《第一章矢量分析与场论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章矢量分析与场论（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章第一章 矢量分析与场论矢量分析与场论标量场和矢量场标量场和矢量场梯梯度、散度、旋度度、散度、旋度矢量场的初等运算矢量场的初等运算矢量场的微、积分矢量场的微、积分 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理场的图示法场的图示法1.1 1.1 常用坐标系（正交系）常用坐标系（正交系） - -x x X=C X=C；是一截距为是一截距为C C且与且与X X轴轴的平面的平面直角直角 x,y,z -x,y,z -y y Y=C Y=C；是一截距为是一截距为C C且与且与Y Y轴轴的平面的平面 -z z Z=CZ=C；是一截距为是一截距为C C且与且与Z Z轴轴的平面的平面 0 0 = =C C；是一是一Z Z轴为轴
2、心半轴为轴心半径为径为C C的柱面的柱面圆柱圆柱 , , , ,z z 0 0 2 2 =C=C；是一过是一过Z Z轴的半轴的半平面（子午面）平面（子午面） -z z Z=CZ=C；是一截距为是一截距为C C且与且与Z Z轴轴的平面的平面 00r r r= r=C C；是一是一O O点为中心点为中心C C为半径的球面为半径的球面球面球面 r,r, , , 0 0 = =C C；O O为顶点为顶点Z Z为中心轴为中心轴C C为半顶为半顶角角 的圆锥面的圆锥面 0 0 2 2 = =C C；是一过是一过Z Z轴的半平面轴的半平面（子午面）（子午面）形式形式 坐标坐标 取值范围取值范围 几何意义几何
3、意义z z z zz zx xy yO OO OO Ox x（x x0 0 y y0 0 z z0 0）r r x xy y（ 0 0 0 0 z z0 0）（r r0 0 0 0 0 0 ）三种正交系的相互关系三种正交系的相互关系z zx xy y r r （ ） X=cos = rsin cosY=sin = rsin sinZ=rcosr2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2= rsin = arc tg(y/x) = arc cos(z/r)cos = (x/r) cos = (y/r)cos = (z/r)cos2 +cos2 +cos2 = 11.2 1.2 标量与矢量标量
4、与矢量物理量通常是时间和空间的函数物理量通常是时间和空间的函数描述空间的数学语言是坐标描述空间的数学语言是坐标描述物理量的数学语言是标量和矢量描述物理量的数学语言是标量和矢量标量（标量（A）：）：只有大小没有方向的物理量只有大小没有方向的物理量矢量（矢量（A）：）：即有大小又有方向且符合平行四边形法则的物理量。即有大小又有方向且符合平行四边形法则的物理量。 算数量：算数量：0 0代数量：代数量：00不变量：不变量：AB标量与矢量复数1.3 1.3 标量场与矢量场标量场与矢量场物质粒子：粒子：有有静止质量，两粒子静止质量，两粒子不能不能同时占有同一空间位置。同时占有同一空间位置。场：场：没有没有
5、静止质量，两个场静止质量，两个场能能同时占有同一空间位置。同时占有同一空间位置。场场：某一物理量在空间的：某一物理量在空间的分布分布称场称场标量场：标量场：其物理量为标量的场其物理量为标量的场矢量场：矢量场：其物理量为矢量的场其物理量为矢量的场场物理量场场 A（或A）静态场静态场: A（M） 均匀场均匀场: A（t）动态场动态场 均匀平面场均匀平面场: A（z,t) 一般时变场一般时变场: A(M,t)1.4 1.4 坐标单位矢量、常矢、变矢坐标单位矢量、常矢、变矢单位矢量单位矢量 eA : : 模(大小)为1,以矢量 A 的方向为方向的矢量。 坐标单位矢量坐标单位矢量：指坐标（线）矢量上的单
6、位矢量。 （若将坐标线标上方向则该坐标线称坐标(线)矢量）e直角：直角：球面：球面：ex ey ez圆柱圆柱： e ej ezerej对于不同的坐标系有不同的坐标单位矢量：常矢：常矢：大小和方向均不变的矢量。变矢：变矢：大小和方向其中有一个发生变化的矢量。有了单位矢量,矢量A就可表现为如下形式： = Axex + Ay ey + Az ez = A e + Ae + Az ez= Ar er+Ae+AeA = A eA ？eexerezeyeejA矢量场的不变性A eAA1eA = = A/A 1.5 1.5 源点、场点、矢径、距离矢量源点、场点、矢径、距离矢量矢径矢径(r r)：由O点指向空
7、间任一点M的矢量OM 用 r 表示称矢径。 r = x ex + y ey + z ez = e + z ez = r er 矢径是一特殊的矢量，具有明确的定义和表达式， 表示的是空间位置，没有物理含义。源点：源点：源所占有的空间位置称源点，用符号S表示。场点：场点：除源以外的其它空间位置称场点，用符号P表示。距离矢量距离矢量 R：由源点指向场点的矢量， 用符号 R 表示。 R = r - r场点：场点：r = x ex + y ey + z ez = e + z ez = r er源点：源点：r = xex + yey + zez = e+zez = rer源点和场点均占有空间位置，因此可用
8、矢径表示：源点和场点均占有空间位置，因此可用矢径表示：SPRrr1.5 1.5 源点、场点、矢径、距离矢量源点、场点、矢径、距离矢量例：例：已知，A = xyex + z2 ey + y ez 求：A及r 在点P(1,2,2)的值，且图示。 注意：矢径和矢量的区别注意：矢径和矢量的区别解：解： 求值求值 r = x ex + y ey + z ez 由题意可知：由题意可知：x=1, y=2, z=2 将此代入A及r 得：得： A = 2ex + 4 ey + 2 ez ; r = ex + 2 ey + 2 ez rA 图示图示P(1,2,2)1.6 1.6 矢量的初等运算矢量的初等运算矢量的
