弹塑性力学第七章

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1、7-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式第七章弹性力学平面问题的极坐第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答标系解答7-2轴对称问题轴对称问题 7-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁曲梁的纯弯曲的纯弯曲 7-4圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题 7-5曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲 7-6楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力 9/10/20249/10/20241 1在在平平面面问问题题中中，有有些些物物体体的的截截面面几几何何形形状状（边边界界）为为圆圆形形、扇扇形形，对对于于这这类类形形状状的的物物体体采采用用极极坐坐标标(r, )来来解解，因因为为此此时时边边界界

2、条条件件用用极极坐坐标标易易描描述述、简简便便。本本章章将将讨讨论论采采用用极极坐坐标标求求解解平平面面问问题题一一些些基基本本方方程程和和解解法法以以及算例。及算例。9/10/20249/10/20242 27-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式 采用极坐标系则平面内任一采用极坐标系则平面内任一点的物理量为点的物理量为r, 函数。函数。 x yoPr 体力：体力：fr=Kr , f =K 面力：面力： 应力：应力： r, , r = r应变：应变： r, , r = r位移：位移：u r , u 9/10/20249/10/20243 37-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的

3、基本公式直角坐标与极坐标之间关系直角坐标与极坐标之间关系: x=rcos , y=rsin 9/10/20249/10/20244 47-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式 1.1平衡微分方程平衡微分方程9/10/20249/10/20245 57-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式1.2几何方程几何方程 1.3 1.3 变形协调方程变形协调方程 9/10/20249/10/20246 67-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式1.4 1.4 物理方程物理方程 平面应力问题：平面应力问题： 平面应变问题将上式中平面应变问题将上式中 ， ，即得。，即得。 9/1

4、0/20249/10/20247 77-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式1.5 1.5 边界条件边界条件 1. 1. 位移边界条件：位移边界条件： ， （在（在su 上上 ） 2. 2. 力的边界条件：力的边界条件： （在（在s 上上 ）9/10/20249/10/20248 87-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式1.5 1.5 边界条件边界条件 环向边界环向边界 （r=r0） 径向边界径向边界 （ = 0）（在（在s 上上 ）9/10/20249/10/20249 97-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式1.6 1.6 按位移法求解按位移法求解 基本未

5、知函数为位移基本未知函数为位移u r , u ，应变、应力应变、应力均由位移导出。平面应力问题时的应力由位移均由位移导出。平面应力问题时的应力由位移表示：表示： 9/10/20249/10/202410107-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式1.6 1.6 按位移法求解按位移法求解 9/10/20249/10/202411117-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式 上式代入平衡微分方程可得到用位移表上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。即位移法的基本方程。力的边界条件也同样可以用位移表示。力的边界条件也同样可以用位移表

6、示。 9/10/20249/10/202412127-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式1.7 1.7 按应力法求解按应力法求解 在直角坐标在直角坐标系中按应力求解系中按应力求解的基本方程为的基本方程为( (平面应力问题）平面应力问题） 其中其中 9/10/20249/10/202413137-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式在极坐标按应力求解的基本方程为在极坐标按应力求解的基本方程为（平面应力问题）（平面应力问题）其中其中 力的边界条件如前所列。力的边界条件如前所列。 9/10/20249/10/202414147-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式1.

7、8 1.8 应力函数解法应力函数解法 当当体体力力为为零零fr=f =0时时,应应力力法法基基本本方方程程中中的的应应力力分分量量可可以以转转为为一一个个待待求求的的未未知知函函数数 ( r, )表示表示,而应力函数而应力函数 ( r, )所满足方程为所满足方程为 4 ( r, ) = 0 或 9/10/20249/10/202415157-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式 而极坐标系下的应力分量而极坐标系下的应力分量 r , , r 由由 ( r, )的微分求得的微分求得,即：即： 9/10/20249/10/202416167-2 轴对称问题轴对称问题2.1轴对称问题的特点轴

8、对称问题的特点 1.1.截面的几何形状为圆环、圆盘。截面的几何形状为圆环、圆盘。 2.2.受力和约束对称于中心轴受力和约束对称于中心轴,因此，可知体因此，可知体 积力分量积力分量f =0；在边界上在边界上 r=r0 ： ， （沿环向的受力和约束为零）沿环向的受力和约束为零） 。 3.3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴导致物体应力、应变和位移分布也是轴 对称的对称的： 9/10/20249/10/202417177-2 轴对称问题轴对称问题在在V内内u =0， r =0， r =0, ur=ur(r)， r= r(r), = (r), r= r (r), = (r)。各待求函数为各待求函数为

