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1、西南财经大学经济数学系西南财经大学经济数学系孙疆明孙疆明高等数学高等数学微积分微积分精向量及其线性运算向量及其线性运算数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积平面平面空间曲线及其方程空间曲线及其方程曲面及其方程曲面及其方程空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算一、向量及其线性运算向量概念向量概念有大小、有方向的量称为向量有大小、有方向的量称为向量.两向量大小相等、方向相同叫做两向量两向量大小相等、方向相同叫做两向量相等相等；两向量方向相同或相反两向量方向相同或相反,叫做两向量叫做两向量平行平行(共线共线);起点放在一起，向量在一个平面内，叫做起点放在一起，向量在一
2、个平面内，叫做共面共面;向量的线性运算向量的线性运算(加减、数乘加减、数乘) 与一向量与一向量 大小相等、方向相反的向量叫大小相等、方向相反的向量叫做原向量的负向量做原向量的负向量. 记为：记为： .向量加法性质向量加法性质向量数乘性质向量数乘性质定理：定理：(向量平行条件向量平行条件)向量的数乘向量的数乘证完证完向量的乘法向量的乘法(积积)向量的夹角向量的夹角1.向量的数量积向量的数量积(点积点积)投影向量长度乘积投影向量长度乘积2.向量的向量积向量的向量积(叉积叉积)3.向量的混合积向量的混合积二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系Oxyz 按按x,y,z轴顺序轴顺序,坐标系符合坐标系符合右
3、手定则右手定则,称为右手系称为右手系. 任意两坐标轴确定一个平任意两坐标轴确定一个平面称坐标面面称坐标面. x,y 轴确定坐标轴确定坐标面称面称xOy面面(或或xy面面); x,z 轴轴确定坐标面称确定坐标面称xOz面面; y,z 轴轴确定坐标面称确定坐标面称yOz面面.三个坐标面把空间三个坐标面把空间分为八个部分，每分为八个部分，每个部分叫一个卦限个部分叫一个卦限. .如图如图: :在在xy坐标平面的上坐标平面的上部部, , 依次称为依次称为、卦限卦限. .在在xy面下部与第一面下部与第一卦限相对应的称为卦限相对应的称为第第卦限卦限; ;以后依次以后依次称为第称为第、卦限卦限. .空间点坐标
4、的位置特征空间点坐标的位置特征向量运算的坐标表示向量运算的坐标表示例例例例 已知两点已知两点(-1, 0, 2),(3, -2, 4), 求此两点间的距离求此两点间的距离. .向量的方向角向量的方向角 空间解析几何利用空间坐标系把空间解析几何利用空间坐标系把空间点构成的几何图形与代数方程联空间点构成的几何图形与代数方程联系起来系起来. .若曲面若曲面S上任意一点的坐标上任意一点的坐标zyOx关于曲面的两个基本问题关于曲面的两个基本问题: :三三. .空间曲面与方程空间曲面与方程则称方程则称方程F(x,y,z)=0 0为曲面为曲面S的方程的方程, 而称曲面而称曲面S为方程为方程F(x,y,z)=
5、0的图形的图形.(如上图如上图)都都满足方程满足方程F(x,y,z)=0 0；而不在曲面而不在曲面S上的点上的点, 坐标都不满足方程坐标都不满足方程F(x,y,z)=0,0,1. 1. 巳知曲面的几何轨迹巳知曲面的几何轨迹, , 建立曲面的方程建立曲面的方程M(x,y,z)S定义定义2. 巳知曲面的方程巳知曲面的方程, , 研究方程的图形研究方程的图形由几何轨迹求曲面方程，常用距离、夹角公式由几何轨迹求曲面方程，常用距离、夹角公式.例例 一动点一动点M( x, y, z)与两定点与两定点A(- -1,0,4)和和B(1,2,-1)B(1,2,-1)的的故故M( x, y, z)的轨迹方程的轨迹
6、方程距离相等距离相等, 求此动点求此动点M的轨迹方程的轨迹方程.(即即A、B两点连线的垂直平分两点连线的垂直平分面的方程面的方程)为为结论：平面方程均为一次方程结论：平面方程均为一次方程, ,反之亦然反之亦然. .平面的空间位置：平面的空间位置：xOz面的方程为面的方程为 y = = 0 因因xOy平面上任意一点的坐标满足平面上任意一点的坐标满足z = 0；而凡满而凡满3. 坐标平面的方程分别为坐标平面的方程分别为xOy面的方程为面的方程为 z = 0; yOz面的方程为面的方程为 x = 0;足足z z = 0= 0的点又都在的点又都在 xOy平面上；平面上；平行于平行于xOy面的平面方程为