9、初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除且以各矢量同在某一点为前提加减乘设：A = Axex + Ay ey + Az ez， B = Bxex + By ey + Bz ezAB = (Ax Bx ) ex + (Ay By ) ey + ( Az Bz ) ez 标乘点乘叉乘A = Axex + Ay ey + Azez AB = ABcos(AB ) = AxBx + AyBy + Az Bz 性质：1、若 AB = 0 则 AB 2、 AA = A2 AB = ABsin(AB )en = ex ey ez Ax Ay AzBx By Bz性质：1、若 AB = 0 则 AB 2、 AA
10、 = 0ABABen1.6 1.6 矢量的初等运算矢量的初等运算矢量初等运算规则(设：A 、B、C 都是矢量)A+B = B+A ; A(BC) = (AB ) CAB =BA ; A(B+C) = AB+ACAB = - BA ; A (B+C) = AB+AC A(BC) = B (CA) = C (AB)(AB) C A (BC) ; A (BC) (AB) CA (BC) = (A C) B - (AB) C Ax Ay Az ABC = BCA = CAB = Bx By Bz Cx Cy Cz 若若 B=C 则则 AB = A C及及AB = A C 成立成立若若 AB = A C
11、及及AB = A C 则则 B=C不一定成立不一定成立结论：等式两边可同时“点”和“叉”， 但不能随意消去相同的量CAB1.7 1.7 坐标变换坐标变换1、不同坐标系的变换、不同坐标系的变换例：例：=1/x2 + y2 + z2 = 1/2 + z2 = 1/ r2、坐标平移、坐标平移例：若电荷例：若电荷q位于坐标原点位于坐标原点O，则电位则电位=kq /x2 + y2 + z2 若将电荷若将电荷q 置于坐标点置于坐标点 s(xyz)处处,求电位求电位的表达式。的表达式。解：解：将将坐标点坐标点 s定义为新坐标系定义为新坐标系(u,v,w)的的原点原点O则：则：=kq /u2 + v2 + w
12、2 = kq /(x-x)2 + (y-y)2 + (z-z)2OOuwvzxyqq3、坐标旋转、坐标旋转坐标系是一钢架，坐标系是一钢架，当某一轴替代另一轴时，当某一轴替代另一轴时， 其它轴也应相应变换。其它轴也应相应变换。OxzyOyxzOxzy原坐标原坐标新坐标新坐标1.7 1.7 坐标变换坐标变换4 4、坐标单位矢量的变换、坐标单位矢量的变换设：设：u u 和和 v v 分别为正交坐标系分别为正交坐标系ev1 v1 = cos(ev1v1eu1u1)eu1u1 cos(ev1v1eu2u2)eu2u2cos(ev1v1eu3 u3 )eu3 u3 = (ev1 v1 eu1u1 ) eu
13、1u1 (ev1 v1 eu2u2) eu2u2(ev1 v1 eu3 u3 ) eu3 u3 同同理：理： ev2v2 = (ev2 v2 eu1u1 ) eu1u1 (ev2 v2 eu2u2) eu2u2(ev2 v2 eu3 u3 ) eu3 u3 ev3v3 = (ev3 v3 eu1u1 ) eu1u1 (ev3 v3 eu2u2) eu2u2(ev3 v3 eu3 u3 ) eu3 u3 用用矩阵表示：矩阵表示： ev1 v1 ev1 v1 eu1 u1 ev1 v1 eu2 u2 ev1 v1 eu3 u3 eu1u1 ev2v2 = ev2 v2 eu1u1 ev2 v2 e
14、u2u2 ev2 v2 eu3 u3 eu2u2 ev3v3 ev3 v3 eu1u1 ev3 v3 eu2 u2 ev3 v3 eu3 u3 eu3 u3 eu1u1eu3u3eu2u2ev1v1以上讨论的是一般正交系的转换，由此可得：以上讨论的是一般正交系的转换，由此可得：直角坐标系、圆柱坐标系、球面坐标系间的单位矢量的变换关系直角坐标系、圆柱坐标系、球面坐标系间的单位矢量的变换关系球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换1.7 1.7 坐标变换坐标变换ex xez zey yer r方法（一）：方法（一）：由一般式，且设：由一般式，且设：u u为直角坐
15、标系、为直角坐标系、 v v为球坐标系，则有：为球坐标系，则有： er r er r ex x er r ey y er r ez z ex x e = e ex x e ey y e ez z ey y e e ex x e ey y e ez z ez z cos cos cos ex x = er(+90,) ex x er(+90,) ey y er(+90,) ez z ey y er(90,+90)ex x er(90,+90)ey y er(90,+90)ez z ez z sin cos sin sin cos ex x= sin(+90) cos sin (+90) sin
16、cos (+90) ey y sin90 cos(+90) sin90 sin(+90) cos90 ez z sin cos sin sin cos ex x= cos cos cos sin -sin ey y -sin cos 0 ez z 球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换1.7 1.7 坐标变换坐标变换方法（二方法（二）：）：ex xez zey yer r er r = sin cos ex x + sin sin ey y+ cos ez zez zex xey ysinsinsiner re = cos cos ex x + cos s
17、in ey y sin ez zex xez zey yer rez zex xey ycoscoser rcosee = -sin ex x + cos ey y ex xey ye例：已知，例：已知，在点在点P(1,1,0)处有一常矢量处有一常矢量 A = 2ex + 4 ey + 2 ez 求求：A在该点的球坐标表达式。在该点的球坐标表达式。 求求：A在在(2,2,2)点处的直角坐标和球坐标表达式。点处的直角坐标和球坐标表达式。对于点对于点(1,2,2)： sin = 1， sin=1/ 2， cos=0， cos=1/ 2 因此：因此：ex x = 1/2er-1/2e ， ey y