9、r的函数（单变量的）的函数（单变量的）9/10/20249/10/202418187-2 轴对称问题轴对称问题2.2 2.2 轴对称平面问题的基本公式轴对称平面问题的基本公式1. 1. 平面微分方程平面微分方程（仅一个）：（仅一个）： 2. 2. 几何方程（二个）：几何方程（二个）： 9/10/20249/10/202419197-2 轴对称问题轴对称问题3.变形协调方程（一个）：变形协调方程（一个）：变形协调方程变形协调方程 9/10/20249/10/202420207-2 轴对称问题轴对称问题3.变形协调方程（一个）：变形协调方程（一个）：变形协调方程变形协调方程 由几何方程：由几何方程

10、： 或或9/10/20249/10/202421217-2 轴对称问题轴对称问题4.物理方程物理方程(两个两个)平面应力问题平面应力问题或或 平面应变问题时弹性系数替换。平面应变问题时弹性系数替换。 9/10/20249/10/202422227-2 轴对称问题轴对称问题5.按位移法求解按位移法求解将将 r、 用用ur 表示，并代入平衡微分方程，表示，并代入平衡微分方程， 对于平面应力问题对于平面应力问题 9/10/20249/10/202423237-2 轴对称问题轴对称问题5.按位移法求解按位移法求解位移法的基本方程为：位移法的基本方程为： 9/10/20249/10/202424247-

11、2 轴对称问题轴对称问题相应边界条件：轴对称问题边界相应边界条件：轴对称问题边界 r=r0（常数）常数） 位移边界条件：位移边界条件： （在（在su 上）上） 力的边界条件：力的边界条件： （在在 s s 上）上） 平面应力问题的力边界条件用位移表示：平面应力问题的力边界条件用位移表示： 9/10/20249/10/202425257-2 轴对称问题轴对称问题6.按应力法解按应力法解当当ur由基本方程和相应边界条件求出后，则由基本方程和相应边界条件求出后，则相应应变、应力均可求出。相应应变、应力均可求出。 （在（在s 上）上）9/10/20249/10/202426267-2 轴对称问题轴对称

12、问题应力法基本方程应力法基本方程 9/10/20249/10/202427277-2 轴对称问题轴对称问题边界条件为力的边界条件：边界条件为力的边界条件：（在 s 上）其中其中 9/10/20249/10/202428287-2 轴对称问题轴对称问题7.7.按应力函数求解按应力函数求解 当无体力时应力法基本方程为：当无体力时应力法基本方程为： 选取应力函数选取应力函数 = (r)单变量的函数单变量的函数9/10/20249/10/202429297-2 轴对称问题轴对称问题应力分量与应力分量与 (r)的关系：的关系： 自自然然满满足足平平衡衡微微分分方方程程，则则应应力力函函数数 (r)应应满

13、满足的基本方程为相容方程，即足的基本方程为相容方程，即9/10/20249/10/202430307-2 轴对称问题轴对称问题或或 四阶变系数的微分方程（尤拉方程）四阶变系数的微分方程（尤拉方程） 9/10/20249/10/202431317-2 轴对称问题轴对称问题而而 则则 9/10/20249/10/202432327-2 轴对称问题轴对称问题逐次积分（四次）可将轴对逐次积分（四次）可将轴对称问题的称问题的 (r)基本形式得到：基本形式得到： ( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2+D9/10/20249/10/202433337-2 轴对称问题轴对称问题其中其中A、B、C、D为任

14、意常数，为任意常数，D可去掉。可去掉。 将将 (r) 代代入入应应力力分分量量与与应应力力函函数数的的关关系系式式，可得平面应力、平面应变问题应力表达式：可得平面应力、平面应变问题应力表达式：9/10/20249/10/202434347-2 轴对称问题轴对称问题 对于圆环或圆筒，边界条件仅两个，不能对于圆环或圆筒，边界条件仅两个，不能确定三个系数。确定三个系数。 但圆环或圆筒为复连域，除但圆环或圆筒为复连域，除了边界条件满足外还要考虑位移单值条件。了边界条件满足外还要考虑位移单值条件。 x y下面将下面将ur表达式导出表达式导出（平面应力问题为例）（平面应力问题为例） 9/10/20249/

