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1、第四节第四节 随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布一一 单个随机变量函数的分布单个随机变量函数的分布1 离散型离散型注：注：注：注：1 1、设、设、设、设互不相等时，则事件互不相等时，则事件由由2、当、当 则把则把那些相等的值合并起来。那些相等的值合并起来。并并根据概率的可加性把对应的概率相加得到根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y的分布律。的分布律。2 连续型连续型（1）分布函数法）分布函数法（2）公式法）公式法设X为连续型随机变量，其分布密度为p (x)其中其中是连续型随机变量，其分布密度在相应区间内为一般地yx1x2x3y = f(x)x xn二二 随机向量函数的分布随机向量函
2、数的分布（1）离散型）离散型以二维随机向量为例，多维随机向量的情况类似。以二维随机向量为例，多维随机向量的情况类似。(2)(2)连续型连续型设设(X,Y)是二维连续型随机变量，其联合概率密度是二维连续型随机变量，其联合概率密度为为 分布函数为分布函数为 则则.的分布的分布引例引例.（一般情况的推导）（一般情况的推导）已知已知( X , Y )的概率密的概率密度为度为解解的分布函数为的分布函数为将以上二重积分化成累次积分将以上二重积分化成累次积分由由X与与Y的对称性又可得的对称性又可得特别地特别地,当当X 与与Y 相互独立时相互独立时,有有上式称为上式称为的的卷积公式卷积公式 ,记为记为例例4
3、4两个独立的二项分布随机变量两个独立的二项分布随机变量, ,当它们的第二个参数相当它们的第二个参数相同时同时, ,其和也服从二项分布其和也服从二项分布-二项分布的可加性二项分布的可加性特别特别 当当 相互独立且具有相同相互独立且具有相同 分布函数分布函数 时，时，设设 相互独立，相互独立， 其分布函数为其分布函数为 则则 的分布函数分别为：的分布函数分别为： 补充结论补充结论：连续型随机变量商的分布连续型随机变量商的分布连续型随机变量商的分布连续型随机变量商的分布商的分布商的分布商的分布商的分布本节的解题步骤本节的解题步骤本节的解题步骤本节的解题步骤其它的分布其它的分布其它的分布其它的分布返回
4、主目录均为均为随机变量随机变量，也构成了一个二维随机向量，也构成了一个二维随机向量如何求（如何求（Y1,Y2 ) 的联合密度函数的联合密度函数三三 随机向量的变换随机向量的变换的联合分布函数：的联合分布函数：称为变换的称为变换的Jocobi 行列式。行列式。换元必换换元必换积分区域积分区域其中其中例例解解因此得因此得即即例例例例1.4.3 1.4.3 1.4.3 1.4.3 见书见书见书见书 P21P21P21P21对此二重积分作换元，令对此二重积分作换元，令对此二重积分作换元，令对此二重积分作换元，令变换的变换的变换的变换的JocobiJocobiJocobiJocobi行列式行列式行列式行
5、列式此变换把区域此变换把区域此变换把区域此变换把区域D D D D变换为区域变换为区域变换为区域变换为区域由二重积分的换元公式得由二重积分的换元公式得由二重积分的换元公式得由二重积分的换元公式得第五节第五节随机变量的数字特征定义定义定义定义1 1 1 1设离散型随机变量的分布律为设离散型随机变量的分布律为 如果级数如果级数 绝对收敛绝对收敛，称为随机变量称为随机变量X的数学期望，的数学期望，记为记为即即的和的和则级数则级数简称简称期望期望或或均值均值。1.5.1 1.5.1 矩矩若若 不绝对收敛不绝对收敛，则，则X的数学期望不存在。的数学期望不存在。一、一、 随机变量的随机变量的数学期望数学期
6、望定义定义定义定义2 2 2 2设连续型随机变量设连续型随机变量X 的概率密度为的概率密度为 若若积分积分绝对收敛绝对收敛，则称该积分值为随，则称该积分值为随机机变量变量X 的数学期望的数学期望或或平均值平均值，简称期望或均值，简称期望或均值记为记为即即离散型和连续型随机变量的期望可以用一个式子表示离散型和连续型随机变量的期望可以用一个式子表示当当X为离散型时，其分布函数是阶梯函数，该积分为离散型时，其分布函数是阶梯函数，该积分成为求和的形式。成为求和的形式。当当X为连续型时，成为积分形式。为连续型时，成为积分形式。2 2 2 2、 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数
