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1、第二章微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton1. 在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。 本
2、章将通过对实际问题的分析，引出微分学中本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念两个最重要的基本概念导数与微分，然后再导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。有关变化率的计算问题。2. 导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。小变化时，函数大体上变
3、化多少。重点重点导数与微分的定义及几何解释导数与微分的定义及几何解释导数与微分基本公式导数与微分基本公式四则运算法则四则运算法则复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则高阶导数高阶导数隐函数和参量函数求导隐函数和参量函数求导难点难点导数的实质，用定义求导，链式法则导数的实质，用定义求导，链式法则3.问题的提出问题的提出导数的定义导数的定义导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义可导与连续的关系可导与连续的关系利用导数定义求导数利用导数定义求导数小结小结 第一节第一节 导数的概念导数的概念左、右导数左、右导数4.一、引出导数概念的两个实例设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为
4、而在 时刻的瞬时速度为5.2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率6.两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题7.二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义 , 在点处可导可导, 在点的导数导数. 8.说明说明: 在经济学中, 边际
5、成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.其它形式其它形式9.若上述极限不存在 ,在点 不可导. 就说函数10.关于导数的说明：关于导数的说明：11.注意注意: :12. 函数在一点的导数是一个局部性概念，它反映函数在一点的导数是一个局部性概念，它反映了函数在该点处的变化快慢，而与临近点是否可导了函数在该点处的变化快慢，而与临近点是否可导无关。存在仅在某一点可导，而在其余点不可导的无关。存在仅在某一点可导，而在其余点不可导的函数。函数。 导数定义式中的导数定义式中的xx必修连续地趋于零。必修连续地趋于零。13.三、由定义求导数步骤步骤:例例1 1解解14.例例2 2解解15.例例
6、3 3解解更一般地更一般地例如例如,16.例例4 4解解17.例例5 5解解18.四、左、右导数2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:19. 左右导数统称为左右导数统称为单侧导数单侧导数 20.例例6 6解解21.五、五、 导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:22.例例7 7解解 由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为23.2.物理意义物理意义非
7、均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导数的导数为物体的线为物体的线(面面,体体)密度密度.24.例例7. 问曲线哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线平行 ? 写出其切线方程.解解:令得对应则在点(1,1) , (1,1) 处与直线平行的切线方程分别为即故在原点 (0 , 0) 有垂直切线25.六、可导与连续的关系证证定理定理 若若y=
8、f(x)y=f(x)在在 点可导，则点可导，则y=f(x)y=f(x)在在 处一定处一定连续连续. .26.在点处右右 导数存在定理定理2. 函数在点必 右右 连续.(左左)(左左)由定理1和定理2,可得:在闭区间 a , b 上可导注意:可导的条件要比连续强,存在处处连续但是处处不可导的函数.27.连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例0例如例如,反例反例:在 x = 0 处连续 , 但不可导.28.例如例如,0129.例如例如,011/1/30.31.七、小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数
9、可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.32.思考与练习思考与练习1. 函数 在某点 处的导数区别:是函数 ,是数值;联系:注意注意:有什么区别与联系 ?？与导函数33.2. 设存在 , 则3. 已知则4. 若时, 恒有问是否在可导?解解: 由题设由夹逼准则故在可导, 且34.5. 设, 问 a 取何值时,在都存在 , 并求出解解:故时此时在都存在, 显然该
10、函数在 x = 0 连续 .35.作业作业 P86 1 , 5 , 6, 11, 16 , 18 36.牛顿牛顿(1642 1727)伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文学家和自然科学家. 他在数学上的卓越贡献是创立了微积分. 1665年他提出正流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版). 他还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .37.莱布尼兹莱布尼兹(1646 1716)德国数学家, 哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人 , 他在学艺杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 .38.39.40.41.42.练习题答案练习题答案43.