15、10/202435357-2 轴对称问题轴对称问题将物理方程代入几何方程：将物理方程代入几何方程： 将应力分量表达代入几何方程的第二式，得将应力分量表达代入几何方程的第二式，得 x y9/10/20249/10/202436367-2 轴对称问题轴对称问题应力分量表达代入几何方程的应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得第一式并积分，得 (b) (a) 9/10/20249/10/202437377-2 轴对称问题轴对称问题考虑位移单值性比较考虑位移单值性比较（a）和和（b）式：式： 4Br-F=0 B=F=0轴对称问题的应力和位移解为：轴对称问题的应力和位移解为： A、C 由两个条件确定。

16、由两个条件确定。 9/10/20249/10/202438387-2 轴对称问题轴对称问题q对于无体力圆盘（或圆柱）对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，则根据圆盘的轴对称问题，则根据圆盘（或圆柱）中心应力和位移（或圆柱）中心应力和位移有限值有限值,得得A=0 图示圆盘受力情况，得应力为图示圆盘受力情况，得应力为r=2C= -q 9/10/20249/10/202439397-2 轴对称问题轴对称问题2.3 2.3 轴对称问题举例轴对称问题举例 例题例题1等厚圆盘在匀速等厚圆盘在匀速 转动中计算转动中计算 （按位移法解）（按位移法解）x ya Pr 已知：等厚圆盘绕盘心匀速已知：等厚圆盘绕盘心

17、匀速转动（单位厚）角速度为转动（单位厚）角速度为 （常数）、圆盘密度为（常数）、圆盘密度为 ， 9/10/20249/10/202440407-2 轴对称问题轴对称问题2.3 2.3 轴对称问题举例轴对称问题举例 圆盘匀速转动时受体力（离心力）作用：圆盘匀速转动时受体力（离心力）作用：fr=Kr=2r，f =K =0 在在r = a边界上边界上 （或（或 ） 符合轴对称问题（平面应力问题）。符合轴对称问题（平面应力问题）。 x ya Pr 9/10/20249/10/202441417-2 轴对称问题轴对称问题位移法的基本方程：位移法的基本方程： 积分两次：积分两次： 确定确定C1和和C2：当

18、当r =时，时，ur为有限值，为有限值，须须C2=0x ya Pr 9/10/20249/10/202442427-2 轴对称问题轴对称问题利用利用r = a时，时， ，得，得 代回位移表达式并求应力代回位移表达式并求应力 x ya Pr 9/10/20249/10/202443437-2 轴对称问题轴对称问题x ya Pr 9/10/20249/10/202444447-2 轴对称问题轴对称问题x yb ra如果圆环匀速（如果圆环匀速（ ）转动，转动，则则ur 表达公式中的表达公式中的C2 0， C1 和和 C2 由力的边界条件定：由力的边界条件定：( r）r=a=0, ( r）r=b=0

19、9/10/20249/10/202445457-2 轴对称问题轴对称问题例题例题圆环（或圆筒）受内外压力作用。圆环（或圆筒）受内外压力作用。 已知：体力已知：体力fr=f =0 （或或K r=K =0）， abqaqb力的边界条件：力的边界条件： 在在r = a 边界（内径）：边界（内径）： r= -qa，r=0 在在r = b 边界（外径）：边界（外径）： r= -qb， r =09/10/20249/10/202446467-2 轴对称问题轴对称问题本问题仍为轴对称问题，且本问题仍为轴对称问题，且体力为零，体力为零，可采用前述的应可采用前述的应力函数求解方程，也可按位力函数求解方程，也可按

20、位移法求解。移法求解。 按应力函数法求解按应力函数法求解 按应力函数求解前面已导出位移分量和按应力函数求解前面已导出位移分量和应力分量表达式：应力分量表达式： abqaqb9/10/20249/10/202447477-2 轴对称问题轴对称问题平面应力问题的应力：平面应力问题的应力： 利用力的边界条件，得：利用力的边界条件，得： abqaqb9/10/20249/10/202448487-2 轴对称问题轴对称问题代回应力表达式：代回应力表达式： 得得 abqaqb9/10/20249/10/202449497-2 轴对称问题轴对称问题得得 abqaqb9/10/20249/10/2024505

