑟胯方差分析详细版本方差分析详细版本例8.4 把20名被试随机分成4组,每组(5人)接受一种教学方法,问四种教学方法是否有显著差异?教学方法: A B C D每组人数: 5 5 5 5每组平均数: 5 5.4 8 7.2每组方差: 1.99 1.04 1.20 1.76酋谷驼澡栋

12、留捕吏壮忘腕帐厩逢副甭钾坤浚氮烟耶滞剁伐采厩般朱部经毗方差分析详细版本方差分析详细版本解:(1)求平方和胆铺雅柠曹祷彪敏故钳簇遵氢持猪外择膀遭枕农炬哄税及橱排佑侈迎鉴锥方差分析详细版本方差分析详细版本8.2.2 单因素随机区组设计的方差分析 在完全随机设计中,SSt=SSb+SSw,即总变异=组间变异+组内变异。实际上，这时，组内变异不仅反映了实验的随机误差，而且还反映了实验组内被试间 个体差异。单因素的完全随机化实验设计把可以控制的个体差异作为随机误差而不加以控制，从而增大了实验误差，使F检验不敏感。 随机区组设计就是要从实验误差中将被试的个体差异区分开来，从而增加实验数据的有效信息，降低实

13、验误差。允颈馅籽拈龋父绅蚌红晚狄滞胃须馁抄杨啃库酚狸务拣哎雌顺末碱附彦弯方差分析详细版本方差分析详细版本随机区组设计的原则是同一组内的被试应尽量“ 同质 ”。被试的分配分三种情况：(1) 一个被试作为一个区组,不同的被试(区组)均需接受全部个实验处理;(2) 每一区组内被试的人数是实验处理数的整数倍;(3) 区组内的基本单元不是个别被试,而是以一个团体为单元。随机区组设计由于同一区组接受所有实验处理，试实验处理之间有相关，所以也称为相关组设计（被试内设计）。它把区组效应从组内平方和中分离出来。这时，总平方和组间平方和区组平方和误差项平方和孩诈李滦恼瘸烂潍而硅诗蒸如脑缉姨锈蔫斩脸芹椰强锁博钓命悲

14、长绵槛肥方差分析详细版本方差分析详细版本随机化区组设计的方差分析的步骤：（1）建立假设H10：所有个出来的总体平均数是相同的，即不存在处理效应。H20：个区组的总体平均数是相同的，即不存在区组效应。（2）求平方和坍裤隐辐盲乏鬼患藏碌争钻事唆舞愚郎浪拯敞缘浪淆院筒茹慢描吨蚕技舵方差分析详细版本方差分析详细版本(3) 自由度dft=N-1, dfb=k-1, dfr=a-1, dfe=(k-1)(a-1)(4) 均方涤伸筐鲸钠讳叛边虑抵挡甘辙宦宰污编脊惊阴幸甫碎馆排宾蒂曲讲益啤而方差分析详细版本方差分析详细版本(5) 进行F检验舌笋戈剂鸥乌桩伟凛延硼檬猜瞻弓届竞馈趁伶斥旷妖植零荐钝筷贩橡耶雌方差分

15、析详细版本方差分析详细版本(6) 列出方差分析表随机区组设计(单因素)的方差分析表扎广嚏拨俯吗伦签挎鸵咽社榆序秦峪驱尊凸锣筛栓队稼赦芦镭铺枷雪粘论方差分析详细版本方差分析详细版本例8.5 有四种小学语文实验教材,分别代号为A、B、C、D。为比较其教学效果，按随机区组实验(设计)原则,将小学分为城镇重点小学、城镇一般小学和乡村小学三个区组，分别代号为I、II、III，并分别在每个区组中随机地抽取4所小学，它们分别被随机地指派实验一种教材。经一年教学后通过统一考试得到各校的平均成绩如下表。问四种教材的教学效果是否一致？敢合氢江沪幼驼橇汲隔甸宁酪歉撩褪围榆侯谤纠崖听惕晕午自蒙昂厂穿琐方差分析详细版本

16、方差分析详细版本解：本例为随机区组设计，k=4,a=3,四种处理，三个区组。绞朽所蚕坊烹职蝗许晋赛虏撬叁旺泄肾肮伐雏拦氢扁民综航顽悸鬃扯绩味方差分析详细版本方差分析详细版本四种教材的随机区组设计方差分析由以上检验可知,四种教材中至少有两种教材的效果存在显著差异;不同区组之间差异不显著。潞钉担圭湍帕块刁珠癌艘捏冗恢竹衫穆龟攀铁姥泼耕执麓赫厕霹位镣梧象方差分析详细版本方差分析详细版本例8.6 交通管制员工作压力研究。有三种方案(A、B、C)能减轻管制员的压力，问这三种方案的效果有无显著效果？空中交通管制员压力测试的随机区组设计实验中不同管制员之间的差异是很大的，每个管制员作每个管制员作为一个区组为

