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1、动量传递与热量传递的类比动量传递与热量传递的类比 比拟理论比拟理论目的：目的：利用流动阻力的实验数据解决对流换热问题利用流动阻力的实验数据解决对流换热问题 3-13-1：湍流中的动量传递和热量传递湍流中的动量传递和热量传递 1 1）湍流中的瞬时真实速度和真实温度）湍流中的瞬时真实速度和真实温度 u为平均速度，t为平均温度，u,v,t为脉动值 2 2）雷诺应力）雷诺应力 其中，u,v为x和y方向速度的瞬时脉动值 习惯上，令习惯上，令 其中，m为湍流粘度，m2/s； 为湍流时均速度梯度。湍流中总的粘滞应力为湍流中总的粘滞应力为湍流脉动传递的热量为湍流脉动传递的热量为其中，h为湍流导温系数，m2/s
2、； 为湍流时均温度梯度。湍流中总的热流通量为湍流中总的热流通量为 改写为改写为 3-23-2：雷诺类比雷诺类比对于边界层内的层流流动，有对于边界层内的层流流动，有 于是，有于是，有 上式反映了层流流动能量传递（热量交换速率）和上式反映了层流流动能量传递（热量交换速率）和动量传递的类比关系。动量传递的类比关系。 若若Pr=1Pr=1，则上式可写为，则上式可写为 对于边界层内的湍流流动，由于对于边界层内的湍流流动，由于 m m ; ; h haa 于是，有于是，有 令令若若 PrPrt t=1=1，则得，则得 于是，于是， 这意味着，湍流与层流之两传类比服从同一方程。这意味着，湍流与层流之两传类比
3、服从同一方程。 若假定若假定 在整个边界层内成立，则积分可得在整个边界层内成立，则积分可得考虑到考虑到 则得则得 引入引入 斯坦斯坦 顿数顿数则得则得 同理，同理，对于层流（湍流）的局部换热系数和摩擦系数对于层流（湍流）的局部换热系数和摩擦系数存在存在 简单雷诺类比定律，简单雷诺类比定律， 仅适用于仅适用于Pr=1Pr=1的流体的流体如如 PrPr1 1 ，雷诺类比定律可用下式修正上上式称为柯尔朋类比律。外掠平板的湍流换热外掠平板的湍流换热理论分析与实验测定得到，外掠平板的湍流边界层局部理论分析与实验测定得到，外掠平板的湍流边界层局部阻力系数为阻力系数为上上式适用于5 5105 Re 107结
4、合柯尔朋类比律，由上式，可得湍流换热的努塞尔数结合柯尔朋类比律，由上式，可得湍流换热的努塞尔数为为j为科尔伯因子，无量纲表面传热系数为科尔伯因子，无量纲表面传热系数而外掠平板湍流换热的全板平均换热系数为而外掠平板湍流换热的全板平均换热系数为其中，其中，x xc c为层流向湍流转变的临界距离。而为层流向湍流转变的临界距离。而h hx,lx,l可根可根据下式计算据下式计算则，对于则，对于Re5Re5105105的外掠等温平板流动，全板的平均的外掠等温平板流动，全板的平均表面传热系数可按下式计算表面传热系数可按下式计算如果取如果取x xc c5 510105 5；则得常壁温；则得常壁温外掠平板湍流换
5、热的外掠平板湍流换热的全板平均换热系数为全板平均换热系数为适用条件为适用条件为例：常压例：常压2020的空气以的空气以u u35m/s35m/s的速度外掠平板，的速度外掠平板，板长板长L=70cmL=70cm，壁温，壁温t tw w=60=60，试求平均换热系数和换，试求平均换热系数和换热量（设板宽为热量（设板宽为1m1m）。分析：分析：定性温度定性温度t tm m=(t=(tw w+t+tf f)/2=40)/2=40，查物性表得，查物性表得 0.0276W/m0.0276W/m， 16.9616.9610-6m2/s, Pr=0.699;于是，于是，Re=(u*L)/ = 35*0.7/(
6、16.9610-6)=1.445106于是，全板平均换热系数为于是，全板平均换热系数为换热量为换热量为5-5 相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析几个概念几个概念：（1 1）同类现象：用相同形式并具有相同内容的微分方）同类现象：用相同形式并具有相同内容的微分方程式（包括控制方程和单值性条件）所描述的现象。程式（包括控制方程和单值性条件）所描述的现象。只有属于只有属于同类物理现象同类物理现象才能谈论相似问题。才能谈论相似问题。（2 2）同类物理现象的相似：两个同类物理现象，如果）同类物理现象的相似：两个同类物理现象，如果在相应的时刻与相应的地点上与现象有关的物理量一在相应的时刻与相应的地点上与现
