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1、1.2.3 1.2.3 空间几何体的直观图空间几何体的直观图 上图是浙江省台州的斑上图是浙江省台州的斑马线披上的马线披上的“立体彩装立体彩装”. 画在地面上的斑画在地面上的斑马线怎么会产生出了马线怎么会产生出了立体感觉？立体感觉？ 如何把立体图形如何把立体图形画在纸上？画在纸上？这些图形给人以立体的感觉，怎么才能画出呢？这些图形给人以立体的感觉，怎么才能画出呢？ 三视图是用平三视图是用平面图形表示空间图面图形表示空间图形的一种重要方法，形的一种重要方法，但三视图的直观性但三视图的直观性较差，如何绘制空较差，如何绘制空间图形的直观图呢间图形的直观图呢？立体几何中常用平行投影立体几何中常用平行投影
2、( (斜投影斜投影) )来画空间图形的来画空间图形的直观图，这种画法叫做斜二测画法直观图，这种画法叫做斜二测画法1.1.平行性不变，但形状、长度、平行性不变，但形状、长度、夹角会改变夹角会改变. . 2.2.平行直线段或同一直线上的平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变两条线段的比不变. . 3.3.在太阳光下，平行于地面的在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变直线在地面上的投影长不变投影规律投影规律例例1 1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. .注意：画水平放置的平面图形的关键是确定多边形顶注意：画水平放置的平面图形的关键是确定多
3、边形顶点的位置点的位置画法：画法：(1)(1)在正六边形在正六边形ABCDEFABCDEF中，取中，取ADAD所在直线为所在直线为x x轴，轴，对称轴对称轴MNMN所在直线为所在直线为y y轴，两轴交于点轴，两轴交于点O O画相应的画相应的xx轴，轴，yy轴，两轴相交于点轴，两轴相交于点OO，使，使 xo y=45.xo y=45.建系时要尽量考建系时要尽量考虑图形的对称性虑图形的对称性(2)(2)以以OO为中点，在为中点，在xx轴上取轴上取AD=ADAD=AD，在，在yy轴上取轴上取以点以点NN为中点，画为中点，画BCxBCx轴，并且等于轴，并且等于BCBC；再以；再以MM为中为中点，画点，
4、画EFxEFx轴，并且等于轴，并且等于EF.EF.注意：水平放置的线段长不变，竖直放置的线段长注意：水平放置的线段长不变，竖直放置的线段长变为原来的一半变为原来的一半 并擦去辅助线并擦去辅助线xx轴和轴和yy轴，便获轴，便获得正六边形得正六边形ABCDEFABCDEF水平放置的直观图水平放置的直观图(3)(3)连接连接请你总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法请你总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤步骤.【变式】【变式】1.1.已知水平放置的已知水平放置的ABCABC按按“斜二测画法斜二测画法”得到如图所示的直观图得到如图所示的直观图,BO=CO=1,AO= ,BO=CO=1,AO=
5、 , ,那么原那么原ABCABC是一个是一个( () )A.A.等边三角形等边三角形B.B.直角三角形直角三角形C.C.三边中只有两边相等的等腰三角形三边中只有两边相等的等腰三角形D.D.三边互不相等的三角形三边互不相等的三角形【解析】【解析】选选A.A.由已知得由已知得ABCABC中中AOBCAOBC，BO=CO=1BO=CO=1，AO= AO= ( (如图如图) )，所以，所以BC=2BO=2BC=2BO=2，AB=AC= AB=AC= 所以所以AB=AC=BCAB=AC=BC，所以，所以ABCABC是等边三角形是等边三角形. .斜二测画法的步骤斜二测画法的步骤(1)(1)在已知图形中取互
6、相垂直的在已知图形中取互相垂直的x x轴和轴和y y轴，两轴相交轴，两轴相交于点于点O.O.画直观图时，把它们画成对应的画直观图时，把它们画成对应的xx轴与轴与yy轴轴，两轴交于点，两轴交于点OO，且使，且使xoy=45xoy=45（或（或135135），它们确定的平面表示水平面），它们确定的平面表示水平面(2)(2)已知图形中平行于已知图形中平行于x x轴或轴或y y轴的线段，在直观图中轴的线段，在直观图中分别画成平行于分别画成平行于xx轴或轴或yy轴的线段轴的线段(3)(3)已知图形中平行于已知图形中平行于x x轴的线段，在直观图中保持原轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于长度不变，
7、平行于y y轴的线段，长度为原来的一半轴的线段，长度为原来的一半【提升总结提升总结】斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？在实如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？在实际画图时用什么方法？际画图时用什么方法？斜二测画法斜二测画法( (二二) ) 空间几何体的直观图的画法空间几何体的直观图的画法对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确定底面外的点的位置？标确定底面外的
