Ch古典概型与几何概型实用教案

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1、一、古典一、古典(gdin)概型概型 1. 定义定义 古典概型是指满足古典概型是指满足(mnz)下列两个条件的概率模型：下列两个条件的概率模型： （1）（有限样本空间）随机试验只有有限个可能结果，）（有限样本空间）随机试验只有有限个可能结果，即基本事件即基本事件(shjin)总数为有限个；总数为有限个；（2）（等可能性）每一个可能结果发生的可能性相同，）（等可能性）每一个可能结果发生的可能性相同，即各基本事件即各基本事件(shjin)发生的概率相同。发生的概率相同。 用数学语言可表述为：用数学语言可表述为： （1）样本空间有限，即）样本空间有限，即 ； （2） 。第第2页页/共共56页页第1页

2、/共56页第一页，共57页。 设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成，个样本点构成， A 为为 E 的任的任意一个意一个(y )事件，且包含事件，且包含 m 个样本点，则事件个样本点，则事件 A 出现的概率出现的概率记记为为: 2. 古典概型中事件古典概型中事件(shjin)概率的计算公式概率的计算公式称此为概率称此为概率(gil)(gil)的古典定义的古典定义. . 说明说明 计算古典概型中事件计算古典概型中事件A的概率，关键是要计算的概率，关键是要计算出样本空间中样本点总数和事件出样本空间中样本点总数和事件A包含的样本点数，这包含的样本点数，这些数目的计算要用到排列组合

3、的知识。些数目的计算要用到排列组合的知识。 第第3页页/共共56页页第2页/共56页第二页，共57页。第一类方法有第一类方法有 种方法种方法第二类方法有第二类方法有 种方法种方法 第第 类方法有类方法有 种方法种方法做一件事共有做一件事共有 类方法类方法完成这件事的方法完成这件事的方法(fngf)(fngf)总数：总数：第第4页页/共共56页页第3页/共56页第三页，共57页。第一步有第一步有 种方法种方法第二第二步步有有 种方法种方法 第第 步步有有 种方法种方法做一件事共有做一件事共有 个步骤个步骤完成完成(wn chng)(wn chng)这件事的方法总数：这件事的方法总数：第第5页页/

4、共共56页页第4页/共56页第四页，共57页。（1）排列（从）排列（从n个元素个元素(yun s)中取中取m个不同个不同元素元素(yun s)）排列排列(pili)选排列选排列(pili)全排列全排列不可重复选排列不可重复选排列(不放回不放回)可以重复选排列可以重复选排列(有放回有放回)不可重复不可重复 (不放回不放回)可以重复可以重复 (有放回有放回)第第6页页/共共56页页第5页/共56页第五页，共57页。(2) 元素元素(yun s)的分类的分类将将n个元素个元素(yun s)分为分为m类，每类分别有类，每类分别有k1, k2 , km 个，个，总共的分类方式有：总共的分类方式有：k1个

5、元素k2个元素km个元素n个元素(yun s)第第7页页/共共56页页第6页/共56页第六页，共57页。因为(yn wi):上式称为上式称为(chn wi)多项系数。它是多项系数。它是的展开式中的展开式中 的系数。的系数。第第8页页/共共56页页第7页/共56页第七页，共57页。(3) 环排列环排列(pili) 从n个不同元素中，选出m个不同的元素排成一个圆圈(yunqun)的排列，共有：(4) 组合组合(zh)从从n个不同元素中取个不同元素中取m个而不考虑其次序的组合共个而不考虑其次序的组合共有有 种种.4123412311242343每个排列重复了4 次排列数为第第9页页/共共56页页第8

6、页/共56页第八页，共57页。常用常用(chn yn)组合公式：组合公式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）可以利用等式 来证明规定：规定：0!=1,第第10页页/共共56页页第9页/共56页第九页，共57页。总结：从总结：从n个不同个不同(b tn)的元素中摸取的元素中摸取m个元素个元素( mn)（1）有放回摸取）有放回摸取计序：计序：不计序：不计序：（2）不放回摸取）不放回摸取计序：计序：不计序：不计序：第第11页页/共共56页页第10页/共56页第十页，共57页。从从n个球中有放回不计序地摸取个球中有放回不计序地摸取m个球：个球：m个个0 1 2 3 4 m-5 m-4 m-3 m-2

