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1、（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动一、刚体、刚体的运动一、刚体、刚体的运动二、定轴转动（回忆角量系统）二、定轴转动（回忆角量系统）三、三、 刚体定轴转动时刚体定轴转动时角动量角动量的形式的形式四、转动惯量四、转动惯量2021/8/221（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动 刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体体 . （任意两质点间距离保持不变的（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组特殊质点组）刚体的运动形式：平动刚体的运动形式：平动(Translation )、转动、转动
2、( rotation) 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动一、刚体、刚体的运动一、刚体、刚体的运动 平动：若刚体中所有点的运动平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线于它们的初始位置间的连线 2021/8/222（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动动. 转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动 .2021/8/223（4）刚体运动学、转动惯量、
3、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动刚体的一般运动刚体的一般运动绕过o 轴的转动oABCo o轮子的平动ABCoABCoABABCCo加加2021/8/224（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动刚体的一般运动刚体的一般运动=质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+2021/8/225（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动参考平面参考平面角位移角位移 角坐标角坐标q约定约定沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向参考轴参考轴二、刚体的定轴转
4、动二、刚体的定轴转动(Fixed-axis rotation) 角量系统角量系统 2021/8/226（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动角加速度角加速度加速转动加速转动方向一致方向一致减速转动减速转动方向相反方向相反线量线量速度速度加速度加速度角量角量角速度角速度角加速度角加速度1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 运动描述仅需一维（类似质点的直线运动）运动描述仅需一维（类似质点的直线运动） 定轴转动定轴转动的特点的特点 2021/8/227（
5、4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动 刚体刚体定轴定轴转动转动（类（类似质点的直线运动只需一维似质点的直线运动只需一维坐标来描述）坐标来描述） 方向方向始终平行于转轴，始终平行于转轴，可以用角速度可以用角速度的正负来表示的正负来表示具体的方向具体的方向 方向方向也始终平行于转轴，也始终平行于转轴，可以用可以用 的正负来表示的正负来表示是变是变大还是变小。大还是变小。D Dw w 0D Dw w 0 0（其中（其中 、 都为都为代数量，有正负）代数量，有正负）2021/8/228（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动质点直线运动或刚体平
6、动刚体的定轴转动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度位移位移角位移角位移匀速直线运动匀速直线运动匀角速定轴转动匀角速定轴转动匀变速直线运动匀变速直线运动匀变角速定轴转动匀变角速定轴转动2021/8/229（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动定轴转动时，角量与线量的关系式定轴转动时，角量与线量的关系式 注意注意2021/8/2210（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度 例例1 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、 转速为转速为150rmin-1， 因因受制动而均匀减速，经受制动
7、而均匀减速，经 30 s 停止转动停止转动 . 试求：试求：（1）角）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始）制动开始后后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .解解（1） t = 30 s 时，时，设设.飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动时，时， t = 0 s 2021/8/2211（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动（2）时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度（3）时，飞轮边缘上一点的
8、线速度大小时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度转过的圈数转过的圈数2021/8/2212（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动转动转动平面平面转轴转轴 ，角速度，角速度刚体上任一质点刚体上任一质点转轴与其转动平面交点转轴与其转动平面交点 绕绕 圆周运动半径为圆周运动半径为 对对 的角动量：的角动量：即：即：三、定轴转动刚体的角动量三、定轴转动刚体的角动量2021/8/2213（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动在轴上确定正方向，角速度在轴上确定正方向，角速度表示为代数量，则定义表示为
