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1、掌握求掌握求轨迹方程建立坐迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲系的一般方法，熟悉求曲线方程方程的五个步的五个步骤掌握求掌握求轨迹方程的几种常用方法迹方程的几种常用方法2.1.2 求曲线的方程求曲线的方程【课标要求课标要求】【核心扫描核心扫描】利用坐利用坐标法根据曲法根据曲线的性的性质求曲求曲线的方程和已知曲的方程和已知曲线的方的方程程讨论曲曲线的的类型型(重点重点)利用不同的方法求曲利用不同的方法求曲线的方程及的方程及对坐坐标法的理解法的理解(难点难点) )1212解析几何研究的主要解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示根据已知条件，求出表示_；(2)通通过曲曲线的方程，研究曲的方
2、程，研究曲线的的_试一试试一试：尝试说明尝试说明“建立平面直角坐标系是解析几何的基建立平面直角坐标系是解析几何的基础础”提示提示只有建立了坐标系，才有点的坐标，才能把曲线代只有建立了坐标系，才有点的坐标，才能把曲线代数化，才能用代数法研究几何问题数化，才能用代数法研究几何问题自学导引自学导引1曲曲线的方程的方程性性质求曲求曲线方程的一般步方程的一般步骤(1)建立适当的坐建立适当的坐标系，用有序系，用有序实数数对_表示曲表示曲线上任上任意一点意一点M的坐的坐标；(2)写出适合条件写出适合条件p的点的点M的集合的集合P _；(3)用用_表示条件表示条件p(M)，列出方程，列出方程_ ；(4)化方程
3、化方程f(x，y)0为最最简形式；形式；(5)说明以化明以化简后的方程的解后的方程的解为坐坐标的点都在曲的点都在曲线上上想一想想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略求曲线方程的步骤是否可以省略？提示提示可以如果化简前后方程的解集是相同的，可以省可以如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤略步骤“结论结论”，如有特殊情况，可以适当说明，也可以根，如有特殊情况，可以适当说明，也可以根据情况省略步骤据情况省略步骤“写集合写集合”，直接列出曲线方程，直接列出曲线方程2(x，y)M|p(M)f(x，y)0坐坐标求曲求曲线方程的常方程的常见方法方法(1)直接法：建立适当的坐直接法：建立适当的坐标系后，系
4、后，设动点点为(x，y)，根据几何，根据几何条件条件寻求求x，y之之间的关系式的关系式(2)定定义法：如果所法：如果所给几何条件正好符合已学曲几何条件正好符合已学曲线的定的定义，则可直接利用可直接利用这些已知曲些已知曲线的方程写出的方程写出动点的点的轨迹方程迹方程(3)代入法：利用所求曲代入法：利用所求曲线上的上的动点与已知曲点与已知曲线上上动点的关系，点的关系，把所求把所求动点点转换为已知已知动点具体地点具体地说，就是用所求，就是用所求动点的点的坐坐标(x，y)来表示已知来表示已知动点的坐点的坐标，并代入已知，并代入已知动点点满足的曲足的曲线的方程，由此可求得的方程，由此可求得动点坐点坐标(
5、x，y)满足的关系足的关系名师点睛名师点睛(4)参数法：如果参数法：如果问题中所求中所求动点点满足的几何条件不易得出，足的几何条件不易得出，也没有明也没有明显的相关点，但能的相关点，但能发现这个个动点受某个点受某个变量量(像像角度、斜率、比角度、斜率、比值、截距、截距、时间、速度等、速度等)的影响，此的影响，此时，可先建立可先建立x、y分分别与与这个个变量的关系，然后将量的关系，然后将该变量量(参数参数)消去，即可得到消去，即可得到x、y的关系式的关系式题型一题型一直接法求曲线方程直接法求曲线方程 已知在直角三角形已知在直角三角形ABC中，角中，角C为直角，点直角，点A(1，0)，点点B(1，
6、0)，求，求满足条件的点足条件的点C的的轨迹方程迹方程【例例1】解解 如如图，设C(x，y)，(x1)(x1)y20.化化简得得x2y21.A、B、C三点要构成三角形，三点要构成三角形，A、B、C不共不共线，y0，点点C的的轨迹方程迹方程为x2y21(y0)规律方法规律方法 直接法是求直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件足的几何条件，将几何条件M|p(M)直接翻直接翻译成成x，y的的形式形式F(x，y)0，然后，然后进行等价行等价变换，化，化简为f(x，y)0.要注意要注意轨迹上的点不能含有迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是点，也