7、 m-1+1 1 1 2 2 n-1 n-1 n-1 n n1 2 3 5 6 n+m-6 n+m-5 n+m-4 n+m-2 n+m-1变换为所有摸取方法(fngf)总数为： 从n个数中有放回地（即可以重复(chngf)或不计序）取出m个数的一个组合相当于从1到n+m-1个不同的数中不放回取出m个数的一个组合变换(binhun)是一一的第第12页页/共共56页页第11页/共56页第十一页，共57页。 11 12 13 22 23 33 例如：从例如：从1，2，3中有放回不计序地摸取中有放回不计序地摸取2个数，共有个数，共有 种：种：+ 01 01 01 01 01 01 12 13 14 2

8、3 24 34相当于从1, 2, 3, 4中不放回地取出2个不可(bk)重复的数第第13页页/共共56页页第12页/共56页第十二页，共57页。 例例1.9 把把10本书任意本书任意(rny)地放在书架上，求其中指地放在书架上，求其中指定的三定的三本书放在一起的概率。本书放在一起的概率。 解解 将将10本书放到书架上相当于将本书放到书架上相当于将10个元素作一次排个元素作一次排列，其所有可能的放法相当于列，其所有可能的放法相当于10个元素的全排列数个元素的全排列数10！，！，由于书是按任意的次序放到书架上去，因此，这由于书是按任意的次序放到书架上去，因此，这10！种！种排列中出现任意一种的可能

9、性相同，这是古典概型。用排列中出现任意一种的可能性相同，这是古典概型。用A表示事件表示事件“指定的三本书放在一起指定的三本书放在一起(yq)”，则事件包含的样本，则事件包含的样本点数为点数为8！3！，所以！，所以 第第14页页/共共56页页第13页/共56页第十三页，共57页。 例例1.10 把把1，2，3，4，5，6共共6个数各写在一张纸片个数各写在一张纸片上，从中任取三张纸片排成一个三位数。问：上，从中任取三张纸片排成一个三位数。问：（1）所得三位数是偶数的概率）所得三位数是偶数的概率(gil)是多少？是多少？ （2）所得三位数不小于）所得三位数不小于200的概率的概率(gil)是多少？是

10、多少？ 解解 从从6个数中任取三个，可以排列成个数中任取三个，可以排列成65 4 =120个三位数，故基本事件总数个三位数，故基本事件总数(zngsh)为为120。 (1)设设A表示事件表示事件“三位数是偶数三位数是偶数”，则，则A包含的基本事包含的基本事件数为件数为35 4 =60, 故故 第第15页页/共共56页页第14页/共56页第十四页，共57页。（2）设）设B表示事件表示事件“所得三位数不小于所得三位数不小于200”，只要百位数取，只要百位数取2，3，4，5，6其中之一，所组成的三位数必定其中之一，所组成的三位数必定(bdng)不小于不小于200，所以，所以，B包含的基本事件数为包含

11、的基本事件数为55 4 =100 ，故，故 例例1.11 从从6个男人和个男人和9个女人组成的小组中选出个女人组成的小组中选出5个人个人组成一个委员会，假定选取组成一个委员会，假定选取(xunq)是随机的，问委员会正好由是随机的，问委员会正好由3男男2女组成的概率是多少？女组成的概率是多少？ 解解 基本事件总数为基本事件总数为 ，事件包含的基本事件数，事件包含的基本事件数为为 , 所求概率为：所求概率为： 第第16页页/共共56页页第15页/共56页第十五页，共57页。 例例1.12（分房问题）（分房问题） 设有设有 n 个人个人(grn)，每个人，每个人(grn)等可能地被等可能地被分配到分

12、配到 N 个房间中的任意一间去住个房间中的任意一间去住( Nn )，求下列事件的，求下列事件的概率：概率： （1）指定的）指定的n个房间各住有一人；个房间各住有一人； （2）恰好有）恰好有n个房间，其中个房间，其中(qzhng)各住有一人（或每各住有一人（或每个房间最个房间最多住一人多住一人 ）；）；（3）指定的一个房间不空）指定的一个房间不空 ；（4）指定的一个房间恰好住）指定的一个房间恰好住k个人个人 (kn) 。 第第17页页/共共56页页第16页/共56页第十六页，共57页。 解解 将将n个人随意个人随意(su y)地分配到地分配到N个房间，共有个房间，共有 Nn 种分种分配方配方法，