21、07-2 轴对称问题轴对称问题按位移法求解：按位移法求解： 由基本方程由基本方程 得得 代入应力与位移之间关系式代入应力与位移之间关系式( (平面应力问题平面应力问题) )，有，有 abqaqb9/10/20249/10/202451517-2 轴对称问题轴对称问题讨论：讨论：(1）当）当 qa 0，qb = 0 仅受内压，以及仅受内压，以及qb = 0、 b 时。时。利用力的边界条件导出同样结果。利用力的边界条件导出同样结果。 9/10/20249/10/202452527-2 轴对称问题轴对称问题qa0（拉） r9/10/20249/10/202453537-2 轴对称问题轴对称问题0（拉

22、）当当b :+-当 r ，应力 0 09/10/20249/10/202454547-2 轴对称问题轴对称问题（2 2）当）当qa = 0，qb 0仅受外压；仅受外压； qb 0 (压) 0（压） r9/10/20249/10/202455557-2 轴对称问题轴对称问题例题例题3. 3. 组合圆筒。组合圆筒。 yxbca内筒：内径内筒：内径a，外径外径b， 弹性系数弹性系数E、 ， 外筒：内径外筒：内径b，外径外径c，弹性系数弹性系数E、 。 内筒应力和位移：内筒应力和位移： 9/10/20249/10/202456567-2 轴对称问题轴对称问题平面应变问题平面应变问题 yxbca9/10

23、/20249/10/202457577-2 轴对称问题轴对称问题外筒应力和位移：外筒应力和位移： yxbca9/10/20249/10/202458587-2 轴对称问题轴对称问题 组组合合圆圆筒筒应应力力和和位位移移表表达达式式中中, ,共共有有四四个个待待定定系系数数A、C、A、C，利用四个条件定。利用四个条件定。 如如果果内内筒筒受受内内压压qa 外外筒筒外外径径无无面面力力，则确定系数的四个条件为：则确定系数的四个条件为：( r）r=a= -qa , ( r）r=c=0 , ( r）r=b= ( r）r=b ，(ur）r=b= (ur）r=b yxbca9/10/20249/10/20

24、2459597-2 轴对称问题轴对称问题 又又如如：内内筒筒无无内内压压qa = 0，外外筒筒无无外外压压qc = 0，但但内内筒筒外外径径大大一一点点，内内筒筒外外径径为为b+ ，外外筒筒内径仍为内径仍为b，过盈配合问题，过盈配合问题，边界条件如何写：边界条件如何写：( r）r=a= 0 , ( r）r=c=0 , ( r）r=b= ( r）r=b ， (ur）r=b= (ur）r=b + yxbca9/10/20249/10/20246060MMa r yxb7-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲 曲曲梁梁为为单单连连域域，当当无无体体力力作作用用，且且受受纯纯弯弯曲曲

25、作作用用时时，从从受受力力分分析析知知曲曲梁梁 =c的的截截面面上上内内力力为为M，各各截截面面上上的的应应力力分分布布也也相相同同与与 无无关关的的，因此属于轴对称应力问题。因此属于轴对称应力问题。9/10/20249/10/202461617-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲 但但位位移移不不是是轴轴对对称称的的，即即u 0，所所以以不不能能按按轴轴对对称称问问题题的的位位移移法法求求解解，但但可可按按轴轴对对称称应应力力（应应力力函函数数）解解法法求求应应力力并并由由应应力力导出位移。导出位移。MMa r yxb9/10/20249/10/202462627-3轴对

26、称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲按轴对称应力函数解：按轴对称应力函数解： 应力函数应力函数 = ( r) ( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2(已导出已导出) a r b, 0 , MMa r yxb9/10/20249/10/202463637-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲在主要边界上在主要边界上r = a： ( r）r=a= 0，( r ）r=a= 0 ,（1） MMa r yxb利用力的边界条件确定利用力的边界条件确定A、B、C：9/10/20249/10/202464647-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲r = b

27、： ( r）r=b= 0，( r ）r=b= 0 ， （1） （2） MMa r yxb利用力的边界条件确定利用力的边界条件确定A、B、C：9/10/20249/10/202465657-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲 在次要边界上不清楚垂在次要边界上不清楚垂直边界的面力具体分布，利直边界的面力具体分布，利用圣维南原理：用圣维南原理： 在在 = 0:MMa r yxb由于主要边界满足，则此式自然满足；由于主要边界满足，则此式自然满足； 9/10/20249/10/202466667-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲在在 = 0:(3) MMa r