7、象有关的物理量一一对应成比例一对应成比例，则称这两个物理现象彼此相似。，则称这两个物理现象彼此相似。相似现象的性质相似现象的性质（1 1）凡是相似的物理现象，其物理量的场一定可以）凡是相似的物理现象，其物理量的场一定可以用一个统一的无量纲的场来表示；用一个统一的无量纲的场来表示；（2 2）凡是相似的物理现象，描写该现象的同名准则凡是相似的物理现象，描写该现象的同名准则数必定对应相等；数必定对应相等；以单相流体在固体表面的对流换热为例，设有以单相流体在固体表面的对流换热为例，设有a a、b b两对流换热现象相似，则两对流换热现象相似，则对于现象对于现象 a, a, 有有同理，对于现象同理，对于现
8、象 b, b, 有有写成无量纲形式写成无量纲形式, , 有有由于由于a a与与b b相似，根据定义，其对应时间和对应点上相似，根据定义，其对应时间和对应点上的物理量分别成比例，即的物理量分别成比例，即(a)(a)(b)(b)记为记为（c)c)把把(c)(c)代入（代入（a a）, , 可得可得（d)d)比较（比较（b)b)和和(d),(d),得得（e)e)即即（f)f)即即这说明，如果两个对流换热过程相似，其努塞尔特准这说明，如果两个对流换热过程相似，其努塞尔特准则数则数NuNu必定相等。必定相等。同理，从动量微分方程可以推导，若两流体的运动现同理，从动量微分方程可以推导，若两流体的运动现象相
9、似，则其雷诺准则数必定相等；若两热量传递现象相似，则其雷诺准则数必定相等；若两热量传递现象相似，其贝克利数（象相似，其贝克利数（PePe）和普朗特数（）和普朗特数（PrPr）也必定）也必定相等。相等。另外，对于自然对流流动，其动量方程可写为另外，对于自然对流流动，其动量方程可写为其中，其中， 为流体的体积膨胀系数，为流体的体积膨胀系数，K K-1-1; ; t tt-tt-tf f为过余为过余温度；温度；g g为重力加速度，为重力加速度，m/sm/s2 2; ;判断两个同类现象相似的条件判断两个同类现象相似的条件（1 1）同名的已定特征数相等；（对于对流换热，）同名的已定特征数相等；（对于对流
10、换热，ReRe数和数和PrPr数是已定特征数，数是已定特征数，NuNu是待定特征数）是待定特征数）（2 2）单值性条件相似；单值性条件相似；如果两个对流换热现象相似，则其无量纲准则数如果两个对流换热现象相似，则其无量纲准则数格拉晓夫数格拉晓夫数GrGr必定相等：必定相等：其中其中l l为定性尺寸。为定性尺寸。下面以一维、常物性、无内热源、第三类边界条件的下面以一维、常物性、无内热源、第三类边界条件的非稳态导热问题为例，说明单值性条件相似与物理现非稳态导热问题为例，说明单值性条件相似与物理现象相似之间的关系象相似之间的关系一维、常物性、无内热源、第三类边界条件的非稳态一维、常物性、无内热源、第三
11、类边界条件的非稳态导热问题的数学描述为导热问题的数学描述为X=0,X=0,X=X= , , =0,=0,（a)a)（b)b)（c)c)（d)d)令令将式（将式（a)a) (d(d) )无量纲化，得无量纲化，得X=0,X=0,X=X=1 1, ,FoFo=0,=0,（e)e)（f)f)（g)g)（h)h)可见，无量纲过余温度可见，无量纲过余温度 的解必定为的解必定为Fo,BiFo,Bi和和x/x/ 的函的函数，即数，即只要单值性条件（只要单值性条件（f f h h）相似，）相似，Fo,BiFo,Bi, ,和和 x/x/ 之值对之值对应相等，则两个无限大平板的无量纲温度场分布必定应相等，则两个无限
12、大平板的无量纲温度场分布必定相同，即两个非稳态导热现象相似。相同，即两个非稳态导热现象相似。2 2、相似准则间的关系、相似准则间的关系对于无相变受迫稳态流动换热，有对于无相变受迫稳态流动换热，有NuNu = = f(Ref(Re, Pr, , Pr, GrGr) )若忽略自然对流的影响，则得若忽略自然对流的影响，则得NuNu = = f(Ref(Re, Pr), Pr)对于空气，由于对于空气，由于PrPrconstconst, , 故有故有 NuNu = = f(Ref(Re),),记为记为 NuNu = C* = C*ReRen对于自然对流换热，此时一般可忽略对于自然对流换热，此时一般可忽略
13、ReRe数的影响，于是数的影响，于是得换热准则关系为得换热准则关系为 NuNu = = f(Grf(Gr, Pr), Pr)对于对流换热，对于对流换热，习惯上取习惯上取Nu为待定准则，而取为待定准则，而取Re, Gr, Pr为已定准则。为已定准则。获得判断同类现象相似的相关无量纲参数的方法获得判断同类现象相似的相关无量纲参数的方法（1 1）方程分析法（相似分析法）和（）方程分析法（相似分析法）和（2 2）量纲分析法）量纲分析法量纲分析法（因次分析）量纲分析法（因次分析） 定理定理：一个表示：一个表示n n个物理量之间关系的量纲一致的方程个物理量之间关系的量纲一致的方程式，一定可以转换成包含（式
