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1、 3.43.4 基本不等基本不等式式（2 2）基本不等式求最值基本不等式求最值一、重要不等式的再认识一、重要不等式的再认识 一般地一般地, ,对于任意实数对于任意实数a、b,都都有有(当且仅当当且仅当a=b时时, ,等号成立等号成立)1、基础不等式：(当且仅当当且仅当a =b时时, ,等号成立等号成立)2、均值不等式:3、均值不等式的变形:问题：在均值不等式中，如果 ， 的取值范围是什么？(p为定值) 问题：在均值不等式中，如果 ， 的取值范围是什么？(s为定值) （最小值定理）（最小值定理）(当且仅当当且仅当x =y时时, ,等号成立等号成立)小小大大二、最值定理二、最值定理（最大值定理）（
2、最大值定理）使用均值定理求最值，须注意三点使用均值定理求最值，须注意三点：1.研究对象都是正数；研究对象都是正数； 2.和和(或积或积)一定要有定值；一定要有定值；3.等号必须取到。等号必须取到。 （一正二定三相等）（一正二定三相等）【例例1】若若 ,求求 的最小值的最小值.变变3:若若 ,求求 的最小值的最小值.变变2:若若 ,求求 的最小值的最小值.问问: :在结论成立的基础上在结论成立的基础上, ,条件条件“a0,b0”可以变化吗可以变化吗？变变1: :若若 求求 的最小值的最小值问问：定值的含义是什么定值的含义是什么？构造条件一正二定三相等【例例2】已知已知 ,求函数求函数 的最大的最
3、大值值.【结论结论1 1】两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值【结论结论2 2】两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值变式变式:已知已知 ,求函数求函数 的最大的最大值值.应用要点应用要点：一正数一正数 二定值二定值 三相三相等等【巩固练习】【巩固练习】2.已知已知 ,则则x y 最大值是最大值是 。D 3、若实数、若实数 ,且且 ,则则 的最小值是（的最小值是（ ） A、10 B、 C、 D、C211.当当x0时，时， 的最小值为的最小值为 ，此时，此时x= 。4、在下列函数中，最小值为、在下列函数中，最小值为2的是（的是（ ） A、 B、C、
4、D、即即 的最小值为的最小值为这两次取这两次取“= =”号的条件是号的条件是不同的，故结果错。不同的，故结果错。拨乱反正拨乱反正【例【例3】已知正数】已知正数 满足足 ,求求的最小值的最小值.解解：这个解法正确吗？解解:当且仅当当且仅当即即:时取时取“=”号号即此时即此时正确解答是正确解答是:【本【本题小小结】如果多次运用均如果多次运用均值不等式求最不等式求最值,则要考要考虑多次多次“”(或者或者“”)中取中取“=”成立的成立的诸条件是否相容。条件是否相容。【例4】 某工厂拟建一座平面图为矩形某工厂拟建一座平面图为矩形，且面且面积积 为为200m2的三级污水处理池的三级污水处理池(如图如图)。
5、如果。如果池四池四 周围墙建造单价为周围墙建造单价为400元元/m，中间两道中间两道隔墙造隔墙造 价为价为248元元/m，池底造价为池底造价为80元元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最底理池的长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。造价。解解：答答：池长18m,宽100/9 m时,造价最低为30400元。【巩固练习】【巩固练习】1.用用篱笆笆围成一个面成一个面积为100m2的矩形菜园，的矩形菜园，问这个矩形的个矩形的长、宽各各为多少多少时，所用，所用篱笆笆最短，最短的最短，最短的篱笆是多少？笆是多少？2.一段一
6、段长为36m的的篱笆笆围成一个矩形菜园成一个矩形菜园,问这个矩形的个矩形的长、宽各各为多少多少时，菜园的面，菜园的面积最大最大，最大面最大面积是多少？是多少？3. 某工厂要建造一个某工厂要建造一个长方形无盖方形无盖贮水池水池,其其容容积为4800m3，深，深为3m。如果池底每平方如果池底每平方米的造价米的造价为150元，池壁每平方米的造价元，池壁每平方米的造价为120元，怎元，怎样设计能使能使总造价最低？最低造价最低？最低总造价是多少？造价是多少？ 用均值不等式解决此类问题时，应按如用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：下步骤进行：归纳归纳: :(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
7、先理解题意，设变量，设变量时一般把 要求最大值或最小值的变量定为函数；要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽建立相应的函数关系式，把实际问题抽 象为函数的最大值或最小值问题；象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案正确写出答案. 课堂小结课堂小结 本节课我们用两个正数的算术平均数与几何本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题. “用均值不等式求函数的最值用均值不等式求函数的最值”是值得重视是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或函数的解析式中，含变数的各项的和或 积必须有一个为定值；积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，函数的解析式中，含变数的各项均相等， 取得最值取得最值. 即用均值不等式求某些函数的最值时即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件应具备三个条件： 一正一正 二定二定 三取等三取等.作业：课时作业作业：课时作业(20)