28、yxb9/10/20249/10/202467677-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲由（由（1）、（）、（2）、）、(3)求出求出A、B、C。 (3) （1） （2） ( r)= Alnr+Br2lnr+Cr29/10/20249/10/202468687-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲解出解出A、B、C 9/10/20249/10/202469697-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲应力分量应力分量9/10/20249/10/202470707-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲应力求出后，依次可求出应

29、变和位移。应力求出后，依次可求出应变和位移。在徐芝纶在徐芝纶(4-12)中中I、K、H为刚体位移，为刚体位移，I = u0、K = v0, H = 。可利用约束确定，如令可利用约束确定，如令r0 =(a+b)/2 ， = 0处处9/10/20249/10/202471717-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲可利用约束确定，如令可利用约束确定，如令r0 =(a+b)/2 ， = 0处处得得H=K=0, 9/10/20249/10/202472727-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题 从本节和后面两节从本节和后面两节讨论一些工程中经常用讨论一些工程中经常用到的

30、一些解，仍采用应到的一些解，仍采用应力函数解法。本节讨论力函数解法。本节讨论一个无体力的矩形薄板，一个无体力的矩形薄板，薄板内有一个小圆孔（圆孔半径薄板内有一个小圆孔（圆孔半径a很小），很小），薄板两个对边分别受均匀拉力薄板两个对边分别受均匀拉力q1和和q2作用，作用，由于板内有微小圆孔，孔边应力将远大于距由于板内有微小圆孔，孔边应力将远大于距孔稍远处的应力孔稍远处的应力称应力集中问题。称应力集中问题。 q2q1q1q2x y图图（a）9/10/20249/10/202473737-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题q2q1q1q2x y图图（a）= +q=(q1+q2 )/2x

31、 yq=(q1+q2 )/2图图（b）图图（c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/29/10/20249/10/202474747-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题图图( a )受力情况，依照线弹性力学叠加原理：受力情况，依照线弹性力学叠加原理： 图图( a )的解图的解图( b )的解图的解图( c )的解。的解。 9/10/20249/10/202475757-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题下面分别讨论图下面分别讨论图( b )和图和图( c )的解：的解： 图图( b )情况情况,远离孔的位置远离孔的位置应力为应力为 q=(q1+q2

32、)/2x yq=(q1+q2 )/2图图（b）9/10/20249/10/202476767-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题其中其中q=(q1+q2)/2，图图( b )解解相相当当圆圆环环内内径径无无内内压压qa= 0,外外径径受受外外压压qb = -q作作用用情情况况,已已有有解解，只只须须将将a/b 0 代入代入, ,得得q=(q1+q2 )/2x yq=(q1+q2 )/2图图（b）9/10/20249/10/202477777-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题图图(c)情情况况，远远离离孔孔的的位位置置应应力力为为 x= - y =q , xy= 0

33、, 其其中中 q=(q1 -q2)/2，图图（c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2通过应力转换式可得通过应力转换式可得 r =qcos2 , = -qcos2 , r = -qsin2 。9/10/20249/10/202478787-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题 r =qcos2 , = -qcos2 , r = -qsin2 。可可见见,图图(c)的的应应力力不不是是轴轴对称的（结构为轴对称），对称的（结构为轴对称），关键是要设应力函数关键是要设应力函数 ( r, )图图（c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2采用半逆解法：采用

34、半逆解法：9/10/20249/10/202479797-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题（1）根据应力函数与应力）根据应力函数与应力 分量的关系式判断分量的关系式判断 ( r, ) 应有应有cos2 项（因子）。项（因子）。在较远处在较远处qcos2 在较远处在较远处- qcos2 图图（c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/29/10/20249/10/202480807-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题在较远处在较远处- qsin2 （2）假设应力函数）假设应力函数 ( r, ) 可以分离变量可以分离变量图图（c）q=(q1-q2 )/2

35、x yq=(q1-q2 )/2 ( r, )=f(r)g( )=f(r)cos2 9/10/20249/10/202481817-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题将所设将所设 ( r, ) 的形式的形式, 代入代入 4 = 0，得，得 ( r, )=f(r)g( )=f(r)cos2 9/10/20249/10/202482827-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题解出解出 代回应力函数代回应力函数 ( r, ),得得 可求得应力分量表达式为可求得应力分量表达式为9/10/20249/10/202483837-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题可求得