18、= 1/2er+1/2e , , ez z = e A = 32er 2 e +2 e对于点对于点(2,2,2) ： sin = sin= cos= cos=1/2 因此：因此：ex x = 1/2er+1/2e -1/2e , ey y = 1/2er+1/2e +1/2e ez z = 1/2 er-1/2 e 球：球： A =(3+2)er +(3 -2)e 2e 直直：ex ,ey ,ez为常常矢矢 ，因而因而A不随点变化不随点变化 A = 2ex +4ey +2ezex x = sin cos er r + cos cos e - sin e ey y = sin sin er r
19、+ cos sin e + cos e ez z = cos er r sin e 解：解：以上结果显示：以上结果显示： 同一同一矢量矢量 ，在同一点其在同一点其直坐标和球坐标表达式是完全不同的。直坐标和球坐标表达式是完全不同的。 但由但由矢量场的不变性矢量场的不变性可知可知：对于点对于点(1,2,2)： A = 32er 2 e +2 e = 2ex + 4 ey + 2 ez对于点对于点(2,2,2) :A =(3+2)er +(3 -2)e 2e= 2ex +4ey +2ez 同一常同一常矢量矢量 ，在不同点其在不同点其直坐标下的表达式是不变的，直坐标下的表达式是不变的， 而而球坐标下的
20、表达式是完全不同的。球坐标下的表达式是完全不同的。这提醒我们不要因为表达式的差异而忘了它们的不变性这提醒我们不要因为表达式的差异而忘了它们的不变性即：无论你选择那种坐标，所得到的场性能都是一样的。即：无论你选择那种坐标，所得到的场性能都是一样的。这表明除直坐标外：这表明除直坐标外：坐标轴与坐标点有关，当点变化坐标轴也可能变。坐标轴与坐标点有关，当点变化坐标轴也可能变。对于每一种坐标系每个坐标点都与唯一的一组坐标轴对应对于每一种坐标系每个坐标点都与唯一的一组坐标轴对应对于柱或球坐标系每条对于柱或球坐标系每条或或r射线都与唯一的一组坐标轴对应射线都与唯一的一组坐标轴对应1.8 1.8 微分元微分元
21、 微分元是矢量微、积分的基础。微分元是矢量微、积分的基础。坐标线元坐标线元dxdydzdddzdrrd rsind 坐标平面元坐标平面元d 若: 则d=x=c, dydzy=c, dxdzz=c, dxdy=c, ddz=c, ddzz=c, ddr=c, r2sindd=c, rsindrd=c, rdrd坐标体元坐标体元dvdxdydz dddz r2sindrdddx=dy=dz=d=d=dz=dr=d=d=ex ey ez e ej j ezer r e e坐标元坐标元任意元任意元坐标元坐标元dx直 dydzd柱 ddzdr球 ddendx =dy =dz =d =d =dz =dr
22、=d =d = en en en en en en en enenyxzendxdzdydz=dxdyezdz=-dxdyezyxzdzdd=dedd=ddze yxzddrrddl = -dxex+dyey+dzez = de +dej j+dzez = drer r- rde +rsinde en ds dz s yxzdxdydz l dlyxzdrsinddrer r-rder rdrdr 弧长元弧长元( (切线切线) )dl = dle 直：= dx+dy+dz =dxexdyeydzez dl=dx2+dy2+dz2柱：= d+d+dz=de dej jdzez dl=d2+(d)
23、2+dz2球：=dr+d+d=drer rrde rsinde dl=dr2+(rd)2+(rsind)2 曲面元曲面元( (切面切面) ) ds = dsen 直: =dx+dy+dz=dydzexdxdzeydxdyez ds=(dydz)2+(dxdz)2+(dxdy)2柱: =d+d+dz=ddzeddzej jddez ds=(ddz)2+(ddz)2+(dd)2球: =dr+d+d =r2sindderrsindrderdrdej j ds=(r2sindd)2+(rsindrd)2+(rdrd)2dd概念：1.8 1.8 微分元微分元坐标坐标：空间某点的位置可用三个坐标空间某点的
24、位置可用三个坐标( (例：例：xyz)xyz)唯一确定。唯一确定。坐标线坐标线：例：当例：当y=a,z=c(a,cy=a,z=c(a,c为常数为常数) )而而 x x 连续变化所形成的轨迹连续变化所形成的轨迹 称称 x x 坐标线。显然坐标线。显然 和和 坐标线为一族同心圆和半坐标线为一族同心圆和半圆。圆。 坐标线元坐标线元：指与坐标元对应的坐标线，即坐标线上由坐标元引起的指与坐标元对应的坐标线，即坐标线上由坐标元引起的 一微小线段。显然，与一微小线段。显然，与d，d对应的是一微小的曲线，对应的是一微小的曲线， 很微小，很微小，可视为直线因而与坐标轴重合。可视为直线因而与坐标轴重合。这表明：这
25、表明：坐标线元可用矢量表示，方向以坐标轴方向为基准。坐标线元可用矢量表示，方向以坐标轴方向为基准。 过某点引出的三条坐标线元是相关垂直的。过某点引出的三条坐标线元是相关垂直的。坐标面元坐标面元: :两条相关垂直的坐标线元构成的平面两条相关垂直的坐标线元构成的平面, ,显然这是一矩形。显然这是一矩形。弧长元弧长元( (切线切线) )dl: 由空间某点由空间某点P可引出多条可引出多条任意任意曲线，由曲线，由P点起沿点起沿某曲线取一小段某曲线取一小段(即增量即增量l ) ,且过且过P点作该曲线的切线，切线上与点作该曲线的切线，切线上与增量增量l 相应的切线元相应的切线元dl 称弧长元，显然它是任意方
