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1、激光原理与技术激光原理与技术原理部分原理部分第第3讲讲光线传输矩阵光线传输矩阵3.0 光线的传播光线的传播光线？光线？几个前提几个前提几何光学意义上的光线几何光学意义上的光线几何光学意义上的光线几何光学意义上的光线00近轴光线近似近轴光线近似近轴光线近似近轴光线近似光学元件绕光轴旋转对称光学元件绕光轴旋转对称光学元件绕光轴旋转对称光学元件绕光轴旋转对称均匀介质均匀介质均匀介质均匀介质3.0 光线的传播光线的传播坐标系及方向的规定坐标系及方向的规定坐标系及方向的规定坐标系及方向的规定光线在光轴上方，光线在光轴上方，光线在光轴上方，光线在光轴上方，r0r0；反之，；反之，；反之，；反之，r0;r0
2、000；反之，；反之，；反之，；反之，r r r r0000，相对于凸透镜，相对于凸透镜f0,凹反射镜凹反射镜（2）R00微分方程的解为微分方程的解为微分方程的解为微分方程的解为 若考虑光线入射初始条件若考虑光线入射初始条件若考虑光线入射初始条件若考虑光线入射初始条件为为为为 ，则可以求出，则可以求出，则可以求出，则可以求出 ，因此微分方程的解可以写成：，因此微分方程的解可以写成：，因此微分方程的解可以写成：，因此微分方程的解可以写成：4.3 光线的传播：光线方程光线的传播：光线方程如右图的曲线可以代表在类透镜如右图的曲线可以代表在类透镜介质中传播的光线，只是在幅度介质中传播的光线，只是在幅度
3、上作了夸大。从该方程可以得出上作了夸大。从该方程可以得出结论：当结论：当k20时，类透镜介质对时，类透镜介质对光线起汇聚作用，相当于正透镜。光线起汇聚作用，相当于正透镜。4.3 光线的传播：光线方程光线的传播：光线方程 (2)k20(2)k20当当当当k20k20时，光线微分方程的解可以表示为：时，光线微分方程的解可以表示为：时，光线微分方程的解可以表示为：时，光线微分方程的解可以表示为：从方程可以得出结论，随着从方程可以得出结论，随着从方程可以得出结论，随着从方程可以得出结论，随着z z的不断增加，的不断增加，的不断增加，的不断增加，r(z)r(z)不断增不断增不断增不断增大，当大，当大，当
4、大，当 ，因此，因此，因此，因此k20k20的类透镜介质对的类透镜介质对的类透镜介质对的类透镜介质对光线具有发散性，类似于负透镜的作用。光线具有发散性，类似于负透镜的作用。光线具有发散性，类似于负透镜的作用。光线具有发散性，类似于负透镜的作用。练习：证明练习：证明2-1-39式式4.4 光束的传播：波动方程光束的传播：波动方程 类透镜介质中的波动方程类透镜介质中的波动方程类透镜介质中的波动方程类透镜介质中的波动方程 在各向同性、无电荷分布的介质中，在各向同性、无电荷分布的介质中，在各向同性、无电荷分布的介质中，在各向同性、无电荷分布的介质中，MaxwellMaxwell方程组的微分形式为：方程
5、组的微分形式为：方程组的微分形式为：方程组的微分形式为：对对2式求旋度：式求旋度：且由且由3式：式：在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即综合上三式可以得到综合上三式可以得到假设折射率假设折射率n的空间变化很小，即的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：代入代入(4)式式波动方程波动方程也称亥姆也称亥姆霍兹方程霍兹方程4.4 光束的传播：波动方程光束的传播：波动方程 当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一
6、项可以表示为：当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：当当 代表吸收介质，代表吸收介质， 代表增益介质代表增益介质上式表示复数波数，我们考虑波数表示形式为上式表示复数波数，我们考虑波数表示形式为其中其中k0、k2都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置r和介质的特和介质的特性性k2都有关系。由波数的定义：都有关系。由波数的定义： 可以得到可以得到n(r)的表达式：的表达式：的情况的情况该表达式就是类透镜介质该表达式就是类透镜介质的折射率表达式，证明我的折射率表达式
7、，证明我们考虑的们考虑的k(r)表达式代表表达式代表的正是在类透镜介质中的的正是在类透镜介质中的情况。情况。级数级数展开展开4.4 光束的传播：波动方程光束的传播：波动方程 下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光传播的是一种近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光传播的是一种近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光传播的是一种近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。可以假设光场的
8、横向分布只与轴方向传播。可以假设光场的横向分布只与轴方向传播。可以假设光场的横向分布只与轴方向传播。可以假设光场的横向分布只与 有关，因此波动方程中的算符有关，因此波动方程中的算符有关，因此波动方程中的算符有关，因此波动方程中的算符 可以表示为：可以表示为：可以表示为：可以表示为： 我们假设我们假设我们假设我们假设 ，其中，其中，其中，其中a a为集中大部分能量的横截面半为集中大部分能量的横截面半为集中大部分能量的横截面半为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限
9、于径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为： 其中其中其中其中e e-ikz-ikz表示波数为表示波数为表示波数为表示波数为k k的严格平面波；的严格平面波；的严格平面波；的严格平面波；4.4 光束的传播：波动方程光束的传播：波动方程为了研究修正平面波，我们引入了修正因子为了研究修正平面波，我们引入了修正因子为了研究修正平面波，我们引入了修正因子为了研究修正平面波，我们引入了修正因子 ，它包含了相位和振幅修正两部分。，它
10、包含了相位和振幅修正两部分。，它包含了相位和振幅修正两部分。，它包含了相位和振幅修正两部分。该修正因子满足慢变近似：该修正因子满足慢变近似：该修正因子满足慢变近似：该修正因子满足慢变近似： 将这些相关假设带入波动方程可以得到：将这些相关假设带入波动方程可以得到：将这些相关假设带入波动方程可以得到：将这些相关假设带入波动方程可以得到：令修正因子取以下形式：令修正因子取以下形式：令修正因子取以下形式：令修正因子取以下形式：为什么取这种形式？这是对波动方程为什么取这种形式？这是对波动方程进行长期研究得到的解，既满足方程，进行长期研究得到的解，既满足方程，又有明确的、能够被实验证实的物理又有明确的、能
11、够被实验证实的物理意义。意义。4.4 光束的传播：波动方程光束的传播：波动方程 通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到： 该方程对不同该方程对不同该方程对不同该方程对不同r r都成立，因此都成立，因此都成立，因此都成立，因此r r的各次项系数应该为零，整理得到：的各次项系数应该为零，整理得到：的各次项系数应该为零，整理得到：的各次项系数应该为零，整理得到： 该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。