7、面的平面方程为 z = c;平行于平行于yOz面的平面方程为面的平面方程为x=a 平行于平行于xOz面的平面方程为面的平面方程为y=b( (c为常数为常数, , 表示此平面在表示此平面在 z z 轴上的截距轴上的截距) )( (b为常数为常数, , 表示此平面在表示此平面在 y y 轴上的截距轴上的截距) )( (a为常数为常数, , 表示此平面在表示此平面在 x x 轴上的截距轴上的截距) )到定点到定点 距离为距离为R的点的轨迹的点的轨迹. .特别地特别地, ,以原点为以原点为球球心心, ,R为半径的球面方程为为半径的球面方程为2.球面球面3.柱面柱面巳知曲面的方程巳知曲面的方程, 研究方
8、程的图形研究方程的图形通常情况下通常情况下, ,三元方程的图形为一张空间曲面三元方程的图形为一张空间曲面; ;至于至于会会得出曲面得出曲面S的全貌的全貌这种方法称为这种方法称为一、二元方程的图形一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定则应由具体的坐标系而定.一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状.但若依次用平行于坐标面的平面但若依次用平行于坐标面的平面x = a、y = b和和z = c去截去截曲面曲面S，则可得一系列的截口曲线；，则可得一系列的截口曲线；再将它们综合起来就再将它们综合起来就例例4 4 考察下列的图形方程考察下列的图形方程:
9、: (1) 2x- - z= =0 (2) 2x+y+2z=4 “平行截口平行截口”法法.方程不含方程不含y, 用平行于用平行于xz面的任何面的任何平面平面 y=b 与之相交与之相交(联立联立)，得交，得交线线与与xOz面的交线为面的交线为 2x- - z = = 0是是 y=b 平面直线平面直线 2x- - z=0故该方程的图形是经过故该方程的图形是经过y轴且轴且的平面的平面.解解 (1)由方程由方程2x- - z = 0是一次方程是一次方程平面平面.D = 0,平面过原点平面过原点.在在xOz面上为直线面上为直线 2x- - z = 0；此为平面的截距式方程此为平面的截距式方程. .它与它
10、与x、y、z轴的交点分别为轴的交点分别为(2, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 2).解解 由方程由方程 2x + y + 2z = 4有有(2) 2x + y + 2z = 4 在空间，因方程在空间，因方程z=c 平面上平面上圆心在圆心在z z轴轴( (原点原点), ),半径为半径为R 圆圆. .解解 在在xy面上，方程面上，方程是原点为心，半径为是原点为心，半径为R的圆的圆.用任意平行用任意平行xy平面的平面平面的平面 z=c 去截曲面，其交线为去截曲面，其交线为不含不含z，曲面是以曲面是以 z 轴为心的圆柱面轴为心的圆柱面. 一般地一般地, 方程方程 F(x,y,z)=
11、0 中缺少某中缺少某个变量个变量, 则方程表示曲面平行那个作标轴，则方程表示曲面平行那个作标轴，曲面称为柱面曲面称为柱面. 柱面名称以坐标面柱面名称以坐标面交线交线 ( 称为称为准线准线)名称命名名称命名.如如解解 用用平面平面z=c( (c0) )去截曲面去截曲面, ,其截线为其截线为当当c=0时时, ,只有原点只有原点( (0, , 0, , 0) )满足此方程；满足此方程；c00时时,其截痕为以其截痕为以(0,0,c)为圆心为圆心,显然显然c越大，其交线圆越大越大，其交线圆越大.以以为半径的圆为半径的圆.抛物线抛物线.若用若用平面平面y=0去截曲面去截曲面, ,其截痕为其截痕为抛物线抛物
12、线.方程图形称为旋转抛物面方程图形称为旋转抛物面. .曲线曲线L L称为此旋转曲面的母线称为此旋转曲面的母线, ,曲面曲面 是是 z=y2绕绕z轴轴旋转而成抛物面旋转而成抛物面. .一般，一般，如果有一条平面曲线如果有一条平面曲线L(如如y=f(x)，绕着同一平面内一条，绕着同一平面内一条已知直线已知直线 (如如x轴轴) 旋转一周形成的曲面称为旋转一周形成的曲面称为旋转曲面旋转曲面.已知直线已知直线旋转曲面的轴旋转曲面的轴.称为此称为此 y=f(x)绕绕x轴旋转轴旋转,曲面方程曲面方程: y=f(x)绕绕y轴旋转轴旋转,曲面方程曲面方程: z=f(y)绕绕z轴旋转轴旋转,曲面方程曲面方程:称为椭球面称为椭球面(如图如图)方程方程 zbxyOac方程方程 z