7、不能少点，也就是说曲曲线上的点一个也不能多，一个也不能少上的点一个也不能多，一个也不能少设两定点两定点A，B距离距离为8，求到，求到A，B两点距离的平方两点距离的平方和是和是50的的动点的点的轨迹方程迹方程解解以以A，B两点两点连线为x轴，A为坐坐标原点建立直角坐原点建立直角坐标系，系，如如图所示，所示，则A(0，0)，B(8，0)设曲曲线上的上的动点点P(x，y)【变式变式1】 已知已知圆C：(x1)2y21，过原点原点O作作圆的任意弦，求所的任意弦，求所作弦的中点的作弦的中点的轨迹方程迹方程思路探索思路探索 利用利用圆心与弦中点的心与弦中点的连线垂直于弦，可知弦中点的垂直于弦，可知弦中点的
8、轨迹是迹是圆题型题型二二定义法求曲线方程定义法求曲线方程【例例2】规律方法规律方法 如果如果动点的点的轨迹迹满足某种已知曲足某种已知曲线的定的定义，则可依据定可依据定义结合条件写出合条件写出动点的点的轨迹方程利用定迹方程利用定义法求法求轨迹要善于抓住曲迹要善于抓住曲线的定的定义特征特征 已知定已知定长为6的的线段，其端点段，其端点A、B分分别在在x轴、y轴上移上移动，线段段AB的中点的中点为M，求，求M点的点的轨迹方程迹方程解解作出作出图象如象如图所示，根据直角三角形的性所示，根据直角三角形的性质可知可知【变式变式2】所以所以M的的轨迹迹为以原点以原点O为圆心，以心，以3为半径的半径的圆，故，
9、故M点点的的轨迹方程迹方程为x2y29. (12分分)已知已知动点点M在曲在曲线x2y21上移上移动，M和定点和定点B(3，0)连线的中点的中点为P，求，求P点的点的轨迹方程迹方程题型题型三三代入法求曲线方程代入法求曲线方程【例例3】又又M在曲在曲线x2y21上，上，(2x3)24y21 10分分P点的点的轨迹方程迹方程为(2x3)24y21. 12分分【题后反思题后反思】 代入法求代入法求轨迹方程就是利用所求迹方程就是利用所求动点点P(x，y)与相关与相关动点点Q(x0，y0)坐坐标间的关系式，且的关系式，且Q(x0，y0)又在又在某已知曲某已知曲线上，上，则可用所求可用所求动点点P的坐的坐
10、标(x，y)表示相关表示相关动点点Q的坐的坐标(x0，y0)，即利用，即利用x，y表示表示x0，y0，然后把，然后把x0，y0代入已知曲代入已知曲线方程即可求得所求方程即可求得所求动点点P的的轨迹方程迹方程已知已知ABC的的顶点点A(3，0)，B(0，3)，另一个，另一个顶点点C在曲在曲线x2y29上运上运动求求ABC重心重心M的的轨迹方程迹方程解解设ABC顶点点C(x0，y0)，则x02y029.设ABC重心重心M(x，y)由三角形重心坐由三角形重心坐标公式得：公式得：【变式变式3】代入代入式得：式得：(3x3)2(3y3)29，化化简得：得：(x1)2(y1)21.此即此即为ABC重心重心
11、M的的轨迹方程迹方程 已知等腰三角形的已知等腰三角形的顶点是点是A(4，2)，底，底边一个一个顶点是点是B(3，5)，求另一个，求另一个顶点点C的的轨迹方程，并迹方程，并说明它的明它的轨迹是迹是什么？什么？错解错解 设另一另一顶点点C的坐的坐标为(x，y)，依依题意，得意，得|AC|AB|，由两点由两点间距离公式，得距离公式，得 误区警示未对所求结果进行检验致误误区警示未对所求结果进行检验致误【示示例例】 造成以上造成以上错误的原因是没有的原因是没有认真思考真思考题目的几何条目的几何条件件由于由于A、B、C是构成三角形的三是构成三角形的三顶点，所以点，所以A、B、C三点不能三点不能共共线 正解
12、正解 设另一另一顶点点C的坐的坐标为(x，y)，依，依题意，意，得得|AC|AB|，由两点由两点间距离公式，得距离公式，得化化简，得，得(x4)2(y2)210.因因为A、B、C为三角形的三个三角形的三个顶点，点，所以所以A、B、C三点不共三点不共线，即点即点B、C不能重合，且不能重合，且B、C不能不能为 A的一直径的两个端点的一直径的两个端点因因为B、C不重合，所以点不重合，所以点C的坐的坐标不能不能为(3，5)，又因又因为点点B、C不能不能为 A的一直径的两个端点，的一直径的两个端点， 求曲求曲线的方程与求的方程与求轨迹是有不同要求的，若是求迹是有不同要求的，若是求轨迹迹则不不仅要求出方程，而且要求出方程，而且还需需说明和明和讨论所求所求轨迹是什迹是什么么样的的图形、在何形、在何处即即图形的形状、位置、大小都需形的形状、位置、大小都需说明、明、讨论清楚求清楚求“轨迹迹”时首先要求出首先要求出“轨迹方程迹方程”，然后再，然后再说明明方程的方程的轨迹迹图形，最后形，最后“补漏漏”和和“去掉增多去掉增多”的点的点单击此处进入单击此处进入 活页规范训练活页规范训练