13、记（法，记（1），（），（2），（），（3），（），（4）的事件分别为）的事件分别为A,B,C,D。 则则第第18页页/共共56页页第17页/共56页第十七页，共57页。 例例1.13（抽签问题）（抽签问题） 箱中有箱中有a根红签，根红签，b根白签，除颜根白签，除颜色外，这些签的其它色外，这些签的其它(qt)方面无区别，现有方面无区别，现有a+b个人依次不放回个人依次不放回地去抽签，求第地去抽签，求第k人抽到红签的概率。人抽到红签的概率。 解解1 把把 a 根红签根红签 b 根白签看作是不同的根白签看作是不同的 ( 设想对它们进设想对它们进 行编号行编号 )，若把所抽出的签依次排成一列，若把所

14、抽出的签依次排成一列， 其排列总数为其排列总数为 此即为基本事件总数。用此即为基本事件总数。用 Ak 表示事件表示事件“第第 k 人抽到人抽到红签红签”，因第人抽到红签有，因第人抽到红签有 a 种抽法，其余的种抽法，其余的 次次抽签，相当于抽签，相当于 个元素的全排列，有个元素的全排列，有 种，种，故事件故事件Ak包含的样本包含的样本(yngbn)点数为点数为 ，从而，从而第第19页页/共共56页页第18页/共56页第十八页，共57页。 解解2 把把 a 根红签看成是没有区别的，把根红签看成是没有区别的，把 b 根白签也根白签也看作是没有区别的，把所抽出的签依次放在排成一直线看作是没有区别的，

15、把所抽出的签依次放在排成一直线的的 a+ b 个位置上，因若把个位置上，因若把a 根红签的位置固定下来则其根红签的位置固定下来则其余位置必然是放白签的位置，我们以余位置必然是放白签的位置，我们以 a 根红签的所有不根红签的所有不同放法作为样本点，则基本事件总数为同放法作为样本点，则基本事件总数为 。 由于第由于第 k 次抽到红签，所以第次抽到红签，所以第 k 个位置个位置(wi zhi)必须放红签，必须放红签，剩下剩下a-1根红签可以放在根红签可以放在a+ b-1个位置个位置(wi zhi)的任意的任意a-1个位置个位置(wi zhi)上，上，第第20页页/共共56页页第19页/共56页第十九

16、页，共57页。故事件故事件Ak包含的样本点数为包含的样本点数为 。所以所求概率为。所以所求概率为 解解3 把把 a 根红签根红签 b 根白签看作是不同的（设想对它们根白签看作是不同的（设想对它们进行编号），以第进行编号），以第 k 次抽出的签的全部可能结果作为样本次抽出的签的全部可能结果作为样本空间，则样本空间中样本点总数空间，则样本空间中样本点总数(zngsh)为为 a+b，事件，事件Ak包含的样包含的样本点数为本点数为 a ，故所求概率为，故所求概率为第第21页页/共共56页页第20页/共56页第二十页，共57页。 这个例子告诉我们，计算随机事件的概率与所选取这个例子告诉我们，计算随机事件

17、的概率与所选取的样本空间有关。在计算基本事件总数（样本点总数）的样本空间有关。在计算基本事件总数（样本点总数）及事件及事件A所包含的基本事件数时，必须对一确定的样本所包含的基本事件数时，必须对一确定的样本空间考虑，若其中一个考虑顺序空间考虑，若其中一个考虑顺序(shnx)，则另一个也，则另一个也必须考虑必须考虑顺序顺序(shnx)，否则结果一定不正确。，否则结果一定不正确。 抽签问题是我们在实际中经常遇到的问题，由此例抽签问题是我们在实际中经常遇到的问题，由此例我们可以看出，每个人抽到红签的概率相同，与抽签的我们可以看出，每个人抽到红签的概率相同，与抽签的先后先后(xinhu)次序无关，这也与

18、我们的实际生活经验相次序无关，这也与我们的实际生活经验相同。同。第第22页页/共共56页页第21页/共56页第二十一页，共57页。 例例1.14 15名新生中有名新生中有3名优秀生，将这名优秀生，将这15名新生平均名新生平均分配到三个班级中去，求下列事件的概率：分配到三个班级中去，求下列事件的概率：（1）每一个）每一个(y )班级各分配到一个班级各分配到一个(y )优秀生；优秀生；（2）3名优秀生分配到同一班。名优秀生分配到同一班。 解解 记（记（1），（），（2）的事件分别为）的事件分别为 A , B 。 （1）将）将3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名名优秀生分配到三个班级使每个班级