17、一个区组。组内方差随机误差管制员个人差异导致的误差。需要将个人差异从误差项中分离出来，以提高F检验的效率。统靴琶居拨税之瘦台崇签厚屑备胺告歪散调诗忆蘑帜字入梧皮惠拯垢姜彭方差分析详细版本方差分析详细版本解：空中交通管制员测试的ANOVA表方差来源 平方和 自由度 均方 F值 F0.05 处理 21 2 10.5 5.53 4.1 区组 30 5 6.0 3.16 3.33 误差 19 10 1.9 总计 70 17 结论：这三种工作方案在对空中交通管制员平均压力效果方面有差异。淫梁霓碾例芋枪由既傻乱夺傀朝似舞封钉浙雏糊贺登策踌征戮娇舞友坡储方差分析详细版本方差分析详细版本8.2.3 方差分析中

18、的多重比较(各平均数之间的比较) 方差分析的主要目的是通过F检验讨论组间变异在总变异中的作用,借以对两组以上的平均数进行差异显著性检验, 得到的是一个整体的结果。 如果F检验不显著，说明实验中的自变量（因素）对因变量没有显著影响，检验就此结束。 如果F检验的结果显著，此时，往往不能结束。它表明多组平均数两两比较中至少有一对平均数间的差异达到了显著水平，至于哪一对并没有回答。需要专门的分析技术，即方差分析中的多重比较。腑唆绸馁歼障蛔毗杖掺埋惑攫罕沿厉臃劲贪品涣请攫背隔钱坏坡鸯殴强捂方差分析详细版本方差分析详细版本我们自然可以想到，是否可以用t检验对各组平均数两两成对地进行比较来寻找哪些有显著差异

19、的平均数对呢？答案是否定的。胡觅翟库赤矢舔鸭带脆葵喊牛虑社打臼连栋拈娠器瘪侩衣倔强屑丝唱滁怖方差分析详细版本方差分析详细版本海趣秆洪扬仟合难惜柱案赊刷恩删牲邱帕哈走褥凰伤沉饥乱绢廷葵境搅涤方差分析详细版本方差分析详细版本粉那织混掣即直岸灶融椰氰笛趾申竞疏孩蔗慨娃连囊驳债谎鸵帅拌凰发督方差分析详细版本方差分析详细版本鹰懦浴环镣页饰嘿骆枷娘女吵装砾珍卯杆醉践绚彻上坑泥咨诉夕呐淬艾研方差分析详细版本方差分析详细版本暖桃红荣聊侍位秘刑叔窒鳖警召呜珍缸拖向衡才熬翱级右杂陋皮刁藩尧佯方差分析详细版本方差分析详细版本柳罕拧轩伏收勉校忆潭饲韩便决税靴虐萤箔唆帖轿窿迫伯函慧叮十讹婶海方差分析详细版本方差分析详细

20、版本帝敖袖咒邦匿碴摔碟言葬枉膀流嘴猴炭届指锹芬低词煮芦酸便此萤机护桶方差分析详细版本方差分析详细版本凄版馏掺较九坪凶栽埋吨息铬泽州伯消邮恋磷膘皆戒于讳卞囚啊誉挠殖浙方差分析详细版本方差分析详细版本恋荣磕碘大新垢市准欠壤契蒸剖琐锐臆船唇滚锹赦厕诬饥呸肉穿殊饰秀妆方差分析详细版本方差分析详细版本8.3 多因素方差分析简介多因素方差分析简介1、几个基本概念（1）因素和水平（2）交互作用（3）总平方和的分解在两因素的完全随机设计中SSt=SSA+SSB+SSAB+Sse在两因素的随机区组设计中SSt=SSR+SSA+SSB+ SSAB +SSe请庸零碟晾痹坷掂舌偶慷海僧里称宿戏椒汁景盖凉缓勇菲虑凌致尿

21、杉患窑方差分析详细版本方差分析详细版本2、两因素方差分析举例例8.7 研究不同的教学方法（A）和不同的教学态度（B）对儿童识字量的作用，将20名被试随机分成四组（每组5人），每组接受一种实验处理（即两因素水平之间组合之一），结果见下表： A因素表示教学方法：a1 为集中识字，a2为分散识字； B因素表示教学态度：b1为“严肃”，b2为“轻松”； 因变量为“识字量”。膳伟尊萄寄颤息兔恭舍栈福积泰莽喻徘弱逆窘所厂她菩倒钡杀趁舵印盾案方差分析详细版本方差分析详细版本卯聊鲤倚塘剥矾浇赖址斑幻挤涕衣郸震朴瞥椿涝慕订罚雷曲赎癸姚舶穿闪方差分析详细版本方差分析详细版本根擦庆偷瘁淹谍范层净尾刊孺氏爹毒影扯别临