36、应力分量表达式为可求得应力分量表达式为应力分量中的四个系数由四个力边界条件确定应力分量中的四个系数由四个力边界条件确定图图（c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/29/10/20249/10/202484847-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题四个力边界条件四个力边界条件, ,即即( r）r=a= 0 , ( r ）r=a= 0 , ( r）r=b= qcos2 , ( r ）r=b= -qsin2 ；由此四各方程解得由此四各方程解得A A、B B、C C、D D。图图（c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/29/10/20249/10/20

37、2485857-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题其中其中9/10/20249/10/202486867-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题当当a/b 0（无限大板中有小孔）无限大板中有小孔）代入上述各系数表达式，得代入上述各系数表达式，得N=1, A=0, B=-q/2, C=qa2, D= -qa4/2再代入上面图再代入上面图(c)应力表达式，应力表达式，可得应力最后表达式：可得应力最后表达式：图图（c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/29/10/20249/10/202487877-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题图图（c）

38、q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/29/10/20249/10/202488887-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题 最后图最后图( a )应力由图应力由图(b )应力解和图应力解和图( c )应应力解相加而得。力解相加而得。 9/10/20249/10/202489897-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题当当q1 = q，q2 = 0代入上式，可得齐尔西解代入上式，可得齐尔西解qqx3q-q yqx y3qq-q = 0oq = 90o9/10/20249/10/202490907-5 曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲 Pa r yxb曲梁无体力

39、作用，曲梁顶部曲梁无体力作用，曲梁顶部受集中力受集中力P作用。作用。 仍采用半逆解法：仍采用半逆解法：考虑曲梁截面上内力表达式，考虑曲梁截面上内力表达式，推出应力函数的函数变化。推出应力函数的函数变化。在在 截面内力：截面内力： 9/10/20249/10/202491917-5 曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲根根据据应应力力函函数数与与应应力力分分量量的的关关系系式式判判断断 ( r, )应应有有sin 项项（因子）。（因子）。假设应力函数假设应力函数 ( r, )可以分离变量可以分离变量,设设为为 ( r, )=f(r)g( )=f(r)sin 代入代入 4 = 0,得得 Pa r yxb9

40、/10/20249/10/202492927-5 曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲解得解得f(r)=Ar3 + Br +Crlnr + D/r则则 ( r, )=(Ar3 + Br +Crlnr + D/r）sin 其中其中Brsin =By可略去。可略去。将将 ( r, )代入应力分量表达式代入应力分量表达式9/10/20249/10/202493937-5 曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲A、C、D由力的边界条件来定。由力的边界条件来定。力的边界条件：在主要边界上力的边界条件：在主要边界上在在r = a： r = 0 , r = 0, 2Aa+C/a-2D/a3= 0在在r = b: r = 0

41、, r = 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0Pa r yxb9/10/20249/10/202494947-5 曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲在次要边界上：在次要边界上：在在 =0 =0 ，环向方向的面力为零，环向方向的面力为零径向方向的面力的分布未给出，径向方向的面力的分布未给出，但给出面力的合力但给出面力的合力 满足满足 Pa r yxb9/10/20249/10/202495957-5 曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲利用圣维南原理利用圣维南原理 或或 由上述方程解出由上述方程解出 2Aa+C/a-2D/a3= 02Ab+C/b-2D/b3= 09/10/20249/10/2024969

42、67-5 曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲代回应力分量表达式代回应力分量表达式 9/10/20249/10/202497977-5 曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲注意：这个应力解在曲梁两端是不能用的。注意：这个应力解在曲梁两端是不能用的。应变和位移可由物理和几何方程导出。应变和位移可由物理和几何方程导出。9/10/20249/10/202498987-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力 楔形体分别受三种不同荷载楔形体分别受三种不同荷载作用时，应力函数作用时，应力函数 ( ( r, r, ) )的的选取考虑：选取考虑： （1 1）采用分离变量法）采用分离变量法 ( r, )=g(r)f(