19、都有一名优秀生的分法共优秀生的分法共3！种。对于每种分法，其余！种。对于每种分法，其余12名新生平名新生平均分配到三个班级中的分法共有种均分配到三个班级中的分法共有种 ，因此事件，因此事件A包含的基本事件数为包含的基本事件数为 ，所以，所以 第第23页页/共共56页页第22页/共56页第二十二页，共57页。 （2）将）将3名优秀生分配在同一班级内的分法共有名优秀生分配在同一班级内的分法共有3种，种，对于这每一种分法，其余对于这每一种分法，其余12名新生的分法有名新生的分法有 种，种，由乘法原理知事件由乘法原理知事件B包含包含(bohn)的样本点数为的样本点数为 ，故故 第第24页页/共共56页

20、页第23页/共56页第二十三页，共57页。 【例】【例】 假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等天中的任一天是等可能的可能的 , 即都等于即都等于 1/365 ,求求 64 个人中至少有个人中至少有2人生日相同人生日相同(xin tn)的概率的概率. 64 个人个人(grn)生日各不相同的概率为生日各不相同的概率为故64 个人中至少有2人生(rnshng)日相同的概率为解第第25页页/共共56页页第24页/共56页第二十四页，共57页。 【例】【例】 从从5 5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4 4只，这只，这4 4只鞋子中只鞋子中至少有两只鞋子配成一双至少有两

21、只鞋子配成一双(y shun)(y shun)的概率是多少的概率是多少? ? 解：A =4只鞋子中至少(zhsho)有两只鞋子配成一双=4只鞋子中没两只鞋子配成一双第第26页页/共共56页页第25页/共56页第二十五页，共57页。 【例】【例】 有有n n个人个人(grn)(grn)排队，排成一圈，求甲、乙排队，排成一圈，求甲、乙两人相邻的概率是多少两人相邻的概率是多少? ? 解：解：(2)排成一圈是环排列排成一圈是环排列(pili)， n个人的环排列个人的环排列(pili)有有(n1)!种，甲、乙相邻占一个位置的环排列种，甲、乙相邻占一个位置的环排列(pili)有有(n一一2)!种，考虑互换

22、种，考虑互换性，有利事件有性，有利事件有2 (n一一2)!种故：种故： 更为更为(n wi)简单的想法是：设想一个圆周上：简单的想法是：设想一个圆周上：有有n个位置，甲占了一个位置后，乙还有个位置，甲占了一个位置后，乙还有n一一1个位置个位置可选，其中与甲相邻的位置有可选，其中与甲相邻的位置有2个所以个所以:第第27页页/共共56页页第26页/共56页第二十六页，共57页。 【例】【例】 某人将三封写好的信随机装入三个写好某人将三封写好的信随机装入三个写好地址地址(dzh)的信封中，问没有一封信装对地址的信封中，问没有一封信装对地址(dzh)的的概率是多概率是多少？少？这是一个这是一个配对问题

23、第第28页页/共共56页页第27页/共56页第二十七页，共57页。解：设解：设Ai =第第i封信装入第封信装入第i个信封个信封(xnfng) i =1,2,3 A=没有一封信装对地址没有一封信装对地址直接计算直接计算P(A)不易，我们先来计算不易，我们先来计算 =至少(zhsho)有一封信装对地址则其中其中(qzhng)：第第29页页/共共56页页第28页/共56页第二十八页，共57页。于是于是(ysh):推广到n封信,用类似的方法可得:把n 封信随机地装入n个写好地址的信封中, 没有一封信配对的概率为:第第30页页/共共56页页第29页/共56页第二十九页，共57页。 【练习【练习(linx

24、)】从自然数列】从自然数列1，2，30中不放回地任取中不放回地任取10个数，按大小排列成个数，按大小排列成求事件求事件(shjin)A=x5=16的概率。的概率。 解解 基本事件总数为基本事件总数为 ，事件，事件A发生相当于有发生相当于有4次次取到小于取到小于16 的数，有的数，有5次取到大于次取到大于16 的数，故有利于的数，故有利于A的基本事件数为的基本事件数为 ，所求概率为，所求概率为第第31页页/共共56页页第30页/共56页第三十页，共57页。 例例 k个盒子中各装有个盒子中各装有n个球，编号为个球，编号为1，2，n，从每个盒子中各取一个，从每个盒子中各取一个(y )球，计算所得到的