26、称弧长元，显然它是任意方向上的线元。向上的线元。曲面元曲面元( (切面切面) ) ds：与任意曲面在某点的增量与任意曲面在某点的增量s 相对应的切面元。相对应的切面元。坐标轴坐标轴：坐标线上某点的切线称坐标轴坐标线上某点的切线称坐标轴, ,方向为坐标增大的方向。方向为坐标增大的方向。 显然，只有显然，只有x,y,zx,y,z轴的方向不变，其它坐标轴的方向轴的方向不变，其它坐标轴的方向会变。会变。坐标元坐标元：坐标的微分量。坐标的微分量。1.9 1.9 矢量积分矢量积分矢量场通常是时间、空间的函数，而矢量场通常是时间、空间的函数，而时间、空间分别是独立时间、空间分别是独立的，的，对它们的积分可分
27、别讨论，以使计算简化。对它们的积分可分别讨论，以使计算简化。对对时间的积分时间的积分对空间的积分对空间的积分1 1、对时间的积分、对时间的积分设：A = A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3A dt = A1eu1 dt + A2 eu2 dt + A3 eu3 dt = eu1 A1 dt + eu2 A2 dt + eu3 A3 dt本教材假定所研究的本教材假定所研究的对象是不运动对象是不运动的，即坐标的，即坐标原点原点O O静止静止。因此，单位坐标矢量是不随时间而变化的因此，单位坐标矢量是不随时间而变化的它们可以提到积分号外。它们可以提到积分号外。例：矢量例：矢量 A = t2
28、xex + 2ty ey + z ez 求：求：1 A dt 0解：解： 1 A dt =(3t2xex + 2ty ey + z ez )dt = 3xex t2 dt + y ey2t dt+ z ez dt = xex + y ey + z ez 0101010101.9 1.9 矢量积分矢量积分标性标性矢性矢性A dl = Acos(A,dl) dl =(Axdx + Ay dy + Az dz) = (Ad+Ad+Azdz) =(Ardr+ Ard +Arsind) A ds = Acos(A,ds) ds =Axdydz + Aydxdz + Azdxdy =Addz+Addz+A
29、zdd =Arr2sindd+Arsindrd+Ardrdfdv =f dxdydz =f dddz = f r2sindrdd 2 2、对空间的积分、对空间的积分标性标性矢性矢性根据积分结果可分为两类根据积分结果可分为两类 f dl = exfdx + eyfdy + ez fdzA dl = exAxdl + eyAydl + ezAzdl e d = ex cosd + ey sin d = 0 - - -例：例： e d -解：解： e = excos + eysin 一、定义：1.10 1.10 矢量微分矢量微分设：A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2
30、 + A3 eu3A (u1 +u1, u2, u3 , t) - A (u1 , u2, u3 , t) A u1 u1= limu1 0 若：若：二、公式：三、运算则：称矢量则：称矢量 A 是是对自变量对自变量 u1 偏导数。依此类推可得其它偏导数偏导数。依此类推可得其它偏导数Au1=+ Au1u1A(AB)u1Bu1Au1 = A + B(AB)u1Bu1Au1 = A+ BCu1 = 0；(A+B)u1Bu1Au1 = +若：若：u1 = = u1 (t),At则则: = Au1du1dt = A2u1u2A2u2u1由式由式可将矢量可将矢量A 的的偏导数用分量形式表示偏导数用分量形式
31、表示Au1A1u1A3u1= eu1+eu2+eu3+A1+A2A3 A2u1eu1 u1eu2u1eu3 u11.10 1.10 矢量微分矢量微分设：A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu31 1、对坐标单位矢量的偏导、对坐标单位矢量的偏导 = 0；te时间：时间：空间空间球：(er r,e ,ej j ) r = 0；柱：(e ,ej j , ez ) (z,r,) = 0；直：(ex , ey , ez ) (x,y,z,r,) = 0；e = ej jej j = -ee = ej j证：证：将式代入原式： e = excos + eysi
32、n ej j = - exsin + eycos e = (excos + eysin ) = - exsin + eycos = ej j 与式相比，原式得证运算对对时间的微分时间的微分对空间的微分对空间的微分对坐标单位矢量的偏导对坐标单位矢量的偏导对矢量函数的偏导对矢量函数的偏导设：A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3以上结果显示以上结果显示矢量函数的偏导可转化为标量函数的偏导矢量函数的偏导可转化为标量函数的偏导AtA1tA3t= eu1 + eu2 + eu3A2t直： A Ax Ay Az x x x x = ex+ ey + ez ；
33、 时间：时间：空间空间柱：A A A Az = e + ej j + ez 2 2、对矢量函数的偏导、对矢量函数的偏导 A A A Az = e + Aej j + ej j - Ae + ez A Ar A A = er + Are + e - Aer + ej j球：A Ar A A r r r r = er + e + ej j = Axex + Ay ey + Az ez = Ar er + Ae + Ae Au1A1u1A3u1= eu1+eu2+eu3+A1+A2A3 A2u1eu1 u1eu2u1eu3 u1= A e + Ae + Az ez1.11 1.11 三度、二式、一定
34、理三度、二式、一定理以上主要对矢量的初等运算、微分和积分进行了讨论以上主要对矢量的初等运算、微分和积分进行了讨论下面将对数学场论作介绍下面将对数学场论作介绍三度：三度： 梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度二式：二式： 格林恒等式格林恒等式一定理：一定理：亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理定义定义表达式表达式辅助量辅助量性质性质公式公式1.11 1.11 三度、二式、一定理三度、二式、一定理梯度梯度: :是一矢量，研究数量场是一矢量，研究数量场u u沿某路径变化率可达最大的问题。沿某路径变化率可达最大的问题。由数量场由数量场u 的某点可延伸出许多条直线路径的某点可延伸出许多条直线路径l ,而这每一个而这每一
