《高考数学 专题辅导与训练 6.2《概率、随机变量及其分布列》课件 理 新人教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 专题辅导与训练 6.2《概率、随机变量及其分布列》课件 理 新人教版（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、热点考向热点考向1 1 等可能性事件的概率等可能性事件的概率【例【例1 1】(13(13分分)(2011)(2011重庆高考重庆高考) )某市公租房的房源位于某市公租房的房源位于A A、B B、C C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4 4位申请人位申请人中：中：(1)(1)没有人申请没有人申请A A片区房源的概率；片区房源的概率；(2)(2)每个片区的房源都有人申请的概率每个片区的房源都有人申请的概率. .【解题指导【解题指导】先求出总
2、的基本事件的个数先求出总的基本事件的个数, ,再求出符合题意要再求出符合题意要求的基本事件的个数求的基本事件的个数, ,最后计算概率最后计算概率. .【规范解答【规范解答】(1)(1)方法一：所有可能的申请方式有方法一：所有可能的申请方式有3 34 4种，而种，而“没有人申请没有人申请A A片区房源片区房源”的申请方式有的申请方式有2 24 4种种. .4 4分分记记“没有人申请没有人申请A A片区房源片区房源”为事件为事件E E，则，则P(E)= P(E)= 7 7分分方法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是方法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4 4次独立次独立重复试验重复试验.
3、 . 2 2分分记记“申请申请A A片区房源片区房源”为事件为事件E E，则，则P(E)= P(E)= 4 4分分由独立重复试验中事件由独立重复试验中事件E E恰发生恰发生k k次的概率计算公式知，没有次的概率计算公式知，没有人申请人申请A A片区房源的概率为片区房源的概率为P= P= 7 7分分(2)(2)所有可能的申请方式有所有可能的申请方式有3 34 4种，而种，而“每个片区的房源都有每个片区的房源都有人申请人申请”的申请方式有的申请方式有 ( (或或 ) )种种. .1010分分记记“每个片区的房源都有人申请每个片区的房源都有人申请”为事件为事件F F，从而有，从而有P(F)= (P(
4、F)= (或或P(F)= ).P(F)= ).1313分分等可能性事件的概念及求法等可能性事件的概念及求法(1)(1)构成等可能性事件的条件构成等可能性事件的条件: :基本事件的总数是有限的基本事件的总数是有限的; ;每个基本事件发生的可能性是相等的每个基本事件发生的可能性是相等的. .(2)(2)等可能性事件概率的求法等可能性事件概率的求法: :确定基本事件的总数确定基本事件的总数m,m,确定事件包含的基本事件的个数确定事件包含的基本事件的个数n,n,计算计算P=P= 等可能性事件概率的求法，基本上要用排列、组合的等可能性事件概率的求法，基本上要用排列、组合的知识来解答，是排列、组合知识的直
5、接应用及延伸知识来解答，是排列、组合知识的直接应用及延伸. .一个盒子中装有一个盒子中装有5 5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是别是1 1、2 2、3 3、4 4、5 5，现从盒子中随机抽取卡片，现从盒子中随机抽取卡片. .(1)(1)从盒子中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片从盒子中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数的概率；不放回，求两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数的概率；(2)(2)若从盒子中有放回地抽取若从盒子中有放回地抽取3 3次卡片，每次抽取一张，求恰次卡片，每次抽取一张，求
6、恰有两次取到卡片的数字为奇数的概率有两次取到卡片的数字为奇数的概率. .【解析【解析】(1)(1)因为因为1,3,51,3,5是奇数，是奇数，2 2、4 4是偶数，记事件是偶数，记事件A A为为“两两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数次取到的卡片的数字都为奇数或偶数”，P(A)=P(A)=(2)(2)记记B B表示事件表示事件“有放回地抽取有放回地抽取3 3次卡片，每次抽取一张，恰次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到卡片的数字为奇数有两次取到卡片的数字为奇数”，由已知，每次取到的卡片上数字为奇数的概率为由已知，每次取到的卡片上数字为奇数的概率为则则P(B)=P(B)=热点考向热点考向2 2 互斥事