43、 ) ； ox y /2 /2（2）考考虑虑应应力力函函数数在在楔楔形形体体边边界界上上的的变变化化规规律律，将将 ( r, ) 中中的的g( r)的的形形式式假设出来假设出来; ;9/10/20249/10/202499997-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力 （3）然后利用然后利用 4 = 0求求 f( ) 的形式；的形式；（4）利用边界条件确定）利用边界条件确定f( )的表达式的待的表达式的待 定系数。定系数。 情情况况1楔楔形形体体不不考考虑虑体体力力，楔形体顶部受集中力楔形体顶部受集中力P作用。作用。 ox yP /2 /29/10/20249/10/20241001

44、007-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力ox yP /2 /2设应力函数设应力函数 ( r, )=g(r)f( )且利用无体力时，应力函数且利用无体力时，应力函数 ( r, )在边界上的值及偏微在边界上的值及偏微分与边界上面力的关系式来分与边界上面力的关系式来确定确定g(r)的形式。的形式。9/10/20249/10/20241011017-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力首先可设边界上始点首先可设边界上始点A的的 A = 0ox yP /2 /2A 则则边边界界上上在在OA段段任任意意点点B的的 值值为为 B = 0 任意点经过任意点经过O点点,在楔形体左侧的

45、在楔形体左侧的 值为值为 =Prsin( - /2) 与与r一次式有关。一次式有关。9/10/20249/10/20241021027-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力可设可设 ( r, ) = g(r)f( ) = r f( ) ( r, )的假设也可以由的假设也可以由 ( r, )与应力分量的关系及应力分量与与应力分量的关系及应力分量与集中力集中力P之间量纲关系来设。之间量纲关系来设。 ox yP /2 /2A9/10/20249/10/20241031037-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力由由 ( r, ) = r f( )代入代入 4 = 0，得：得：

46、 要求要求 解得解得f( ) = Acos +Bsin + (Ccos +Dsin ) ( r, )= A r cos + B r sin + r (Ccos +Dsin )9/10/20249/10/20241041047-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力由由 ( r, )可得应力分量表达式可得应力分量表达式系数系数C、D的确定：的确定： 9/10/20249/10/20241051057-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力可可见见仅仅靠靠力力的的边边界界条条件件不不能能确确定定所所有有待待定定系系数数，这这是是由由于于本本问问题题的的载载荷荷是是作作用用于于一

47、一点点的的集集中中力力，在在顶顶点点有有奇奇点点，待待定定系系数数需需靠靠部部分楔形体的平衡而确定。分楔形体的平衡而确定。 首先应考虑边界条件来定，即首先应考虑边界条件来定，即 = /2时时， = 0 , r = 0 , 自然满足。自然满足。ox yP /2 /2A9/10/20249/10/20241061067-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力 Fx = 0: Fy = 0: ox yP /2 /2A r9/10/20249/10/20241071077-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力代回应力分量表达式代回应力分量表达式 讨论：讨论： 1. 当 = 0 ，

48、 2. 当 = /2， ox yP /2 /2A r9/10/20249/10/20241081087-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力3当当 = 时楔形体变为半无限时楔形体变为半无限体，受集中力作用：体，受集中力作用： ox y P当当 = , = /2 :ox y P9/10/20249/10/20241091097-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力当当 = , = 0 : 利用应力转换公式，可得到直角坐标利用应力转换公式，可得到直角坐标中的应力分量：中的应力分量： ox yP9/10/20249/10/20241101107-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形

49、体在楔顶或楔面受力ox y P9/10/20249/10/20241111117-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力 将上式代入物理方程和几何方将上式代入物理方程和几何方程并积分求得位移：程并积分求得位移： （H、I、K任意数） ox y P9/10/20249/10/20241121127-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力由对称性，得由对称性，得(u ) =0= Hr+K = 0 则则H = K = 0。 ox yPsr MB半无限体边界上任意点沉陷半无限体边界上任意点沉陷（ = /2）：）： 9/10/20249/10/20241131137-6 楔形体在楔顶

50、或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力M点： B点： B点相对M点沉陷： ox yPsr MB9/10/20249/10/20241141147-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力ox yM /2 /2情况情况2 2 楔形体不考虑体力，楔形体顶部楔形体不考虑体力，楔形体顶部受集中力偶受集中力偶M作用。作用。 与情况1类似步骤，可设 ( r, ) = g(r)f() = f( ) 代入代入 4 = 0， 解解得：得： ( r, )= Acos2 + Bsin2 + C +D (D 可略去)9/10/20249/10/20241151157-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力