25、球，计算所得到的k个个球中最大编号为球中最大编号为m 的概率（的概率（1 mn ）。）。 分析：分析： 本题所求概率也可叙述本题所求概率也可叙述(xsh)为为“从装有编号从装有编号为为1,2,n共共n个球的袋中有放回地取个球的袋中有放回地取k次，计算所得到的次，计算所得到的k个个球中最大编号为球中最大编号为m的概率（的概率（1 mn ）”。 解解 基本事件总数为基本事件总数为 nk ，有利，有利(yul)场合数可以场合数可以这这样考虑：先考虑最大编号不大于样考虑：先考虑最大编号不大于 m 的取法，共的取法，共有有 mk 种。种。第第32页页/共共56页页第31页/共56页第三十一页，共57页。

26、 再考虑最大编号不大于再考虑最大编号不大于 m-1 的取法，共有的取法，共有(n yu) (m-1)k 种种, 因此最大编为因此最大编为 m 的取法为的取法为mk - (m-1)k 则所求概率则所求概率(gil)为为 思考：若本题是不放回取球，结果思考：若本题是不放回取球，结果(ji gu)又如何又如何？ 同样的问题：同样的问题：掷掷 n 颗骰子，得最小的点数为颗骰子，得最小的点数为2的的概率是多少？概率是多少？(“最小的点数最小的点数2”-“最小的点数最小的点数3”).第第33页页/共共56页页第32页/共56页第三十二页，共57页。【练习【练习 】利用】利用(lyng)概率模型证明恒等式概

27、率模型证明恒等式（1）（2）证（证（1）构造）构造(guzo)概率模型：设一袋中有概率模型：设一袋中有n个球，其中只有个球，其中只有1个个红球，其余全是黑球，现从袋中无放回地摸出红球，其余全是黑球，现从袋中无放回地摸出r个球。记个球。记事件事件A=“摸出的摸出的r个球中有红球个球中有红球”，则，则由由 可得到等式（可得到等式（1）。）。第第34页页/共共56页页第33页/共56页第三十三页，共57页。 （2）构造概率模型：设一袋中有n个球，其中有m个红球，n-m个黑球(hi qi)，现从袋中无放回地摸出r个球。记事件Ai=“摸出的r个球中有i个红球”，则而而所以所以(suy)，即即第第35页页

28、/共共56页页第34页/共56页第三十四页，共57页。 【例【例*】一个人把】一个人把6根绳子紧握在手中，仅露根绳子紧握在手中，仅露出绳子的头和尾。然后请另一个人把出绳子的头和尾。然后请另一个人把6个头两两个头两两相接，相接，6个尾也两两相接。求放开手以后个尾也两两相接。求放开手以后(yhu)6根绳根绳子子恰好连成一个环的概率。恰好连成一个环的概率。 【解】【解】 取定一个头，它可以与其它的取定一个头，它可以与其它的5个头个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的过的3个之一相接，最后个之一相接，最后(zuhu)将剩下的两个头将剩下的两个头相接，相

29、接，故对头而言有故对头而言有 种接法，同样对尾也有种接法，同样对尾也有 种接法，所以样本点总数为种接法，所以样本点总数为 。 第第36页页/共共56页页第35页/共56页第三十五页，共57页。 用用A表示表示“6根绳子恰好连成一个环根绳子恰好连成一个环”，这种连，这种连接，对头而言仍有接，对头而言仍有 种连接法，而对尾而言，种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根绳子根绳子的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另接的另2根绳子的尾连接，最后再将其余的尾连接根绳子的尾连接，最后再将其余的尾

30、连接成环，故尾的连接法为成环，故尾的连接法为 。所以。所以(suy)A包含的样包含的样本点本点数为数为 ，于是，于是 第第37页页/共共56页页第36页/共56页第三十六页，共57页。 【例【例*】甲、乙两人掷均匀】甲、乙两人掷均匀(jnyn)的硬币，其的硬币，其中甲掷中甲掷n+1次，乙掷次，乙掷n次，求次，求“甲掷出正面的次数大于乙甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数掷出正面的次数”这一事件的概率。这一事件的概率。 【解】【解】 本题若直接计算本题若直接计算(j sun)会比较复杂，会比较复杂，下面我下面我们利用对称性来考虑。们利用对称性来考虑。 因为正面与反面所处的地位是对称的，所以因为正

