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1、2.3 2.3 数学归纳法数学归纳法( (第一课时第一课时) )牟定县第一高级中学中学牟定县第一高级中学中学 2010-9-101情境情境1.观察下列各等式，你察下列各等式，你发现了什么？了什么？归纳归纳问题情境问题情境思考思考：你由不完全：你由不完全归纳法法所所发现的的结论正确正确吗？若？若不正确，不正确，请举一个反例一个反例;若正确，如何若正确，如何证明呢？明呢？2情境情境2.观察多米察多米诺骨牌的游骨牌的游戏。3学生活动学生活动思考思考（1）你能你能说出使所有多米出使所有多米诺骨牌全部倒骨牌全部倒下的条件是什么下的条件是什么吗? （2）你能）你能类比多米比多米诺骨牌游骨牌游戏证明明情境情
2、境1中的猜想中的猜想吗?，(1)第一第一张牌能倒下；牌能倒下；使所有多米使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是：骨牌全部倒下的条件是：(2)假假设第第k张能倒下，能倒下，则一定能一定能压倒倒紧挨的挨的第第k1张牌牌.4数学建构数学建构 类比多米比多米诺骨牌游骨牌游戏证明明情境情境1中的猜想中的猜想 的步的步骤为：(1)证明当明当n=1时猜想成立猜想成立(2)证明若当明若当n=k时命命题成立，成立，则n=k+1时命命题也成立也成立. 完成了完成了这两个步两个步骤以后就可以以后就可以证明明上述猜上述猜想想对于所有的正整数于所有的正整数n都是成立的。都是成立的。相当于第一相当于第一张牌能倒下牌能倒下相当于
3、使所有骨牌倒下的第相当于使所有骨牌倒下的第2个条件个条件5证明证明 当当n=1n=1时，左边时，左边1 1 右边右边, ,等式显然成立。等式显然成立。例例 证明：证明：数学运用数学运用递推基础递推基础递推依据递推依据假设当假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即那么那么, ,当当n=k+1n=k+1时，有时，有这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+1时时, ,等式也成立。等式也成立。根据根据和和，可知对任何，可知对任何n n N N* *等式都成立。等式都成立。6 先证明当先证明当n取第一个值取第一个值n0(例如例如n0=1或或n0=2) 时命题成立，然后假设当时命题成立，然后假设当
4、n=k (kN, kn0)时命时命题成立题成立,证明当证明当n=k+1时命题也成立，这种证明时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法方法叫做数学归纳法. 一般地，对于某些与正整数有关的数学命一般地，对于某些与正整数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：数学归纳法的两个步骤：数学归纳法的两个步骤： ()证明当证明当nn0 (如如n0 1或或2等等)时，结论正确；时，结论正确；()假设假设nk(kN*且且kn0)时结论正确，时结论正确，并应用此并应用此假设假设证明证明nk1时结论也正确时结论也正确数学理论数学理论7如果如果 是等差数列，已知
5、首项为是等差数列，已知首项为 ，公差为，公差为 ，那么，那么对一切对一切 都成立都成立证明证明：（：（1）当）当n=1时，时，等式是成立的等式是成立的（2）假设当）假设当n=k时等式成立，就是时等式成立，就是那么当那么当n=k+1时，时，这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立由（由（1）和（）和（2）可知，等式对任何）可知，等式对任何 都成立都成立练习练习1 1 用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：递推基础递推基础递推依据递推依据8练习练习2 2 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 证明证明（1）当）当n=1时，左边时，左边=1，右边，右边=1，等式成立，等式成立这就是说
6、，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知等式对任何正整数），可知等式对任何正整数n都成立都成立（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，即时，等式成立，即递推基础递推基础递推依据递推依据那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，9用数学归纳法证明与用数学归纳法证明与正整数正整数有关命题的步骤是：有关命题的步骤是：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 （如（如 或或2等）时结论正确；等）时结论正确； （2）假设时假设时 结论正确，证明结论正确，证明 时结论也正确时结论也正确 递推基递推基础础递推依据递推依据“找准起点，奠基要稳找准起点，奠基要稳”“用
7、上假设，递推才真用上假设，递推才真”“综合（综合（1）、（）、（2），），”不可少！不可少！注意注意:数学归纳法使用要点：数学归纳法使用要点： 两步骤两步骤,一结论。一结论。10 分析下列各题用分析下列各题用数学归纳数学归纳法法证明过程中的错误：证明过程中的错误：练习3纠错!11（1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(n N*)证明证明 ：假设当：假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即 2+4+6+8+2k=k 2+4+6+8+2k=k2 2+k+1(k+k+1(k N N* *) )那么，当那么，当n=k+1n=k+1时，有时，有 2+4+6+8+2k+2 2+4+6+8+2k+2
8、（k+1)k+1) =k =k2 2+k+1+2(k+1)+k+1+2(k+1) =(k+1) =(k+1)2 2+(k+1)+1 ,+(k+1)+1 ,因此，对于任何因此，对于任何n n N N* *等式都成立。等式都成立。缺乏缺乏“递推基础递推基础”事实上，我们可事实上，我们可以用等差数列求以用等差数列求和公式验证原等和公式验证原等式是不成立的！式是不成立的！12这就是说，当这就是说，当n=k+1时时,命题也成立命题也成立.没有用上没有用上“假设假设”，故此法不是，故此法不是数学归纳法数学归纳法请修改为数学请修改为数学归纳法归纳法证明证明 当当n=1时时,左边左边= , 假设假设n=k(k
9、N*)时原等式成立时原等式成立 ，即，即此时，原等式成立。此时，原等式成立。 那么那么n=k+1时时,由由 知知,对一切正整数对一切正整数n,原等式均正确原等式均正确. 13证明证明 当当n=1时时,左边左边= , 这这才才是是数数学学归归纳纳法法假设假设n=k(kN*)时原等式成立时原等式成立 ，即，即右边右边= 此时，原等式成立。此时，原等式成立。 那么那么n=k+1时时,这就是说，当这就是说，当n=k+1时时,命题也成立命题也成立.由由 知知,对一切正整数对一切正整数n,原等式均正确原等式均正确. 14(2)数学归纳法证题的步骤：数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论两个步骤，一个结论； (3)数学归纳法优点：即克服了数学归纳法优点：即克服了完全归纳法完全归纳法的繁杂的缺的繁杂的缺 点，又克服了点，又克服了不完全归纳法不完全归纳法结论不可靠的不足。结论不可靠的不足。(4)数学归纳法的基本思想：运用数学归纳法的基本思想：运用“有限有限”的手段来的手段来 解决解决“无限无限”的问题的问题(1)数学归纳法是一种证明与数学归纳法是一种证明与正整数正整数有关的数学命题有关的数学命题 的重要方法的重要方法回顾反思回顾反思1516