8、点的位置？x xo oy y例例2 2 用斜二测画法画长、宽、高分别是用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm4 cm、3 cm3 cm、2 cm2 cm的长方体的长方体ABCD-ABCDABCD-ABCD的直观图的直观图. .DDA AB BC CD DAABBCC画法：画法：（1 1）画轴）画轴. .画画x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴，轴，三轴交于点三轴交于点O O，使，使xOy=45xOy=45，xOz=90.xOz=90.（2 2）画底面）画底面. .以点以点O O为中心，在为中心，在x x轴轴上取线段上取线段MNMN，使，使MN=MN=_cmcm；在；在y y轴轴上取线段上取线段
9、PQPQ，使，使PQ=PQ=_cmcm，分别，分别过点过点M M和和N N作作y y轴的平行线，过点轴的平行线，过点P P和和Q Q作作x x轴的平行线，设它们的交点轴的平行线，设它们的交点分别为分别为A A，B B，C C，D D，四边形，四边形ABCDABCD就是长方体的底面就是长方体的底面ABCD.ABCD.4 41.51.5(3)(3)画侧棱画侧棱. .过过A A，B B，C C，D D各点分别作各点分别作z z轴的平行线，并在这些轴的平行线，并在这些平行线上分别截取平行线上分别截取2 cm2 cm长的线段长的线段AA,BBAA,BB，CC,DD.CC,DD.思考思考2:2:怎样画底面
10、是正三角形，且顶点在底面上的怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥？投影是底面中心的三棱锥？M Mz zB B C CA AS Sy y O Ox xB BC CA A S SA AB BC C画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？画轴画轴 画底面画底面成图成图画侧棱画侧棱分析：分析：由几何体的三视由几何体的三视图知道，这个几何体是图知道，这个几何体是一个简单组合体一个简单组合体. .它的它的下部是一个圆柱，上部下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面的底面与圆柱的上底面重合重合. .我
11、们可以先画出我们可以先画出下部的圆柱，再画出上下部的圆柱，再画出上部的圆锥部的圆锥. .例例3 3 如图已知几何体的三视图，用斜二测画法画如图已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图出它的直观图. .正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图A AB BAABB相应的相应的P PP PA AB BAABBO OO O1.1.如图所示如图所示: :正方形正方形OABCOABC的边长为的边长为1,1,它是水平它是水平放置的一个平面图形的直观图放置的一个平面图形的直观图, ,则原图形的周长为则原图形的周长为( ) ( ) 【解析】【解析】1.1.由斜二测画法可知由斜二测画法可知, ,对应的对应的B
12、B点应在直角坐标系的点应在直角坐标系的y y轴上且轴上且|OB|= ,|OB|= ,点点A A在在x x轴的正半轴上且轴的正半轴上且|OA|=1,|OA|=1,原图形如图原图形如图: :四边形四边形OABCOABC为平行四边形为平行四边形,AB= ,AB= 所以其周长为所以其周长为8 8答案答案: :8 82.2.已知已知ABCABC的斜二测直观图的斜二测直观图ABCABC是边长为是边长为a a的正三角形的正三角形, ,求求ABCABC的面积的面积. .【解析】【解析】如图甲所示为直观图如图甲所示为直观图, ,乙为实际图形乙为实际图形, ,取取BCBC所在直线所在直线为为xx轴轴,BC,BC中
13、点中点OO与与OxOx成成4545的直线为的直线为yy轴轴, ,过过AA点点作作ANOx,ANOx,交交yy轴于轴于NN点点, ,过过AA点作点作AMOy,AMOy,交交xx轴于轴于MM点点. .则在直角三角形则在直角三角形AOMAOM中中, ,因为因为OA= a,AMO=45,OA= a,AMO=45,所以所以MO=MO=AO= a,AO= a,所以所以AM= a.AM= a.如图乙，在直角坐标系中，在如图乙，在直角坐标系中，在x x轴上方轴上方y y轴左侧取到轴左侧取到x x轴距离轴距离为为 a a，到，到y y轴距离为轴距离为 a a的点的点A A，在，在x x轴左侧取轴左侧取OB=OB
14、,OB=OB,右侧取右侧取OC=OC,OC=OC,连接连接ABAB，AC.AC.则则ABCABC即为所求，显然即为所求，显然S SABCABC= =【规范解答】【规范解答】如图如图, ,由斜二测画法原理知由斜二测画法原理知, ,原梯形与直观图中的梯形原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的上下底边的长度是一样的, ,不一样的是两个梯形不一样的是两个梯形的高的高. .原梯形的高原梯形的高OCOC是直观图中是直观图中OCOC长度的长度的2 2倍倍,OC,OC的长度是的长度是直观图中梯形的高的直观图中梯形的高的 倍倍. .由此知原梯形的高由此知原梯形的高OCOC的长度是直的长度是直观图中梯形高的长度的观图中梯形高的长度的2 2 倍倍故其面积是梯形故其面积是梯形OABCOABC面积的面积的2 2 倍倍, ,因为梯形因为梯形OABCOABC的面积为的面积为 , ,所以原梯形的面积是所以原梯形的面积是4.4.D