31、面与反面所处的地位是对称的，所以(suy)事件事件“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”与事件与事件“甲掷出反面的次数大于乙掷出反面的次甲掷出反面的次数大于乙掷出反面的次数数”的概率相等。的概率相等。第第38页页/共共56页页第37页/共56页第三十七页，共57页。注意注意(zh y)到，到， 甲掷出正面甲掷出正面(zhngmin)的次数的次数乙掷出乙掷出正面正面(zhngmin)的次数的次数= 甲掷出反面甲掷出反面(fnmin)的次数的次数乙掷出反面乙掷出反面(fnmin)的次数的次数所以所以,= 甲掷出正面的次数乙掷出正面的次数P甲掷出正面的次数甲掷出

32、正面的次数乙掷出正面的次数乙掷出正面的次数= .第第39页页/共共56页页第38页/共56页第三十八页，共57页。 【例【例*】将均匀的硬币掷】将均匀的硬币掷 n 次，求次，求“出现正面的出现正面的次数多于次数多于(du y)反面的次数反面的次数”的概率。的概率。 【解】【解】 以以 A 表示表示(biosh)事件事件正面的次数反面正面的次数反面的次的次数数，当，当 n 为奇数时，正面的次数与反面的次数不为奇数时，正面的次数与反面的次数不会相等，此时会相等，此时=正面的次数正面的次数反面的次数反面的次数=正面正面(zhngmin)的次数反面的的次数反面的次数次数=反面的次数正面的次数反面的次数

33、正面的次数 , 由于正面与反面所处的地位是由于正面与反面所处的地位是对称的对称的，则，则 第第40页页/共共56页页第39页/共56页第三十九页，共57页。 P正面的次数正面的次数(csh)反面的次数反面的次数(csh) = P反面(fnmin)的次数正面的次数 所以所以(suy)， 当当 n 为偶数时，为偶数时，=正面的次数反面的次数 =正面的次数正面的次数=反面的次数反面的次数+正面的次数反面的次数 第第41页页/共共56页页第40页/共56页第四十页，共57页。所以所以(suy)，P正面的次数反面的次数正面的次数反面的次数=1-P正面正面(zhngmin)的次数的次数=反面的次反面的次数

34、数 -P正面正面(zhngmin)的次数反面的次的次数反面的次数数= P正面正面(zhngmin)的次数的次数反面的次数反面的次数 由于正面与反面所处的地位是对称的，则由于正面与反面所处的地位是对称的，则 P正面的次数反面的次数正面的次数反面的次数 = P反面的次数正面的次数反面的次数正面的次数第第42页页/共共56页页第41页/共56页第四十一页，共57页。于是于是(ysh)，P正面的次数(csh)反面的次数(csh)=第第43页页/共共56页页第42页/共56页第四十二页，共57页。二、几何(j h)概型 定义定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意当随机试验的样本空间是某个区域，并

35、且任意一点一点(y din)落在度量落在度量 (长度、长度、 面积、体积面积、体积) 相同的子区域是相同的子区域是等可等可能的，则事件能的，则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为其中，其中， 是事件是事件 A 的度量，的度量， 是样本空间的度量。是样本空间的度量。上式所定义的概率通常称为上式所定义的概率通常称为几何概率几何概率。 第第44页页/共共56页页第43页/共56页第四十三页，共57页。 例例1.15 (1.15 (会面问题会面问题) ) 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 0 到到 T T 这段时这段时间内间内, , 在预定地点在预定地点(ddin)(ddin)会面会面. . 先

36、到的人等候另一个先到的人等候另一个人人, , 经过时间经过时间 t( tT ) t( tT ) 后离去后离去. .设每人在设每人在0 0 到到T T 这段时间内各时刻到这段时间内各时刻到达该达该地是等可能的地是等可能的 , , 且两人到达的时刻互不牵连且两人到达的时刻互不牵连. .求甲、乙求甲、乙两两人能会面的概率人能会面的概率. . 解 以 x, y分别表示甲、乙到达指定地点的时刻，以A表示事件(shjin)“两人能会面”， 则样本空间可表示则样本空间可表示(biosh)为为: 事件事件A可表示为可表示为: 第第45页页/共共56页页第44页/共56页第四十四页，共57页。 这是一个这是一个

