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1、问题情境问题情境方程解法史话方程解法史话 在人类用智慧架设的无在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已比较我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元解的问题。如约公元50年年100年编成的年编成的九章算术九章算术，就给出了求一次方程、二次就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体
2、方方程和三次方程根的具体方法法 思考思考1 1：当遇到一个复杂的方程，我们通常怎么思考？当遇到一个复杂的方程，我们通常怎么思考？问题情境问题情境求下列方程的根求下列方程的根 (1) x-1=0 (2) x22x-3=0 (3)0xy1 10xy3 3-1-1问题探究问题探究(1,0)(-1,0) , (3,0)0xy1 10xy1 1 2 2 3 3(1,0)无交点无解探究探究1 1：上述结论对其他方程与相应函数也同上述结论对其他方程与相应函数也同样成立吗？样成立吗？ 图象演示图象演示问题探究问题探究 对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0f(x)=0的实数的
3、实数x x叫叫做函数做函数y=f(x)y=f(x)的零点。的零点。函数零点的定义：函数零点的定义：函数零点的定义：函数零点的定义：等价关系等价关系等价关系等价关系方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)y=f(x)有零点有零点思考思考2 2：函数函数 有没有零点？有没有零点？lnx+2x-6=0f(x)=lnx+2x-6探究探究2 2：如何判断函数如何判断函数f(x)在某区间内有没有零点？在某区间内有没有零点？bxyOacd探究探究3 3：若f(x)在 a,b 上满足f(a)f(b)0,0,则f(
4、x)在（a, ,b）上存在零点。对吗？0yx函数零点存在性定理函数零点存在性定理 如果函数如果函数y=y= f(x)在区间在区间 a, ,b 上的图象是上的图象是 的一条曲线的一条曲线, ,并且有并且有 , ,那么那么, ,函数函数y=y= f(x)在在区间区间( (a,b) )内有零点内有零点, , 即存在即存在c(c(a,b),),使得使得f(c)=0,=0,这个这个c c也也就是方程就是方程f(x)=0=0的根的根. .连续不断连续不断f(a) f(b) 00探究探究4 4：如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续上的图象是连续不断的一条曲线，那么不断的一条曲线，那么
5、i)i)若函数若函数f(x)在区间在区间( (a,b) )内有零点，一定能得内有零点，一定能得f(a)f(b)0 0 ，则函数，则函数f(x)在区间在区间( (a,b) )内内一定没有零点吗？一定没有零点吗？0xy3 3-1-1探究探究4 4：如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续上的图象是连续不断的一条曲线，那么不断的一条曲线，那么i)i)若函数若函数f(x)在区间在区间( (a,b) )内有零点，一定能得内有零点，一定能得f(a)f(b)0 0 ，则函数，则函数f(x)在区间在区间( (a,b) )内内一定没有零点吗？一定没有零点吗？iii) iii) 若若f(a)f
6、(b)0 0 ，则函数，则函数f(x)在区间在区间( (a,b) )内有几个零点？能否增加条件，使得函数在内有几个零点？能否增加条件，使得函数在区间区间( (a,b) )内有且只有一个零点？内有且只有一个零点？ y=f(x)连续且单调例题讲解例题讲解变式：变式：函数函数f(x)=lnx+2x-6的零点有几个？的零点有几个？例：例：函数函数f(x)=lnx+2x-6有没有零点？零点所在的大致有没有零点？零点所在的大致区间是？区间是？解法一：定理解法一：定理解法二：图像解法二：图像解法一：图像解法一：图像解法二：单调性解法二：单调性思考思考3 3：对于变式题，还有没有其他解法？对于变式题，还有没有
7、其他解法？ 将函数将函数f( (x)=ln)=lnx+2+2x-6-6的零点个数转化为函数的零点个数转化为函数g( (x)=ln)=lnx与与h( (x)=-2)=-2x+6+6的图象交点的个数。的图象交点的个数。h(x)=-2x+6g(x)=lnxyx012136解法三：解法三：1判断方程判断方程 有没有根有没有根? 2.函数函数f(x)=(x-1)(x2-4)的零点为( )小试牛刀小试牛刀课堂小结课堂小结课后思考：课后思考： 函数 f(x)=lnx+2x6的零点在区间的零点在区间(2,3)内，内，能否进一步地缩小零点所在的区间范围，求出这能否进一步地缩小零点所在的区间范围，求出这个零点？个零点？