9、代数量，则定义质点对质点对 z 轴的角动量轴的角动量（即（即质点对参考点质点对参考点o的角动量在的角动量在z轴上的投影轴上的投影）为为: :刚体对刚体对 z 轴的总角动量为：轴的总角动量为：转动转动平面平面对质量连续分布的刚体：对质量连续分布的刚体：刚体对刚体对 z 轴的总角动量为轴的总角动量为: （即质点对轴上某参考点（即质点对轴上某参考点o的角动量在的角动量在z轴上的投影）轴上的投影）令令转动惯量转动惯量J 2021/8/2214（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动四、新概念：转动惯量四、新概念：转动惯量(Moment of inertia ) 转动惯量：对
10、某一转轴的转动惯量等于每个质元的转动惯量：对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和质点系的转动惯量质点系的转动惯量 国际单位制中转动惯量的国际单位制中转动惯量的单位为千克单位为千克米米2 2（kgm2）单个质点的转动惯量单个质点的转动惯量质量连续分布的质量连续分布的刚体的转动惯量刚体的转动惯量转动转动平面平面2021/8/2215（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量的刚
11、体，才能用积分计算出刚体的转动惯量积分元选取：积分元选取：md刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 J J与刚体总质量有关与刚体总质量有关与刚体质量分布有关与刚体质量分布有关与转轴的位置有关与转轴的位置有关 注意注意2021/8/2216（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动几几种种常常见见刚刚体体的的转转动动惯惯量量2021/8/2217（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？2021/8/2218（4）刚体运动学、转动
12、惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动对同轴的转动惯量具有可加减性。对同轴的转动惯量具有可加减性。or1r2m1m2同轴圆柱同轴圆柱r1r2m1m2空心圆盘空心圆盘z讨论讨论12021/8/2219（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动平行轴定理平行轴定理正交轴定理正交轴定理对平面刚体对平面刚体两个常用定理两个常用定理（证明略）（证明略）讨论讨论2式中式中JC 为刚体对通过质心的轴的转为刚体对通过质心的轴的转动惯量动惯量, m是刚体的质量，是刚体的质量，d是两平是两平行轴之间的距离行轴之间的距离 。 若若z 轴垂直于轴垂直于厚度为无限小的刚厚度为无限小的刚
13、体薄板板面体薄板板面, xy 平面与板面重合平面与板面重合, 则则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯量有如上关系量有如上关系 2021/8/2220（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动例、例、求长为求长为L、质量为质量为m的均匀细棒对图中不同轴的的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：解：取如图坐标取线元取如图坐标取线元dm= dx做微元做微元改变坐标，改变坐标， 结果不变结果不变r为为x r为为(L/2-x)r为为x微元到转轴的微元到转轴的距离距离r实际的表实际的表达式和积分范达式和积分范围必须要与
14、所围必须要与所取的坐标符合取的坐标符合2021/8/2221（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动例、例、求质量为求质量为m、半径为半径为R的均匀的均匀圆环圆环的转动惯量。的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解解:I是可加的，所以若为是可加的，所以若为薄圆筒薄圆筒（不计厚度）结果相同。（不计厚度）结果相同。ROdm从圆环到圆盘（圆柱体），选择合适的微元，避免二重积分从圆环到圆盘（圆柱体），选择合适的微元，避免二重积分 2021/8/2222（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动例、例、求质量为求质量为m
15、、半径为半径为R的均匀圆盘的转动惯量。轴的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。与盘平面垂直并通过盘心。解：解：取半径为取半径为r宽为宽为dr的薄圆的薄圆环为微元环为微元RrdrORO2021/8/2223（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动 例例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动绕垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速度开始时，它的角速度 ，经，经300s 后，其转速达到后，其转速达到 18000rmin-1 . 已知转子的角加已知转子的角加速度与时间成正比速度
16、与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转过多少转？问在这段时间内，转子转过多少转？解解 由题意，令由题意，令 ，即，即 ，积分，积分 得得当当t=300s 时时所以所以角量系统角量系统习习 题题 训训 练练2021/8/2224（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动转子的角速度转子的角速度由角速度的定义由角速度的定义得得有有在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数2021/8/2225（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动例、求质量为例、求质量为m、半径为半径为R、厚为厚为l 的均匀圆盘的转动的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面