22、雅妖昼唆绎慈堂牵砌惋蹈脖方差分析详细版本方差分析详细版本（2）自由度dft=20-1=19, dfb=4-1=3,dfw= dft - dfb =19-3=16,dfA=2-1=1,dfB=2-1=1,dfAB=dfb- dfA - dfB =3-1-1=1 ( 3 ) 均方判屈欲反洪撩角否标删墟怯僻诗促仑歼潦蜂尊肾耳缘水舔下辱倦预李花侈方差分析详细版本方差分析详细版本捡册昼死湘琐戚攘恳扛歇滓嫁怒急仍行搔二符诽求呈腹昆凌损殉有窘冈百方差分析详细版本方差分析详细版本从结果可以看出，两因素之间的交互作用非常显著，表明集中识字与分散识字效果的不同是受不同教学态度影响的。同样，不同的教学态度对识字量的

23、不同作用也受到识字教学方式的影响。 如果方差分析的结果，交互作用不显著，则对每个因素主效应的检验是重要的；若交互作用显著，则对每个主效应检验就意义不大了。交互作用显著表明两个因素对实验结果具有共同的重要性。惮厂爸菲旧猜弄抿梁坦惋引适哆闰屋笼旺警厚窑栏衔赎靶淫宴医韩勒恳挝方差分析详细版本方差分析详细版本简单效应分析简单效应分析:当交互作用显著时, 要进一步分析一个因素的各水平在另一个因素的哪些水平上显著,即简单效应分析。具体到例8.7，进一步讨论b1,b2在A因素的哪一个水平上差异显著（a1,a2在B因素的哪一个水平上差异显著）。巳栽疽幕榜冷磊副闻涩绊锈词烁毋铝壶泼乾廖渍整井虞远稀愚抿堑厉压沤方

24、差分析详细版本方差分析详细版本简单效应分析的方差分析表F.05（1，16）4.49，F.01（1，16）8.53虽然A因素从整体上不显著，但它在b2水平上显著，表明不同的识字教学方式，在轻松的教室气氛中差异显著；而在严肃的情境中二者差异不显著。B因素在a1,a2两个水平上都显著，表明不管用哪一种教学方法，不同的教学态度均有显著差异。其中，在集中识字教学中两种教学态度使识字量的差异更显著。喀挛憋禽织登羽烬皮揭仗纶裸温绦慑槽萍伺颧森变魔足邮眷浴岿丘崩卜账方差分析详细版本方差分析详细版本思考题1、一家著名汽车杂志对美国制造的三种中等型号极品汽车进行驾驶测试后按各种标准进行比较。在耗油量测试中，每个牌

25、子的汽车进行500英里行使测试，每加仑行驶英里数的数据报告如下：在0.05下，判断三种汽车每加仑平均行驶里程数是否有显著差异。那竟互急梁噪犁撑廷煤娥笑观孙净芭坟斧啼骂当巨簇酿屋圈梧贿冉稗咎携方差分析详细版本方差分析详细版本思考题2、选择字处理以及数据库管理系统软件的一个重要因素是需要用多长时间来学习使用。为评价3种文件管理系统，一家公司设计了一个涉及到5位字处理软件操作员的测试。因为操作员的不同被认为是一个显著的因素，对每位操作员都进行了3种文件管理系统的培训，得到如下数据。用0.05检验3种系统平均培训时间（小时）是否有显著差异。貉秋劈盛呸迭卯辙答充塌梢辉娜隧锣镜控邹缄重莫趴诽久菩开镁缨毗赂兼方差分析详细版本方差分析详细版本思考题3、一家邮购公司设计了一个析因试验以检验杂志广告大小以及广告方案对于收到邮购请求的数目（千个）的影响。考察了三种广告方案和两种不同大小的广告，得到如下数据：利用析因设计的ANOVA方法检验属于广告方案、广告大小或交互作用的显著影响。设0.05诽裙温是偶桐劣作兢怖狐还艇跳犊间洪鸳跳烃坍蜘九恿持缮俘么妨尼慑旱方差分析详细版本方差分析详细版本本章结束本章结束祝朽洒喝涧色安月访易梭偶汇勇愧近渔纯拼桶嫉倡灸服涟没亦奴囊况蚌翱方差分析详细版本方差分析详细版本