35、个 l 又又 分别是每一族曲线在该点的切线分别是每一族曲线在该点的切线 (如图示如图示) 。由导数的定义可知，由导数的定义可知，数量场数量场u 沿曲线只要是同一族曲线包括切线沿曲线只要是同一族曲线包括切线 l 在内其变化率是相在内其变化率是相同的。同的。因而可将研究数量场因而可将研究数量场 u 沿曲线变化的问题转化为沿直线变沿曲线变化的问题转化为沿直线变化的问题。化的问题。显然只有沿着不同的直线路径显然只有沿着不同的直线路径l 其变化率才不同，但其变化率才不同，但只有沿其中的一条路径只有沿其中的一条路径l 变化其变化率可达最大。变化其变化率可达最大。 du dlG最大 G = grad u =
36、 eG定义定义在某数量场在某数量场u 中中某一点某一点M0 处，存在这样的一个矢量处，存在这样的一个矢量G，函数函数u 在点在点M0 沿沿G的方向发生变化，其变化率最大且模的方向发生变化，其变化率最大且模G正好等于变化率，正好等于变化率，即定义式：即定义式： 我们称矢量我们称矢量G为为u 在点在点M0处的梯度，用符号处的梯度，用符号grad u 表示。表示。由该定义可得如下关系：由该定义可得如下关系：由此定义式可导出更具实用意义的表达式由此定义式可导出更具实用意义的表达式M0 ullGlG u u u x y z 直：gradu = ex+ ey + ez u u u z柱：gradu = e
37、 + ej j + ez u u u r r rsin 球：gradu = er + e + ej j表达式表达式 x y z = ( ex+ ey + ez )u =u z= ( e + ej j + ez )u =u r r rsin = ( er + e + ej j )u =u 哈密尔顿算符，是一矢性的微分算符哈密尔顿算符，是一矢性的微分算符有了上面的表达式，梯度的计算就很容易进行有了上面的表达式，梯度的计算就很容易进行梯度梯度 u u u x y z du = dx+ dy + dz 对u 求全微分，则有：对上式两边同时除以dl ，及又dl /dl = el , 则有:= ( ex+
38、 ey + ez )dl u u u x y z又dl = dxex+dyey+dzez ： = ( ex+ ey + ez ) el du u u u dl x y z 推导，推导，以直坐标为例：为运算方便，令： 则有:du/dl=A el ex+ ey + ez=A u u u x y zA是一微分矢量。当u给定后,A在某点的大小和方向是确定不变的el是某路径方向与u无关。 u可沿不同的路径l 变化，即el可变。du/dl 若要达到最大，则u必须沿eA方向变化，即el = eA因而du/dl=A el =A eA el 应改为：du/dlA最大 =A eA eA =A 这就是说，当u沿A方
39、向变化时，其变化率达最大且正好= A的模 或对上式两边同乘以eA ： du/dlA最大 eA =A eA =A将此与定义相比可知， A就是梯度即：G= A 证毕证毕若对若对u u 分别求柱、球坐标下的全微分分别求柱、球坐标下的全微分，就可导出相应的表达式。就可导出相应的表达式。 辅助量辅助量 方向导数方向导数数量场数量场u u沿某路径沿某路径l 的变化率的变化率称方向导数称方向导数，记作，记作du/dl性质性质 共有共有6条条 1 1、标量场、标量场u u的梯度是矢量。的梯度是矢量。2、简化了全微分的表达式：、简化了全微分的表达式：du =Gdl3 3、方向导数是梯度在该、方向导数是梯度在该l
40、n 方向上的一个分量的模。方向上的一个分量的模。 由前面的推导中已知：由前面的推导中已知：du/dl=G ellil2l1Gdu/dl4 4、G方向总是指向方向总是指向u u增大的方向，即增大的方向，即u2 u1 ( (在在G方向上方向上) ) 证证:lG du dlG最大 G = eG = G eGl1l2u1u2lG du dlG 即：即： = G 0又又 各各ln的方向包括的方向包括lG 方向在内方向在内均以均以M0为起点向外，为起点向外， 即即 各各ln上的上的l2总是总是l1 这就是说，若这就是说，若dl = l2 - - l1 则则dl 0M0 du u2 - - u1 dlG l
41、2 - - l1 因而因而： = 0 u2 - - u1 0证毕证毕梯度梯度5 5、G方向为等位线方向为等位线( (或面或面) )的法向，即的法向，即eG = en 等值面：等值面：指在三维数量场指在三维数量场u(x,y,z)中，中，将空间不同位置上但具有相等将空间不同位置上但具有相等场值的各点所连成的面。其表达式为：场值的各点所连成的面。其表达式为：u(x,y,z) = C证证: : u(x,y,z) = C du = 0 因而：因而：du/dl=G el =Gcos(eG ,el )= 0 又又 G0 cos(eG ,el ) = 0 故：故：eG el 又又 el 为等位线为等位线(或面
42、或面)的切线的切线 eG = en 证毕证毕等值线：等值线：指在二维数量场指在二维数量场u(x,y,)中，中，将空间不同位置上但具有相等将空间不同位置上但具有相等场值的各点所连成的线。其表达式为：场值的各点所连成的线。其表达式为：u(x,y,) = C 性质性质梯度梯度eGel6 6、 u = 0 0或或0 0该式都成立，即该式不能说明该式都成立，即该式不能说明梯度场是否存在。梯度场是否存在。该式说明该式说明： 梯度场若存在必是无旋场。梯度场若存在必是无旋场。en公式公式梯度梯度例：求例：求u=1-(x/a)2+(y/b)2在点在点M Mo(a/2,b/2)处处 沿曲线沿曲线1=(x/a)2+