37、(y )几何概率问题几何概率问题（如图所示），（如图所示），所求概率所求概率(gil)为为:第第46页页/共共56页页第45页/共56页第四十五页，共57页。 类似问题：类似问题： 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停靠两艘轮船的码头停泊，它们等可能地在一停靠两艘轮船的码头停泊，它们等可能地在一昼夜内的任意时刻到达。如果甲船的停泊时间昼夜内的任意时刻到达。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不须中的任何一艘都不须(b x)等候码头空出的概率。等候码头空出的概率。 第第47页页/共共56页页第46页

38、/共56页第四十六页，共57页。 【例】从区间【例】从区间(0, 1)中任取两个中任取两个(lin )数，求两数，求两数之数之积小于积小于1/3的概率。的概率。 【解】 以 x, y分别表示(biosh)任取的两个数，以A 则样本空间可表示则样本空间可表示(biosh)为为: 事件事件A可表示为可表示为: 表示事件“两数之积小于1/3”第第48页页/共共56页页第47页/共56页第四十七页，共57页。第第49页页/共共56页页第48页/共56页第四十八页，共57页。 例例 从区间从区间(q jin) (0, 1) 中任取中任取3个数，分别记为个数，分别记为 x , y , z，求 y 位于(w

39、iy) x , z 之间的概率。 解法解法(ji f)一一 样本空间可表示为样本空间可表示为: 事件事件A可表示为可表示为: 第第50页页/共共56页页第49页/共56页第四十九页，共57页。则则 y 位于位于(wiy) x , z 之间的之间的概率为概率为 解法二解法二 记记A= y 位于位于 x , z 之间之间 ， B= x 位于位于 y , z 之间之间 ， C = z 位于位于 x , y 之间之间 ，则，则A，B，C 两两互两两互斥，且斥，且 所以所以第第51页页/共共56页页第50页/共56页第五十页，共57页。 思考题：思考题： 甲乙两人比赛，采取甲乙两人比赛，采取5局局3胜制

40、，胜制，胜者可获胜者可获1000元奖金，当比赛进行到甲元奖金，当比赛进行到甲2：1领领先时，比赛由于某种原因被迫中断先时，比赛由于某种原因被迫中断(zhngdun)，假，假定甲乙定甲乙两人的实力相当，问两人的实力相当，问1000元奖金该如何分配？元奖金该如何分配？第第52页页/共共56页页第51页/共56页第五十一页，共57页。 思考题解答思考题解答: 甲最终获胜甲最终获胜(hu shn)的情况有的情况有“甲第甲第4局获胜局获胜(hu shn)”或者或者“乙第乙第4局获胜局获胜(hu shn)而甲第而甲第5局获胜局获胜(hu shn)”。 所以，甲最终获胜所以，甲最终获胜(hu shn)的概率

41、为的概率为从而从而(cng r)甲应分得甲应分得1000元奖金中的元奖金中的 即即750元。元。第第53页页/共共56页页第52页/共56页第五十二页，共57页。例例 证明证明(zhngmng)等式：等式：证证1 因为因为(yn wi)两边两边(lingbin)求导得求导得令令 x=1 得得令令 x= -1 得得第第54页页/共共56页页第53页/共56页第五十三页，共57页。证证2 因为因为(yn wi)所以所以(suy)，第第55页页/共共56页页第54页/共56页第五十四页，共57页。【思考题】【思考题】 证明证明(zhngmng)等式等式【证证】第第56页页/共共56页页第55页/共56页第五十五页，共57页。感谢您的观赏(gunshng)！第56页/共56页第五十六页，共57页。内容(nirng)总结一、古典概型。说明 计算古典概型中事件A的概率，关键是要计算。（4）指定的一个房间恰好住k个人 (kn)。抽签问题是我们在实际中经常遇到的问题，由此例。（1）将3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名。解：A =4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双。=4只鞋子中没两只鞋子配成一双。【例】 某人将三封写好的信随机装入三个写好。直接计算P(A)不易，我们先来计算。甲最终(zu zhn)获胜的情况有“甲第4局获胜”或者第五十七页，共57页。