7、件、相互独立事件的概率互斥事件、相互独立事件的概率【例【例2 2】(12(12分分)(2011)(2011四川高考四川高考) )本着健康、低碳的生活本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多理念，租自行车骑游的人越来越多. .某自行车租车点的收某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为部分每小时收费标准为2 2元元( (不足不足1 1小时的部分按小时的部分按1 1小时计小时计算算).).有甲、乙两人互相独立来该租车点租车骑游有甲、乙两人互相独立来该租车点租车骑游( (各租一各租一车一次车一次
8、).).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 两人两人租车时间都不会超过四小时租车时间都不会超过四小时. .(1)(1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；(2)(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6 6元的概率元的概率. .【解题指导【解题指导】直接利用相互独立事件的概率公式求解直接利用相互独立事件的概率公式求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)分别记甲、乙在三小时以
9、上且不超过四小时分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件还车为事件A A、B B，则，则 1 1分分P(A)=1- P(A)=1- 3 3分分P(B)=1- P(B)=1- 5 5分分答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为为 6 6分分(2)(2)记记“甲、乙两人所付的租车费用之和小于甲、乙两人所付的租车费用之和小于6 6元元”为事为事件件C C，则，则 7 7分分P(C)= P(C)= 11 11分分答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6 6元的概率为元的概率为 12 12分分求解互斥
10、事件、相互独立事件的概率问题的策略求解互斥事件、相互独立事件的概率问题的策略(1)(1)解答概率综合题时解答概率综合题时, ,一般一般“大化小大化小”, ,即将问题划分为若干即将问题划分为若干个彼此互斥个彼此互斥( (独立独立) )事件事件, ,然后运用概率的加法或乘法公式求解然后运用概率的加法或乘法公式求解. .(2)(2)在求事件概率时在求事件概率时, ,常常遇到常常遇到“至少至少”或或“至多至多”等问题等问题, ,若若从正面考虑问题从正面考虑问题, ,可能造成过程繁琐可能造成过程繁琐, ,此时可采用其对立事件此时可采用其对立事件求解求解, ,运用运用“正难则反正难则反”的思想进行转化的思
11、想进行转化, ,以简化解答过程以简化解答过程. . 运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件拆分为几个互斥事件，间是否互斥，同时要学会把一个事件拆分为几个互斥事件，但应注意考虑周全，不重不漏但应注意考虑周全，不重不漏. .甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为 和和 求：求：(1)(1)两个人都破译出密码的概率；两个人都破译出密码的概率；(2)(2)两个人都破译不出密码的概率；两个人都破译不出密码的概率；(3)(3)恰有一人破译出密码的概率；恰有一人破译出密码的概率；(4)
12、(4)至多一人破译出密码的概率；至多一人破译出密码的概率；(5)(5)至少一人破译出密码的概率至少一人破译出密码的概率. .【解析【解析】记事件记事件A A为为“甲独立地破译出密码甲独立地破译出密码”，事件，事件B B为为“乙乙独立地破译出密码独立地破译出密码”. .(1)(1)“两个人都破译出密码两个人都破译出密码”的概率为的概率为P(AB)=P(A)P(B)=P(AB)=P(A)P(B)=(2)(2)“两个人都破译不出密码两个人都破译不出密码”的概率为的概率为P( )=P( )= = =1-P(A)1-P(A)1-P(B)1-P(B)=(1- )=(1- )(1- )=(1- )=(3)(