43、(y/b)2的内法线的方向导数。的内法线的方向导数。Cu =CuC = 0(uv)=uv(u v)= uvvu(u/v)= (vuuv)/v2f (u)= f (u) u又又 u 2x 2 x a2 a = =2a2a u 2y 2 y b2 b = =2 b2 bM MoenG=u =( ex + ey )2a2 b则在点则在点M Mo o处的梯度为：处的梯度为：解：解： du/dl=G el 由题意由题意 el =-en 即求即求du/dl =G ( -en )M MoM Mo令：令：u=0 u=0 可见其等位线与题中的曲线相同，这意味着可见其等位线与题中的曲线相同，这意味着eG = en
44、 另外，分析上式：另外，分析上式：eG = - en 可见可见, , du/dl =G ( -en ) =G eG = G = 2(a2 + b2 )/abM MoM MoM MoM Mo1 1、矢量线（力线）：一种假想的线。、矢量线（力线）：一种假想的线。v矢量线上任一点的切向就是矢量矢量线上任一点的切向就是矢量A在在该点的该点的方向方向；v矢量矢量A的大小正比于过的大小正比于过M0点且与力线正交的单位面点且与力线正交的单位面 积上的矢量线的根数。即力线的疏密表征积上的矢量线的根数。即力线的疏密表征A 的的大小大小；垂直垂直过曲面过曲面通量定义中的曲面是有向曲面即通量定义中的曲面是有向曲面即
45、S 是是 矢量矢量，方向以，方向以矢量线穿出为正，矢量线穿出为正，有闭及不闭面二类。有闭及不闭面二类。 散度散度: :是一标量，研究矢量场是一标量，研究矢量场A在某点处其通量对体积的变化率。在某点处其通量对体积的变化率。辅助量辅助量 通量通量散度散度力线力线通量通量2 2、矢量场的通量、矢量场的通量通量通量 : :指指矢量矢量A垂直垂直通通过过某一某一曲面曲面的矢量的矢量线的总根数。线的总根数。 反映了矢量场通量反映了矢量场通量源源的分布情况。的分布情况。曲面：曲面：闭曲面：闭曲面：Ads =Ads = S S由通量及矢量由通量及矢量A 的大小，不难导出求通量的表达式：的大小，不难导出求通量的
46、表达式：散度散度定义定义设有一矢量场设有一矢量场 A(M)，于场中于场中某一点某一点M0 处作一包含处作一包含M0点点 在内在内的任一闭曲面的任一闭曲面( (S),S),所包的空间区域所包的空间区域 的的体积大小用体积大小用 V V表示，表示，矢量矢量A(M)穿过该穿过该曲面曲面( (S)S)的通量为的通量为 。则此则此通量通量 在在M0点点对体积对体积 V V 的变化率称矢量的变化率称矢量A(M) 在点在点M0处的散度，处的散度， 用符号用符号divA表示。表示。 Ax Ay Az x y z 直： divA = + + A A A Az z柱： divA = + + + Ar A A 2A
47、r ctgA r r rsin r r球： divA = + + + + divA = = 称定义式称定义式 lim v0(M0) VAds V即即: : lim v0(M0)=A=A=A表达式表达式设设: A=Axex +Ay ey +Az ez =A e+Ae+Az ez=Ar er+Ae+AeM0散度散度推导，推导，以直坐标为例：设设: A=Axex +Ay ey +Az ez Ads = = Ax dydz + Ay dxdz + Az dxdy 由奥氏由奥氏公式：公式： Ax Ay Az x y z ( + + ) dV= Ax Ay Az x y z = ( + + ) VM0由中
48、值定理：由中值定理： = ( + + )上式上式两端同除以两端同除以V： Ax Ay Az V x y zM0对上式取极限：对上式取极限： Ax Ay Az V x y z = ( + + ) = divA(M0)M0 lim v0(M0)常数常数 M0为任意确定点故可不表现出来，即：为任意确定点故可不表现出来，即：divA(M0) divA Ax Ay Az x y z divA = + + 证毕证毕dS=dydzex + dxdzey+dxdyez 1 1、矢量场、矢量场A的散度是一个标量；的散度是一个标量；性质性质 共有共有4条条 散度散度 2 2、散度定理散度定理(矢量场的高斯定理矢量
49、场的高斯定理)： =Ads =AdV s 该公式表明了区域该公式表明了区域中场中场A 与边界与边界S S上的场上的场A 之间的关系之间的关系 3 3、矢量场的散度值表征空间中通量源的密度；、矢量场的散度值表征空间中通量源的密度；A=v 通量源密度通量源密度即：即： 4 4、矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；、矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；a) 若若0则则A0 ，闭合面内有产生矢量线的正源闭合面内有产生矢量线的正源c) 若若 = 0则则A = 0 处处成立处处成立，闭合面内无源闭合面内无源 A为无为无源源场场A为有为有源源场场b) 若若0则则A0 ，闭合面内有吸收矢量线的负源
50、闭合面内有吸收矢量线的负源( (div A =0 无源无源）( (div A 0正源正源) )(div A 0负负源源) )公公 式式散度散度(CA )=CA;C = 0;(AB)=AB; (u A)= uA+Au例：已知例：已知 求：求： EE= er q4per2OrqPS解：解： 选择球坐标，则选择球坐标，则Ar = A = A =0 q4per2Ar A A 2Ar ctgA r r rsin r r球： divE = + + + + E = - + = 0 q2per3q2per3r 0当当r = 0或或0时时： =Eds s=EdV =r2sindd=q/e q4per2E= (q
51、/e) (r)(q/e)(r)dV =1 1、环量（、环量（ ）环量的意义环量的意义：若矢量场环量为零，则矢量场是无涡漩的流动；若矢量场环量为零，则矢量场是无涡漩的流动； 反之，矢量场存在着涡漩状的流动。而环反之，矢量场存在着涡漩状的流动。而环量正量正反反 映了矢量场漩涡映了矢量场漩涡源源的分布情况。的分布情况。 在矢量场在矢量场A的空间中，取一有向闭合路径的空间中，取一有向闭合路径l ，矢量矢量A沿沿l 的积分的积分( (即矢量即矢量A的环路积分的环路积分) )称称环量环量 。即：。即：Adl =2 2、环量面密度（、环量面密度（rotn A）lM0enS SAdl S S limS0(l