14、，一定可以转换成包含（n-rn-r）个独立的无量纲物理量）个独立的无量纲物理量群间的关系式。群间的关系式。 r指指n个物理量所涉及到的基本量纲的数个物理量所涉及到的基本量纲的数目目。 定理是量纲分析法的依据。定理是量纲分析法的依据。下面以单相介质管内对流换热问题为例，应用量纲下面以单相介质管内对流换热问题为例，应用量纲分析法来获得其中的无量纲准则参数的方法步骤。分析法来获得其中的无量纲准则参数的方法步骤。（1 1）找出所有相关的影响因找出所有相关的影响因素素。影响对流换热系数的因素。影响对流换热系数的因素可归纳为可归纳为（2 2）找出组成与本问题有关的各物理量量纲中的基本量找出组成与本问题有关
15、的各物理量量纲中的基本量的量纲的量纲管内对流换热中，与对流换热相关的物理量共有管内对流换热中，与对流换热相关的物理量共有7 7个，其个，其量纲由量纲由4 4个基本量纲组成：时间量纲个基本量纲组成：时间量纲T T、长度量纲、长度量纲L L、质量、质量量纲量纲M M和温度量纲和温度量纲 ; ;于是，由于是，由 定理知，定理知，n=7n=7，r=4r=4，这些，这些影响因素可组成影响因素可组成3 3个无量纲量。个无量纲量。（3 3）将基本量逐一与其余各量组成无量纲量将基本量逐一与其余各量组成无量纲量在因次分析中，无量纲量与基本物理量之间的函数关系在因次分析中，无量纲量与基本物理量之间的函数关系总是采
16、用幂指数形式表示，其中指数值待定。对于管内总是采用幂指数形式表示，其中指数值待定。对于管内对流换热，取对流换热，取u u、d d、 、 为基本物理量，用字母为基本物理量，用字母 表示无表示无量纲量，由（量纲量，由（2 2），得），得（4 4）应用量纲和谐原理来决定上述待定指数应用量纲和谐原理来决定上述待定指数h h的量纲为的量纲为M M -1-1T T-3-3,d,d的量纲为的量纲为L,L, 的量纲为的量纲为MLML -1-1T T-3-3,u,u的的量纲为量纲为LTLT-1-1, , 的量纲为的量纲为MLML-1-1T T-1-1, , 的量纲为的量纲为MLML-3-3,Cp,Cp的量纲的量
17、纲为为L L2 2T T2 2 -1-1. .把这些量纲代入无量纲表达式，合并量纲相同把这些量纲代入无量纲表达式，合并量纲相同的项，可求解得到的项，可求解得到a a1 1,b,b1 1,c,c1 1,d,d1 1,a,a2 2, ,c c3 3,d,d3 3, ,从而得到无从而得到无量纲量的表达式。对于本例，得量纲量的表达式。对于本例，得于是，影响对流换热的因素可描述为于是，影响对流换热的因素可描述为NuNu = = f(Re,Prf(Re,Pr) )5-6 相似原理的应用相似原理的应用1 1、应用相似原理要解决的问题、应用相似原理要解决的问题（1 1）指明实验中应测量的物理量，指导试验的安排
18、指明实验中应测量的物理量，指导试验的安排。根。根据相似准则数来安排试验时，个别试验所得到的结果能据相似准则数来安排试验时，个别试验所得到的结果能够上升到代表整个相似组的地位，因此能够大大减少试够上升到代表整个相似组的地位，因此能够大大减少试验次数；验次数；（2 2）指导试验数据的整理指导试验数据的整理。由于无量纲准则数一般整理。由于无量纲准则数一般整理成幂函数形式，在双对数坐标图上容易拟合为直线，这成幂函数形式，在双对数坐标图上容易拟合为直线，这样会给整理实验数据带来很大方便；样会给整理实验数据带来很大方便；（3 3）指导模化试验指导模化试验，指出实验结果的适用范围。通过以，指出实验结果的适用
19、范围。通过以小代大的模化试验，研究实际装置中发生的物理过程小代大的模化试验，研究实际装置中发生的物理过程常见相似准则数的物理意义常见相似准则数的物理意义准则数名称定义物理意义毕渥数 （Bi）固体内部导热热阻与其界面上换热热阻之比傅立叶数（Fo）非稳态导热过程的无量纲时间，表征过程进行深度努塞尔数（Nu）对流换热与厚度为l的流体层内导热之比，壁面上流体的无量纲温度梯度雷诺数（Re）惯性力与粘性力之比普朗特数（Pr）动量扩散（厚度）与热量扩散（厚度）之比斯坦顿数（St）修正努塞尔数，流体实际的换热热流密度与流体可传递的最大热流密度之比科尔伯因j因子无量纲表面传热系数格拉晓夫数（Gr）浮升力与粘性力之比摩擦系数 （Cf）无量纲的表面切应力贝克列数（Pe）无量纲的自变量传热系数