13、3)“恰有一人破译出密码恰有一人破译出密码”分为两类：甲破译出乙破译分为两类：甲破译出乙破译不出；乙破译出甲破译不出，即不出；乙破译出甲破译不出，即( )( ).( )( ).所以所以“恰有一人破译出密码恰有一人破译出密码”的概率为的概率为P( )( )=P( P( )( )=P( )+P( )+P( )(4)(4)“至多一人破译出密码至多一人破译出密码”的对立事件是的对立事件是“两人都破译两人都破译出密码出密码”，所以，所以“至多一人破译出密码至多一人破译出密码”的概率为的概率为1-P(AB)=1-1-P(AB)=1-(5)(5)“至少一人破译出密码至少一人破译出密码”的对立事件为的对立事件
14、为“两人都没有破译两人都没有破译出密码出密码”，所以，所以“至少一人破译出密码至少一人破译出密码”的概率为的概率为1-P( )=1-1-P( )=1-热点考向热点考向3 3 独立重复试验和二项分布独立重复试验和二项分布【例【例3 3】(12(12分分)(2011)(2011兰州模拟兰州模拟) )某品牌饮料为了扩大其消某品牌饮料为了扩大其消费市场，特实行费市场，特实行“再来一瓶再来一瓶”有奖促销活动有奖促销活动. .该品牌饮料的该品牌饮料的瓶盖内刻有瓶盖内刻有“再来一瓶再来一瓶”字样，或刻有字样，或刻有“谢谢惠顾谢谢惠顾”字字样，如见瓶盖内刻有样，如见瓶盖内刻有“再来一瓶再来一瓶”字样，即可凭该
15、瓶盖，字样，即可凭该瓶盖，在指定零售地点兑换相同规格的饮料一瓶，本次活动中奖在指定零售地点兑换相同规格的饮料一瓶，本次活动中奖的概率为的概率为 今年春节期间有甲、乙、丙今年春节期间有甲、乙、丙3 3位朋友聚会，选用位朋友聚会，选用6 6瓶这种饮料，并限定每人喝瓶这种饮料，并限定每人喝2 2瓶，求：瓶，求：(1)(1)甲喝的甲喝的2 2瓶饮料都中奖的概率；瓶饮料都中奖的概率；(2)(2)甲、乙、丙甲、乙、丙3 3人中恰有人中恰有2 2人喝到中奖饮料的概率；人喝到中奖饮料的概率；(3)(3)记记为甲、乙、丙为甲、乙、丙3 3人中喝到中奖饮料的人数，求人中喝到中奖饮料的人数，求的数的数学期望学期望.
16、 .【解题指导【解题指导】饮用各瓶饮料中奖的概率相互之间没有影响，饮用各瓶饮料中奖的概率相互之间没有影响，属独立重复试验，可用独立重复试验的概率公式求解属独立重复试验，可用独立重复试验的概率公式求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)记记“第一瓶饮料中奖第一瓶饮料中奖”为事件为事件A A1 1，“第二瓶第二瓶饮料中奖饮料中奖”为事件为事件A A2 2，A A1 1与与A A2 2为相互独立事件，为相互独立事件，“甲喝的甲喝的2 2瓶瓶饮料都中奖饮料都中奖”就是事件就是事件A A1 1与与A A2 2同时发生同时发生. .根据相互独立事件的根据相互独立事件的概率乘法公式，甲喝的概率乘法公式，
17、甲喝的2 2瓶饮料都中奖的概率：瓶饮料都中奖的概率：P(AP(A1 1A A2 2)=P(A)=P(A1 1) )P(AP(A2 2)= )= 答：甲喝的答：甲喝的2 2瓶饮料都中奖的概率为瓶饮料都中奖的概率为 4 4分分(2)(2)记记“一人喝到中奖饮料一人喝到中奖饮料”为事件为事件A A，则则P(A)= P(A)= 6 6分分三人喝三人喝6 6瓶饮料且限定每人瓶饮料且限定每人2 2瓶相当于瓶相当于3 3次独立重复试验次独立重复试验. .根据根据n n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A A恰好发生恰好发生k k次的概率公式，甲、乙、次的概率公式，甲、乙、丙丙3 3人中恰有人中恰有2
18、2人喝到中奖饮料的概率：人喝到中奖饮料的概率：答：甲、乙、丙答：甲、乙、丙3 3人中恰有人中恰有2 2人喝到中奖饮料的概率为人喝到中奖饮料的概率为 8 8分分(3)(3)由于每个人喝到中奖饮料的概率都是由于每个人喝到中奖饮料的概率都是 且每个人是否且每个人是否喝到中奖饮料相互独立，故喝到中奖饮料相互独立，故B(3, ),EB(3, ),E=3=3 答：答：的数学期望为的数学期望为 12 12分分独立重复试验的条件及求解关键独立重复试验的条件及求解关键(1)(1)构成独立重复试验的条件构成独立重复试验的条件: :各次试验的条件相同各次试验的条件相同; ;在各次试验中在各次试验中, ,某一事件的概
19、率不变某一事件的概率不变. .(2)(2)解决实际问题的关键：解决实际问题的关键：紧紧抓住某一事件的概率不变紧紧抓住某一事件的概率不变; ;搞清试验次数及某一事件发生的次数搞清试验次数及某一事件发生的次数; ;使用公式准确计算即可使用公式准确计算即可. . P Pn n(k(k)= P)= Pk k(1-P)(1-P)n-kn-k恰好是恰好是(1-P)+P(1-P)+Pn n的展开式的第的展开式的第k+1k+1项项. .甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校20102010年自主招年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审生，高考前自