52、M0)在场矢量在场矢量A空间中，围绕空间某点空间中，围绕空间某点M0取一面元取一面元S S，其边界曲线其边界曲线为为l ，面元法线方向为面元法线方向为en 。则则A沿沿l 的环量的环量 对对面元面元S S的变化率，的变化率，称称A在点在点M0处沿处沿en方向的环量面密度，用符号方向的环量面密度，用符号rotn A表示。表示。rotn A= 即：即：环量面密度环量面密度意义意义: :表示矢量场表示矢量场A A 在点在点M0 处沿处沿e en n方向的漩涡方向的漩涡源源密度密度旋度旋度旋度旋度: :是一矢量是一矢量, ,反映矢量场反映矢量场A在场某点处环量对面积的最大变化率在场某点处环量对面积的最
53、大变化率旋度旋度环量环量环量面环量面密度密度辅助量辅助量定义定义若在矢量场若在矢量场 A(M)中中某一点某一点M0 处，存在这样的一个矢量处，存在这样的一个矢量R，矢矢 量场量场 A(M)由点由点M0处处沿沿R方向所得的方向所得的环量对面积的变化率环量对面积的变化率( (即环即环 量面密度量面密度) )达最大且正好等于模达最大且正好等于模R，则则称矢量称矢量R为为矢量场矢量场A(M) 在点在点M0处的旋度，用符号处的旋度，用符号rot A表示。表示。由该定义可得如下关系：由该定义可得如下关系： R= rotA = eR = eR = ReR limSR0(l M0) SRAdl SR 即即:
54、: limSR0(lM0)旋度旋度 显然，在场矢量显然，在场矢量A空间中，围绕空间空间中，围绕空间某点某点M0可取很多个可取很多个边界曲线为边界曲线为l、 面元为面元为S S、法线方向各异法线方向各异(如图如图)的平面。在点的平面。在点M0处沿不同处沿不同en方向上的环量面密度方向上的环量面密度( (rotn A)各不相同，但有一个可达最大。各不相同，但有一个可达最大。由此定义式可导出更具实用意义的表达式由此定义式可导出更具实用意义的表达式enM0旋度旋度表达式表达式设设: A=Axex +Ay ey +Az ez =A e+Ae+Az ez=Ar er+Ae+Ae= AAz Ay Ax Az
55、 Ay Axy z z x x y = ( - ) ex + ( - ) ey + ( - ) ez直： rotA = R = ex ey ez x y zAx Ay Az柱： rotA = R = = Ae ej j ez zA A Az球： rotA = R = = Aer re rsinej j r Ar rA rsin A 11r2sin推导，推导，以直坐标为例：设设: A=Axex +Ay ey +Az ez 由由斯托克斯公式：斯托克斯公式：Az Ay Ax Az Ay Axy z z x x y( - )dydz + ( - )dxdz + ( - )dxdy =SAdl = =
56、Ax dx + Ay dy + Az dz ； llAz Ay Ax Az Ay Axy z z x x y令：令：B = ( - ) ex + ( - ) ey + ( - ) ez又又 dS=dydzex + dxdzey+dxdyez ； 及中值定理，及中值定理， = BdS= Ben dS = Ben SSSM0上式上式两端同除以两端同除以S并且并且取极限取极限：M0Adl S limSR0(lM0) = Ben = Ben M0为任意确定点为任意确定点故故 可不表现出来。可不表现出来。环量面密度环量面密度若要达到最大，则必须沿eB方向变化，即en = eBmax limSR0(lM0
57、) = BAdl SB 两端同乘两端同乘eB：且与且与定义比较：定义比较：eBeB 可可得：得：B=R=A= rotA旋度旋度1 1、矢量场、矢量场A的旋度仍为矢量，是空间坐标的函数；的旋度仍为矢量，是空间坐标的函数；旋度旋度性质性质 共有共有6条条 3 3、 由前面的推导已知：由前面的推导已知： rotn A = rot A en 这表明：这表明：旋度旋度R在任一方向在任一方向en上的投影上的投影( (即分量即分量) )等于该方向的等于该方向的环量面密度环量面密度矢量场矢量场A 的环路积分等于该矢量场的环路积分等于该矢量场A 的旋度通过该曲面的通量的旋度通过该曲面的通量6 6、若若rot A
58、 =0 处处成立，处处成立，A为为无旋场。无旋场。力线呈无旋涡的流动状态，力力线呈无旋涡的流动状态，力线有头尾。此时，线有头尾。此时， =0 即即A的环路的环路积分与路经无关故又称保守场。积分与路经无关故又称保守场。 若若rot A 0这表：这表：A为为有旋场有旋场，其力线无头无尾。，其力线无头无尾。4 4、 A 0 即即 A =0或或0 该式均成立。该式均成立。2 2、斯托克斯定理、斯托克斯定理: : 这表明：这表明：Adl = AdS sl5 5、矢量场的旋度值表征空间中旋涡源的密度；、矢量场的旋度值表征空间中旋涡源的密度； 即：即： A = J J 旋涡源密度旋涡源密度该式说明旋度场是一
59、无源场，但不能说明旋度场是否存在。该式说明旋度场是一无源场，但不能说明旋度场是否存在。公公 式式 (CA )=CA;C = 0; (AB)=AB;(uA)= uAAu(AB)=B(A)A(B)旋度旋度例：已知例：已知 求：求： HH= e = H e I2pI H = = 0e ej j ez z0 H 0 1解：解： 选择柱坐标选择柱坐标 0= I =I (x)(y)ez dS s H = I (x)(y)ez Hdl HdS =sl当当 = 0或或0时时： 亥姆霍兹定理：亥姆霍兹定理：在有限区域内，任意矢量场由矢量场的在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度散度、旋度旋度和和边界条件边界条件