7、学期望随机变量函数的数学期望定理定理 设随机变量设随机变量Y 是随机变量是随机变量X 的函数，的函数， 1) 设设X 为离散型随机变量，其分布律为为离散型随机变量，其分布律为 若若级数级数绝对收敛绝对收敛,则有则有 2) 设设X 为连续型随机变量，其概率密度为为连续型随机变量，其概率密度为 若若积分积分绝对收敛绝对收敛,则有则有例例例例3 3 3 3解：解：结论结论3 二维随机向量函数的数学期望二维随机向量函数的数学期望这里要求广义二重积分是绝对收敛的。这里要求广义二重积分是绝对收敛的。这里要求 绝对收敛。(1).(1). 设设C 是常数，则是常数，则E(C )=C ; ;(2).(2). 若
8、若C 是常数，则是常数，则E(CX )=CE(X );(3).(3).4 4、数学期望的性质、数学期望的性质(4).(4). 设设X、Y 独立，则独立，则 E(XY )=E(X )E(Y );（当（当Xi 独立时）独立时）注意注意: :由由E(XY )=E(X )E(Y )不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立 方差刻划了随机变量的取值方差刻划了随机变量的取值若若X 的取值比较集中，则方的取值比较集中，则方差较小；若差较小；若X 的取值比较分的取值比较分散则方差较大散则方差较大 . .对于其数学期望的离散程度对于其数学期望的离散程度 方差的算术平方根方差的算术平方根为为X 的方差的方差。定义
9、定义 设设X 是一个随机变量，若是一个随机变量，若存在，则称存在，则称称为称为均方差均方差或或标准差标准差。二、方差的概念二、方差的概念离散型离散型 已知已知X 分布律分布律连续型连续型 已知已知X 的的概率密度概率密度注意：注意：(1)是关于随机变量是关于随机变量X 的函的函数数的数学期望。的数学期望。计算方差的简便公式：计算方差的简便公式：(2)方差描述了随机变量方差描述了随机变量X 的取值与其均值的偏离程度。的取值与其均值的偏离程度。方差的性质方差的性质可推广为：若可推广为：若X1,X2,Xn相互相互独立独立, ,则则(1)(1)（0-10-1）分布分布 参数为参数为p 0 16 6常见
10、分布的方差常见分布的方差(2)(2)二项分布二项分布其中其中，且，且相互独立。相互独立。则由则由方差的性质可得方差的性质可得(3)(3)泊松分布泊松分布分布律为分布律为参数为参数为密度函数密度函数（4 4）均匀分布）均匀分布参数为参数为密度函数密度函数（5 5） 指数分布指数分布参数为参数为（6 6）正态分布）正态分布参数为参数为密度函数密度函数注：注：服从正态分布的随机变量完全由服从正态分布的随机变量完全由它的数学它的数学期望和方差期望和方差所决定。所决定。特别，特别，当当时时称称Y 是随机变量是随机变量X 的标准化了的随机变量。的标准化了的随机变量。注：为了方便计算，注：为了方便计算， E
11、X, DX 均为常数。均为常数。常对常对X进行进行标准化。标准化。即当即当X的期望的期望和和方差都存在时，考虑它的方差都存在时，考虑它的标准化。标准化。则则例例设设 X , Y 是两个相互独立的且均服从正态分布是两个相互独立的且均服从正态分布的随机变量的随机变量 , 则求随机变量则求随机变量的数学的数学期望期望解解 记记则则故故定义定义 设二维随机变量设二维随机变量 则称它为则称它为与与 的的协方差协方差，记为，记为即即若若存在，存在，三、协方差和相关系数的定义三、协方差和相关系数的定义1 1、协方差的性质、协方差的性质（1）Pf:（2）（协方差的计算公式）（协方差的计算公式）（3）若若X ,
12、Y 相互独立，则相互独立，则（4）（5）为常数为常数（6） 协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间相互间的关系，但它还受的关系，但它还受X与与Y本身度量单位的影响本身度量单位的影响. 例例如：如：Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了了相关系数相关系数 .四、四、相关系数相关系数为随机变量为随机变量 X 和和 Y 的相关系数的相关系数 .定义定义: 设设D(X)0, D(Y)0,称称在不致引起混淆时在不致引起混淆时，记记 为为 .相关系数的性质相关系数的性质1