17、垂直并通过盘心。惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环柱为微元的薄圆环柱为微元转动惯量与转动惯量与l无关，无关，实心圆柱对其轴的转实心圆柱对其轴的转动惯量也是动惯量也是mR2/2RO2021/8/2226（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动练习练习1.1.由长由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过 A 垂直于纸面的轴的转动惯量垂直于纸面的轴的转动惯量2021/8/2227（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动2. 2. 一长为一长为 的细杆，质量
18、的细杆，质量 均匀分布均匀分布 ，求该杆对过，求该杆对过杆一端端点且垂直于杆的杆一端端点且垂直于杆的 z z 轴的转动惯量。轴的转动惯量。练习练习z2021/8/2228（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动3. 3. 求质量求质量 m , ,半径半径 R 的均匀球壳对直径的转动惯量的均匀球壳对直径的转动惯量练习练习解：解：取离轴线距离相等的点的取离轴线距离相等的点的集合为积分元集合为积分元m2021/8/2229（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动4. 4. 求质量求质量 m , ,半径半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量的均匀球
19、体对直径的转动惯量练习练习m解：解：以距中心以距中心 ，厚，厚 的球壳为积分元的球壳为积分元运用上题结果运用上题结果2021/8/2230（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动练习练习解解2：解解3：解解1 1：5.5.求长求长 L、质量、质量 m 的均匀杆对的均匀杆对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量用多种方法求：用多种方法求：2021/8/2231（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动 如图套两个质点的细杆长如图套两个质点的细杆长l ， 杆绕空端杆绕空端转动，分析整个系统绕转动，分析整个系统绕 o 点的转动惯量。将点的转动惯量。将两质
20、点换位再作计算。两质点换位再作计算。解：普通物理学教案例题1 ：2021/8/2232（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动 内半径为内半径为 R1 外半径为外半径为 R2 质量为质量为 m 的的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量。匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量。解：普通物理学教案例题5 ：2021/8/2233（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动 质质量量为为m 半半径径为为R 的的匀匀质质薄薄球球壳壳绕绕过过中中心轴的转动惯量。心轴的转动惯量。解：普通物理学教案例题6 ：在球面取一圆环带，在球面取一圆环带，半径半径2021/8/
21、2234（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动 质质量量为为m 半半径径为为R 的的匀匀质质球球体体绕绕过过球球心心轴的转动惯量。轴的转动惯量。解：普通物理学教案例题7 ：把球体看作无数个同心薄球壳的组合把球体看作无数个同心薄球壳的组合 2021/8/2235（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动为什么要引入为什么要引入“转动惯量转动惯量”概念概念1步、步、质点系对固定点的角动量定理质点系对固定点的角动量定理 作用于质点系的外力矩的矢量和等作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系角动量的对时间的变化率于质点系角动量的对时间的变化率质点质
22、点i受力受力对所有质点求和有：对所有质点求和有：因内力成对出现因内力成对出现故该项为零故该项为零证明：证明：讨讨 论论2021/8/2236（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动得：得：故得证：故得证：2步、步、质点系对轴的角动量定理质点系对轴的角动量定理如果质点系内所有质点均在如果质点系内所有质点均在各自的转动平面内绕同一轴各自的转动平面内绕同一轴转动，设该轴为转动，设该轴为z z轴，则质点轴，则质点系对系对z z轴的角动量定理为轴的角动量定理为O O2021/8/2237（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动概念概念:转动惯量转动
23、惯量J 质点系对轴的角动量定理质点系对轴的角动量定理 2021/8/2238（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动virimi i i质点系定轴转动质点系定轴转动3步、质点系的角动量守步、质点系的角动量守恒定律的两种情况：恒定律的两种情况：1）转动惯量不变的物体转动惯量不变的物体2）转动惯量可变的物体转动惯量可变的物体2021/8/2239（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动一些均匀刚体的转动惯量表一些均匀刚体的转动惯量表2021/8/2240（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动几几种种常常见见形形状状的的刚刚体体的的转转动动惯惯量量2021/8/2241（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动）刚体运动学、转动惯量、定轴转动2021/8/2242