60、（即矢量场在有限区域边界上的分布）（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。它可表现为：唯一确定。它可表现为：矢量场矢量场( (F) ) = 梯度场梯度场( (Fs) + ) + 旋度场旋度场( (Fl) = -u + A 梯度场是一梯度场是一有有源源无无旋场：旋场： Fs的力线是有头有尾的发散线的力线是有头有尾的发散线旋度场是一旋度场是一无无源源有有旋场：旋场： Fl的力线是无头无尾的闭合线的力线是无头无尾的闭合线 u 梯度场的标量梯度场的标量位位 A 旋度场的矢量位旋度场的矢量位 u 0 ， A 0 即：梯无旋，旋无即：梯无旋，旋无散散 u 0 ， A 0 这这说明：说明：讨论：讨论：
61、场、源、度的关系场、源、度的关系 =Fsdl = 0l =Fsds = Qs Fs = v =Fldl = i l =Flds = 0s Fl = J矢量场矢量场( (F) ) = 梯度场梯度场( (Fs) + ) + 旋度场旋度场( (Fl) = -u + A A 0 则：则： F = - u 讨论：讨论： 怎样判断场怎样判断场F的属性的属性对式对式两边求散度：两边求散度： F = - u + A 若：若：F 存在，存在，则则 F =0 说明说明F中没有中没有梯度场但必有旋度场梯度场但必有旋度场 若若 F 0 说明说明F中有中有梯度场但不一定有旋度场梯度场但不一定有旋度场结结论论 F =0
62、， F为为纯梯度场纯梯度场 F 0，F 0，F为为合成场合成场 F =0，F为为纯旋度场纯旋度场若：若：F 存在，存在，则则F=0 说明说明F中没有中没有旋度场但必有梯度场旋度场但必有梯度场 若若F 0 说明说明F中有中有旋度场但不一定有梯度场旋度场但不一定有梯度场=00 u 0 则：则：F = A 对式对式两边求两边求旋旋度：度： F = - u + A=00亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义是研究电磁场的一条主线是研究电磁场的一条主线矢量矢量F的通量源密度的通量源密度矢量矢量F的旋度源密度的旋度源密度场域边界条件场域边界条件一般场一般场 电磁场电磁场电荷电荷密
63、度密度 ：产生梯度场：产生梯度场电流密度电流密度J：产生旋度场产生旋度场场域边界条件场域边界条件 若矢量场若矢量场A 在某区域在某区域 内，处处有：内，处处有： A 0 和和A 0 则在该区域则在该区域 内，场内，场A为调和场为调和场 例：抠出源点的静电场例：抠出源点的静电场注意：不存在在注意：不存在在整个整个空间内散度和旋度空间内散度和旋度处处处处均为零的矢量场。均为零的矢量场。讨论：讨论： 调和场调和场1.12 1.12 微分算子微分算子 x y z 直：直： = ( ex+ ey + ez ) z柱：柱：= ( e + ej j + ez ) r r rsin 球：球： = ( er +
64、 e + ej j ) 有以下三种形式有以下三种形式 ：u =grad u A =div A A = rot A其它形式其它形式(如下如下)无意义：无意义：u 、A、u 哈密尔顿算符，是一哈密尔顿算符，是一矢性矢性的一阶的一阶微分微分算符算符=2 拉普拉辛算符，是一标性的二阶微分算符拉普拉辛算符，是一标性的二阶微分算符注意注意与各与各符号的对应符号的对应,不要盲目替代不要盲目替代形形式式标性标性: 2 u =u = div grad u矢性矢性: 2 A =(A) - (A) = grad div A- rot rotA 2 2 2 x2 y2 z2 直：直：2 = + + 2 2 2 2 2
65、2 z2 柱：柱：2 = ( + + + ) 2 2 2 2 ctg r2 r22 r2sin22 r r r2 球：球：2 = + + + + z = ( e + ej j + ez ) A A=A e+Ae+Az ez柱：柱： z = ( e + ej j + ez ) (A e+Ae+Az ez )1.13 1.13 场的图示法场的图示法( (一种辅助分析、计算的方法一种辅助分析、计算的方法) )1 1、矢量线不是一条而是一族；矢量线不是一条而是一族；2 2、矢量线互不相交矢量线互不相交( (除奇异点除奇异点) )3 3、有源场的矢量线至少有一部有源场的矢量线至少有一部分是有头有尾的发散
66、线；分是有头有尾的发散线；4 4、无源场的矢量线全部都是无无源场的矢量线全部都是无头无尾的闭合线；头无尾的闭合线；等位线等位线( (面面) )矢量线矢量线形式形式表达式表达式性质性质关系关系标量场标量场( u u) 矢量场矢量场( (A) )u(x,y,z) = C dx dy dz Ax Ay Az = = 若若A = grad u u 则则A 线与等位线线与等位线( (面面) )正交正交1 1、等位线等位线( (面面) )不是一个而不是一个而是一族。是一族。C C为任意常数；为任意常数；2 2、等位线等位线( (面面) )互不相交；互不相交； M点只与一个坐标值对应点只与一个坐标值对应3
67、3、同一等位线同一等位线( (面面) )可能分可能分裂成几部分存在；例：裂成几部分存在；例： u(x,y,) = x y=C4 4、等位线等位线( (面面) )是一闭合线是一闭合线( (面面) )，只要，只要 域足够大；域足够大； dl dlA dlA=0例例：求矢量场求矢量场A=y A=y e ex x - x - x e ey y 过过点点(1,0,0)(1,0,0)的矢量线方的矢量线方程。程。解：解： dx dy Ax Ay = Aydx = Ax dy 由题意由题意 -xdx = y dy 取积分取积分： -xdx = y dy x y 1 0 x y 1 0-x2/2 = y2/2整理得整理得 ：x2/2 +y2/2 = 1/2 x2 +y2 = 1由题意由题意 ： Az = 0 dz = 0 z = 0 dx dy dz Ax Ay Az = = 则则有：有：故故矢量线方程矢量线方程： x2 +y2 = 1 ，z = 00 z = ( e + ej j + ez ) A A=A e+Ae+Az ez柱：柱： z = ( e + ej j + ez ) (A e+Ae+Az ez ) (A e ) (Ae ) z = ( e + ej j + ez ) 第一章习题第一章习题