20、主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即获得自主招核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即获得自主招生入选资格生入选资格. .因为甲、乙、丙三人各有优势，甲、乙、丙三人因为甲、乙、丙三人各有优势，甲、乙、丙三人审核过关的概率分别为审核过关的概率分别为0.50.5，0.60.6，0.40.4，审核过关后，甲、乙、，审核过关后，甲、乙、丙三人文化测试合格的概率分别为丙三人文化测试合格的概率分别为0.60.6，0.50.5，0.75.0.75.(1)(1)求甲、乙、丙三人中只有一人通过审核的概率；求甲、乙、丙三人中只有一人通过审核的概率；(2)(2)求甲、
21、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格的概率；求甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格的概率；(3)(3)求甲、乙、丙三人中至少有二人获得自主招生入选资格的求甲、乙、丙三人中至少有二人获得自主招生入选资格的概率概率. .【解析【解析】(1)(1)分别记分别记“甲、乙、丙三人通过审核甲、乙、丙三人通过审核”为事件为事件A A1 1、A A2 2、A A3 3, ,故只有一人通过审核的概率为故只有一人通过审核的概率为=0.5=0.50.40.40.6+0.50.6+0.50.60.60.6+0.50.6+0.50.40.40.4=0.38.0.4=0.38.(2)(2)分别记分别记“甲、乙、丙三人各自
22、获得自主招生入选资格甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格”为为事件事件A A、B B、C C，则则P(A)=0.5P(A)=0.50.6=0.30.6=0.3P(B)=0.6P(B)=0.60.5=0.30.5=0.3，P(C)=0.4P(C)=0.40.75=0.3.0.75=0.3.(3)(3)记记“仅两人获得自主招生入选资格仅两人获得自主招生入选资格”为事件为事件D D，记，记“三人三人均获得自主招生入选资格均获得自主招生入选资格”为事件为事件E E，P(D)= (0.3)P(D)= (0.3)2 2(1-0.3)(1-0.3)1 1=0.189=0.189P(E)= (0.3)P(E
23、)= (0.3)3 3(1-0.3)(1-0.3)0 0=0.027=0.027故至少有二人获得自主招生入选资格的概率为故至少有二人获得自主招生入选资格的概率为P=0.189+0.027=0.216.P=0.189+0.027=0.216.热点考向热点考向4 4 离散型随机变量的分布列、期望与方差离散型随机变量的分布列、期望与方差【例【例4 4】(12(12分分)(2011)(2011聊城模拟聊城模拟) )甲、乙、丙三人射击同一甲、乙、丙三人射击同一目标，各射击一次，已知甲击中目标的概率为目标，各射击一次，已知甲击中目标的概率为 乙与丙击乙与丙击中目标的概率分别为中目标的概率分别为m,n(mm
24、,n(mn)n)，每人是否击中目标是相互，每人是否击中目标是相互独立的独立的. .记目标被击中的次数为记目标被击中的次数为，且，且的分布列如下表：的分布列如下表：(1)(1)求求m,nm,n的值；的值；(2)(2)求求的数学期望的数学期望. .【解题指导【解题指导】利用相互独立事件的概率求利用相互独立事件的概率求m m、n n与与a a、b b的值；的值；再根据再根据的分布列求得的分布列求得的数学期望的数学期望. .【规范解答【规范解答】(1)(1)由题设可得由题设可得P(P(=0)= (1-m)(1-n)= =0)= (1-m)(1-n)= 化简得化简得mn-(m+nmn-(m+n)=- )
25、=- 3 3分分P(P(=3)= =3)= 联立联立可得可得m= m= 6 6分分(2)(2)由题设得：由题设得：a=P(=1)= a=P(=1)= 9 9分分b=1-( )= b=1-( )= E=0E=0 12 12分分离散型随机变量的分布列、期望与方差的求解步骤离散型随机变量的分布列、期望与方差的求解步骤(1)(1)根据题意确定离散型随机变量根据题意确定离散型随机变量; ;(2)(2)求出离散型随机变量的概率求出离散型随机变量的概率; ;(3)(3)写出离散型随机变量的分布列写出离散型随机变量的分布列; ;(4)(4)计算期望与方差计算期望与方差. .某学校数学兴趣小组有某学校数学兴趣小