51、由由 ( r, ) 可得应力分量表达式可得应力分量表达式 系数系数A、B、C仍是利用力的边界条件和部仍是利用力的边界条件和部分楔形体的平衡而确定。分楔形体的平衡而确定。ox yM /2 /29/10/20249/10/20241161167-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力 与顶点受集中力情况一样，本解在顶点与顶点受集中力情况一样，本解在顶点附近是不能用的。附近是不能用的。 9/10/20249/10/20241171177-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力情况情况3楔形体（无体力）在一面受均布压力楔形体（无体力）在一面受均布压力q。 设设 ( r, ) = g

52、(r)f( ) = r2 f( )代入代入 4 = 0，得：得：f( ) = Acos +Bsin +C +D ( r, ) = r2(Acos +Bsin +C +D) ox yq 由力边界条件可确定四个待定系数。由力边界条件可确定四个待定系数。9/10/20249/10/20241181187-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力解得 力边界条件力边界条件: : （ ） =0= -q , （ r ） =0= 0（ ） = = 0 ,（ r ） = = 0ox yq 9/10/20249/10/2024119119本章小结：本章小结： 1. 1. 对极坐标问题的基本公式和基本解法

53、对极坐标问题的基本公式和基本解法进行了讨论。进行了讨论。3.3. 非轴对称问题解法：采用叠加法、半逆非轴对称问题解法：采用叠加法、半逆4.4. 解法与分离变量的作法设应力函数解法与分离变量的作法设应力函数5. ( r, ) = g(r)f( ) ，6.6. 并通过几个例子，较详细介绍了半逆解并通过几个例子，较详细介绍了半逆解7.7. 的求解过程。的求解过程。2.2. 对轴对称问题解法给予了较详细的讨论对轴对称问题解法给予了较详细的讨论 并举例。并举例。9/10/20249/10/2024120120习题习题（1 1）题题7-1设弹性力学平面问题的体积力为零，设弹性力学平面问题的体积力为零，且设

54、且设试（试（1 1）检验该函数是否可以作为应力）检验该函数是否可以作为应力函数；（函数；（2 2）如果能作为应力函数，求）如果能作为应力函数，求应力分量的表达式。应力分量的表达式。（2 2）9/10/20249/10/2024121121题题7-2圆环匀速（圆环匀速（ ）转动转动，圆盘密度为圆盘密度为 ，且设且设 ur 表达式为表达式为试试由由边边界界条条件件确确定定 C1 和和 C2 。x yb ra9/10/20249/10/2024122122题题7-3图示图示无体力的矩形薄板，薄板内有无体力的矩形薄板，薄板内有一个小圆孔（圆孔半径一个小圆孔（圆孔半径a 很小），且薄板很小），且薄板受纯

55、剪切作用，受纯剪切作用，试求孔边最大和最小应力试求孔边最大和最小应力。qx yq9/10/20249/10/2024123123题题7-4图示一半径为图示一半径为a 的的圆盘（材料为圆盘（材料为E E1 1, , 1 1）, , 外外套以套以a r b 的圆环（材的圆环（材料为料为E E2 2, , 2 2），），在在 r= b 处处作用外压作用外压q, ,设体积力为零设体积力为零, ,试写出该问题解的表达式试写出该问题解的表达式以及确定表达式中待定系以及确定表达式中待定系数的条件数的条件abq9/10/20249/10/2024124124题题7-5图示图示半无限平面薄板不计体力。已半无限平

56、面薄板不计体力。已知在边界上有平行边界的面力知在边界上有平行边界的面力q q 作用。作用。应力函数取为应力函数取为 (r, )= r2(Asin2 + B )/2 试试（1 1）列列出出求求解解待待定定系系数数 A、B 的的方方程程式，（式，（2 2）写出应力分量表达式。）写出应力分量表达式。oxyrq 9/10/20249/10/2024125125题题7-6图示图示无体力的楔形体无体力的楔形体，顶端受集顶端受集中力偶中力偶作用，应力函数取为作用，应力函数取为 (r, )= Acos2 + Bsin2 + C 试试（1 1）列列出出求求解解待待定定系系数数A、B、C的的方方程程式式，（2 2）写写出出应力分量表达式。应力分量表达式。ox yM /2 /29/10/20249/10/2024126126