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1、证明 证明： ， 对任意 使得时， , 对任意 使得 时， 找N，使得 时， 分别大于 和 取N= 第二章 导数与微分 一 导数的概念 1. 定义特殊的极限 (自变量的增量) （函数的增量） 求 （1）如果极限存在，则称函数在 可导， 极限值叫做 对X的导数（在 处） 记为： （2）如果极限不存在，则称 在 处不可导。 注意： 导数定义的两种极限形式 例：设在处可导，求下列极限 （1） （2） （3） （4） 已知 存在且， 求 2 导函数（导数） （在某点处的导数） （x 为任意一点） 以 x为变量的函数记为： 注意： （1） 与为一点处导数，为具体值。 为导函数，为含有 的表达式 （2）
2、（右导数） （左导数） （用于分段函数的分段点处求导数） （3） （平均变化率）= （瞬时变化率），只与有x关系 取极限的过程中， 为变量， 是常量 二、求导数利用定义 步骤： 1求两个增量 2求两个增量之比 3取极限 常数函数 求 常数函数导数为0。 常数函数： 幂函数： 正弦函数： 余弦函数： 指数函数： 若 对数函数： 注意：分段函数求导数 例： 的导数 （1）当 时， 当 时，当 时，用定义。 当 时， 三 函数在 处可导与连续的关系 结论：若 在 处可导， 则 在 处连续。 可导 连续 例：讨论下列函数在处的可导性和连续性 1)解： ， ，不相等， 所以极限不存在，所以不可导. 讨论
3、连续性: (1) (2) 所以函数在 处连续 (3) 2)解:讨论可导(:是否取决于极限是否存在) 所以极限存在且=0 函数可导且连续 3)do: 讨论可导 不存在极限 不可导 讨论连续性 (1)(2)(3)函数在此点连续 四、导数的几何意义 函数可导 = 函数在一点处的切线的斜率。 2 函数的和 差 积 商求导公式 一、 求导公式：u v是关于x的函数 特例： 特例： 二、 具体例子：求 例：求导数 解： 代值如： 3 反函数的导数 函数对x求导数 的导数 解： 的导数 解： 二、复合函数求导 （过河拆桥） 已知：y是x的复合函数 求： 公式：如 例： 解： 例： 解： 例： 解： 例： 解
4、： 例： 解： 抽象复合函数求导 设 可导，求 。 (1) (注意对 求导) (2)设 可导，求 。 1)2)3)4)5高阶导数 一、概念 例： 。求 。 解： 当 时， 求 阶导数 (1) ，求 。 解： 例：求导数 ：常将分式函数转化为负指数 ：试 从导出 6 隐函数求导 一、 概念 由方程： 所确定的称为隐函数，可显化，不可显。 二、 求的方法 （不显化）不解出 ，直接在方程两端同时对 求导 注意：例：求 （1）解： （其中是由方程所确定的隐函数） （2）解： 隐函数求二阶导数 对数求导法 是 的函数解： 将一阶代入 （其中是由方程所确定的隐函数） 对数求导法 求（2）连乘（除）因子 2
5、.求导方法： （1）两边同时取对数 （2）两边对求导 （3）解出 1.适用范围：（1）幂函数 唯一的求导方法幂函数求 的导数 （幂函数只可用此种方法）解： （两边同时取对数） （两边对求导） （解出 ） 例 (1) ，求 解： (2) 求 解： （比较复杂的连乘因子用此法较为简便） 参数方程求导 1. 概念 确定 ，求 , 7 函数的微分 一、 概念： 1定义：已知 if: 其中： 表示比 高阶的无穷小。 为常数 则称函数在 处可微。 称为 在 处的微分。记为： 注意： 公式： 例：求 练习： 1) 2) 3) 4) 5) 8 三、应用： 近似公式： 1) 2) 3) 4) 用弧度表示 5) 例：求 解：令