26、组有1010名学生，其中有名学生，其中有4 4名女学生；英语兴名女学生；英语兴趣小组有趣小组有5 5名学生，其中有名学生，其中有3 3名女学生，现采用分层抽样方法，名女学生，现采用分层抽样方法，从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3 3名学生参加科技节名学生参加科技节活动活动. .(1)(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；(2)(2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1 1名女学生的概率；名女学生的概率；(3)(3)记记表示抽取的表示抽取的3 3名学生中男学生数，求名学生
27、中男学生数，求的分布列及数的分布列及数学期望学期望. .【解析【解析】(1)(1)数学兴趣小组人数数学兴趣小组人数英语兴趣小组人数英语兴趣小组人数=105=21=105=21，从数学兴趣小组和英语兴趣小组中共抽取，从数学兴趣小组和英语兴趣小组中共抽取3 3人，则抽取数学小组的人数为人，则抽取数学小组的人数为2 2，英语小组的人数为，英语小组的人数为1.1.(2)(2)从数学兴趣小组中抽取从数学兴趣小组中抽取2 2人恰有一名女生的概率人恰有一名女生的概率(3)(3)随机变量随机变量的可能取值为的可能取值为0 0，1 1，2 2，3 3，且，且P(P(=0)=0)=P(P(=1)=1)=P(=2)
28、=P(=2)= P(P(=3)=3)=的分布列为：的分布列为：EE=0=0间接法在解概率问题中的应用间接法在解概率问题中的应用 概率中应用间接法解题的主要类型概率中应用间接法解题的主要类型 (1)(1)对立事件的概率，即事件对立事件的概率，即事件A A、B B互斥，互斥，A A、B B中必有一个中必有一个发生，其中一个易求，另一个不易求时；发生，其中一个易求，另一个不易求时； (2)(2)直接计算符合条件的事件的个数较繁琐时；直接计算符合条件的事件的个数较繁琐时； (3)(3)题目中含有题目中含有“至少至少”、“至多至多”等字眼时等字眼时. . 求解时注意的问题：求解时注意的问题：(1)(1)
29、明确是否为对立事件；明确是否为对立事件；(2)(2)所求对立事件的概率一定要容易求；所求对立事件的概率一定要容易求；(3)(3)计算要准确计算要准确. .【典例】一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的【典例】一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为编号分别为1 1、2 2、3 3、4.4.(1)(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4 4的概率；的概率；(2)(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为先从袋中随机取一个球，该球的编号为m m，将球放回袋中，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为然后再
30、从袋中随机取一个球，该球的编号为n n，求，求n nm+2m+2的概的概率率. .【解题指导【解题指导】(1)(1)采用列举法列出一切可能的结果组成的基本采用列举法列出一切可能的结果组成的基本事件，再根据等可能性事件的概率公式进行计算事件，再根据等可能性事件的概率公式进行计算. .(2)(2)利用对立事件的概率计算利用对立事件的概率计算. .【规范解答【规范解答】(1)(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有组成的基本事件有1 1和和2 2，1 1和和3 3，1 1和和4 4，2 2和和3 3，2 2和和4 4，3 3和和4 4，共共6 6
31、个个. .从袋中取出的球的编号之和不大于从袋中取出的球的编号之和不大于4 4的事件共有的事件共有1 1和和2 2，1 1和和3 3两个两个. .因此所求事件的概率因此所求事件的概率P=P=(2)(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为先从袋中随机取一个球，记下编号为m m，放回后，再从袋，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为中随机取一个球，记下编号为n n，其一切可能的结果，其一切可能的结果(m,n(m,n) )有有(1(1，1)(11)(1，2)(12)(1，3)(13)(1，4)(24)(2，1)(21)(2，2)(22)(2，3)(23)(2，4)(34)(3，1)(31)(3，2)(32)(3，3)(33)(3，4)(44)(4，1)(41)(4，2)(42)(4，3)(43)(4，4)4)共共1616个个, ,又满足又满足m+2nm+2n的事件的概率为的事件的概率为P P1 1= =故满足故满足n nm+2m+2的事件的概率为的事件的概率为1-P1-P1 1=1-=1-