13、)2)的的充要条件充要条件是是与与以以概率概率1呈线呈线性性关系。即关系。即其中其中为为常数常数定理定理1 设随机变量设随机变量 和和的的相关系数存在，则相关系数存在，则说说 明明相关系数相关系数之间线性关系的一种度量之间线性关系的一种度量.，X 与与Y 的线性关系越显著；的线性关系越显著；，X 与与Y 的线性关系越不显著；的线性关系越不显著；四个等价命题：四个等价命题：2）3）4）1）相关系数）相关系数则称则称与与不不相关相关;不相关：不相关： X 与与Y 之间没有线性关系，并不表示它们之之间没有线性关系，并不表示它们之间没有任何关系。间没有任何关系。所以，当所以，当X 和和Y 独立时，独立
14、时，Cov (X , Y)= 0.= 0.故故但由但由并不一定能推出并不一定能推出X 和和Y 独立独立. .独立：独立： X 与与Y 之间没有任何函数关系。之间没有任何函数关系。X，Y独立 =0X，Y不相关。注意独立与不相关并不是等价的注意独立与不相关并不是等价的.当当(X,Y)服从二维正态分布时，有服从二维正态分布时，有X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关若若存在，称它为存在，称它为的的阶阶原点矩，简称原点矩，简称阶阶矩矩。若若存在，称它为存在，称它为的的阶中心矩阶中心矩。阶混合矩阶混合矩。若若存在，称它为存在，称它为和和的的若若存在，存在，和和的的称它为称它为阶混合中心矩阶混合中心矩。和和
15、是是随机变量，随机变量，设设五、五、 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵协方差矩阵的定义协方差矩阵的定义 将二维随机变量（将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩的四个二阶中心矩排成矩阵的形式排成矩阵的形式:称此矩阵为（称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵的协方差矩阵.这是一个这是一个对称矩阵对称矩阵 类似定义类似定义n维随机变量维随机变量X=(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵的协方差矩阵.为为(X1,X2, ,Xn) 的的协方差矩阵协方差矩阵称矩阵称矩阵都存在都存在,i, j=1,2,n若若也常记为也常记为DX或者或者Cov(X,X). 协方差矩阵的性质协方差矩阵的性质对于任一对于任一n元
16、实列向量元实列向量有有2）是一个非负定矩阵）是一个非负定矩阵1）是一个对称矩阵）是一个对称矩阵 3）设）设 为为n元随机向量，元随机向量，有有a)对于对于定义定义b)设，求的协方差矩阵.p (x1,x2, ,xn)则称则称X服从服从n元正态分布元正态分布.其中其中B是是(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵的协方差矩阵.|B|是它的行列式，是它的行列式， 表示表示B的逆矩阵，的逆矩阵，X和和 是是n维列向量，维列向量， 表示表示X的转置的转置. 设设 =(X1,X2, ,Xn)是一个是一个n维随机向量维随机向量,若它的概率密度为若它的概率密度为六、下面给出六、下面给出n元正态分布的概率密度的定
17、义元正态分布的概率密度的定义.n元元正态分布的几条重要性质正态分布的几条重要性质1. X=(X1,X2, ,Xn)服从服从n元正态分布元正态分布a1X1+ a2 X2+ + an Xn均服从一维正态分布均服从一维正态分布.对一切不全为对一切不全为0的实数的实数a1,a2,an，2. 若若 X=(X1,X2, ,Xn)服从服从n元正态分布，元正态分布， Y1,Y2, ，Yk是是Xj（j=1,2,n）的线性函数，的线性函数，则则(Y1,Y2, ，Yk)也服从多元正态分布也服从多元正态分布.这一性质称为正态变这一性质称为正态变量的线性变换不变性量的线性变换不变性.3. 设设(X1,X2, ,Xn)服
18、从服从n元正态分布，则元正态分布，则“X1,X2, ,Xn相互独立相互独立”等价于等价于“X1,X2, ,Xn两两不相关两两不相关”或或对任意对任意不等式不等式成立，成立，七、两个重要的不等式七、两个重要的不等式1)切比雪夫不等式切比雪夫不等式. 2)对任意具有有限方差的随机变量对任意具有有限方差的随机变量X,都有都有证明证明对任意实数对任意实数证：证：2) A.L.CauchySchwarz不等式不等式. 考虑函数考虑函数即即运用运用A.L.CauchySchwarz不等式证明结论不等式证明结论相关系数的性质相关系数的性质定义定义:1.5.2 1.5.2 随机变量的条件数学期望随机变量的条件
