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1、第六讲第六讲 区间估计区间估计一、区间估计一、区间估计二、枢轴变量法二、枢轴变量法三、应用举例三、应用举例一、区间估计一、区间估计定义定义1 设概率模型为设概率模型为其中其中 是一是一维参数。维参数。如果存在两个统计量如果存在两个统计量及及对于给定的对于给定的 ，有有则称区间则称区间 是参数是参数 的置信度为的置信度为 的的置信区间置信区间，称为称为置信下限置信下限，称为称为置信上限置信上限，称为称为置信水平置信水平。二、二、枢轴变量法枢轴变量法枢轴变量法求区间估计步骤枢轴变量法求区间估计步骤1. 选参数选参数 的一个具有优良性的点估计的一个具有优良性的点估计 ，构造一个仅包含统计量构造一个仅
2、包含统计量 和参数和参数 ， 而不含而不含其它未知量的函数其它未知量的函数 ，使得使得 的的分布是完全已知，分布是完全已知，且与参数且与参数 无关，无关，称函数称函数枢轴变量枢轴变量。对给定的显著性水平对给定的显著性水平 ，2.选取两个常数选取两个常数 和和 ，满足满足当当 的分布为连续型时，的分布为连续型时，可选取可选取 和和 满足满足注：注：见的分布，见的分布，3.若不等式若不等式 可等价地变换为可等价地变换为的形式，的形式，则随机区间则随机区间 就是参数就是参数 一一个置信水平为个置信水平为 的置信区间。的置信区间。1.枢轴变量枢轴变量 的分布尽量选为常的分布尽量选为常如如 ， 分布分布
3、 , 分布分布, 分布。分布。2. 对常见分布，实用中一般选取对常见分布，实用中一般选取 为为分布的分布的 分位点，分位点，为为分布的分布的 分位点。分位点。三、三、应用举例应用举例例例1 设设 是来自正态总体是来自正态总体 的简单样本，的简单样本，其中其中 和和 是未知参数，是未知参数，试求试求 的置信水平为的置信水平为 的置信区间。的置信区间。解解 样本均值样本均值 是是 的一致最小方差无偏估计，的一致最小方差无偏估计，由它来构造枢轴变量。由它来构造枢轴变量。因为因为虽然虽然 的分布是完全已知的，的分布是完全已知的，一个除一个除 之外的未知参数之外的未知参数 ，因而它不能作因而它不能作为枢
4、轴变量。为枢轴变量。 又因为又因为但包含了但包含了通过求比可消除未知参数通过求比可消除未知参数 ，即即所以，所以，因此，因此，可选择可选择 作为枢轴变量。作为枢轴变量。对给定的对给定的 ，有有等价地有等价地有均值均值 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为或或当置信水平当置信水平 给定时，置信区间不给定时，置信区间不上述区间是长度最短的。上述区间是长度最短的。唯一，唯一，注意注意：例例2 设设 是来自正态总体是来自正态总体 的简单样本，的简单样本，其中其中 和和 是未知参数，是未知参数，试求试求 的置信水平为的置信水平为 的置信区间。的置信区间。解解 当当 未知时，未知时，样本方差
5、样本方差 是其一致最小是其一致最小方差无偏估计，方差无偏估计， 且且这符合枢轴变量的选取原则，这符合枢轴变量的选取原则，可选其为枢轴可选其为枢轴变量。变量。对给定的对给定的 ，有有方差方差 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为例例3解解设设 是来自正态总体是来自正态总体的简单样本，的简单样本，是来自正态总体是来自正态总体 的简单样本，的简单样本，水平为水平为 的置信区间。的置信区间。因为样本方差因为样本方差 和和分别是总体方差分别是总体方差 和和其中其中 和和 是未知，是未知，试求方差比试求方差比 的置信的置信两样本相互独立，两样本相互独立，较好的点估计，较好的点估计， 又又由由
6、 和和 的独立，的独立，有有因此，因此，可选取可选取 作为枢轴变量，作为枢轴变量，对给定的对给定的置信水平置信水平 ，有有等价地有等价地有因此所求的置信区间为因此所求的置信区间为若若 的置信上限小于的置信上限小于1，为为总体总体 的波动性较小；的波动性较小； 若若 的置信下限大于的置信下限大于1，总体总体 的波动性较小；的波动性较小；若置信区间包含若置信区间包含1，则从这组数据难判波动则从这组数据难判波动性的大小。性的大小。注意注意：则可以认则可以认则可以认则可以认例例4解解无偏估计。无偏估计。近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布 ，所以可选其为枢轴变量。所以可选其为枢轴变量。简单样本。简
7、单样本。设设 是来自是来自0-1分布分布 的的试求试求 的置信水平为的置信水平为 的的值信区间。值信区间。样本均值样本均值 是参数是参数 的一致最小方差的一致最小方差由中心极限定理知，由中心极限定理知，当当 充分大时，充分大时，对给定的对给定的 ，当当 充分大时有充分大时有由此可得由此可得 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为其中其中或近似地有或近似地有注：注：代替总体方差代替总体方差 ，这个近似结果也可以通过用这个近似结果也可以通过用选枢轴变量选枢轴变量（近似服从（近似服从 ）而得到。）而得到。 作业：作业：设设 是来自正态总体是来自正态总体的样本，的样本， 已知，试证明满足条件已知，试证明满足条件的的 置信水平为置信水平为 的最短置信区间的最短置信区间为为P72，26,27