19、数学期望回顾：回顾： 连续型连续型 离散型离散型 条条条条 件件件件 期期期期 望望望望定理定理1: 若若y=g (x)是连续函数是连续函数, 且且E g (X) |Y=y存在存在, 则则(1) 若若(X, Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量, 则则(2) 若若(X, Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量, 则则定理定理2: 把把 g(y)=EX|Y=y看成是看成是y的函数的函数, 进一步的，进一步的，可以看作是随机变量可以看作是随机变量Y的函数，的函数，g(Y)= EX|Y则则EX|Y 本身也是一个随机变量本身也是一个随机变量, 且有且有E E E E ( ( X X |
20、|Y Y ) = ) = E E( (X X) ) . 当当Y=y时这个函数取值为时这个函数取值为EX|Y=y,重期望公式重期望公式 定理定理: 设设X, Y, Z均为随机变量均为随机变量, f (x)连续连续, 且且E(X), E(Y), E(Z)及及E f (Y ) X 均存在均存在, 则则(1)当当X, Y 独立时独立时, EX|Y=y=E(X) ;(2)E f(Y) X |Y = f (Y) E X|Y ;(3)E f(Y) X =E f (Y) EX|Y ;(5) E f (Y) |Y = f (Y ); (4)若若aXb, 则则EX |Y=y存在存在, 且且aEX | Y=y b,
21、 特别特别,当当C是一个常数时是一个常数时, EC|Y=y=C;(6)若若k1、k2是两个常数是两个常数, 又又E Xi |Y=y (i=1,2)存在存在, 则有则有Ek1X1+k2X2 |Y=y= k1EX1 |Y=y+k2EX2 |Y=y.条件数学期望的性质条件数学期望的性质算出罪犯的身高算出罪犯的身高. . 这个公式是这个公式是 公公安安人人员员根根据据收收集集到到的的罪罪犯犯脚脚印印，通通过过公式公式 由由脚印脚印估计罪犯估计罪犯身高身高 如何推导出来的如何推导出来的? ?显然，两者之间是有统计关系的，故设一个人身高为 ,脚印长度为 . 由于影响人类身高与脚印的随机因素是大量的、相互独
22、立的，且各因素的影响又是微小的,可以叠加的. 故应作为二维随机变量 来研究. 由中心极限定理知 可以近似看成服从二维正态分布其中参数 因区域、民族、生活习惯的不同而有所变化 ，但它们都能通过统计方法而获得.密度为现已知罪犯的脚印长度为 , 要估计其身高就需计算条件期望 , 条件 的密度函数, 因此 这正是正态分布 如果按中国人的相应参数代入上式，即可得出以脚印长度作自变量的身高近似公式. 例例4: 设电力公司每月可以供应某工厂电力设电力公司每月可以供应某工厂电力XU(10, 30)(单单位位:104kw)，而工厂每月实际需求电力，而工厂每月实际需求电力YU(10, 20)(单位单位:104kw
23、)，如果工厂能从电力公司得到足够的电力，则每，如果工厂能从电力公司得到足够的电力，则每104kw电可创电可创造造30万元的利润，若工厂从电力公司得不到足够的电力，则不万元的利润，若工厂从电力公司得不到足够的电力，则不足部分通过其他途径解决，由其他途径得到的电力每足部分通过其他途径解决，由其他途径得到的电力每104kw电电力只有力只有10万元的利润，试求工厂每个月的平均利润万元的利润，试求工厂每个月的平均利润.解：设每月工厂利润为解：设每月工厂利润为Z 万元，则万元，则当当Xx给定时，给定时，Z仅是仅是Y的函数，于是的函数，于是 当当（方法二）（方法二）当当总结归纳：总结归纳： 二、连续型：二、
24、连续型：一、离散型：一、离散型：一维一维 二二维维 条件分布条件分布 独立：独立：七七 极限定理极限定理一一 随机变量的收敛性随机变量的收敛性二二 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1、依概率收敛、依概率收敛一一 随机变量的收敛性随机变量的收敛性2、依分布收敛、依分布收敛可以证明可以证明3、r-阶收敛阶收敛1-阶收敛又称为平均收敛，阶收敛又称为平均收敛，2-阶收敛即为均方收敛。阶收敛即为均方收敛。4、以概率、以概率1收敛收敛四种收敛关系：四种收敛关系：以概率以概率1收敛或收敛或r-阶收敛阶收敛依概率收敛依概率收敛依分布收敛依分布收敛二、大数定律与中心极限定理二、大数定律与中心极限定理
25、研究两类问题：研究两类问题：（大数定律大数定律）（中心极限定理中心极限定理）为相互独立的随机变量序列为相互独立的随机变量序列（2）n充分大时，充分大时， 服从什么分布？服从什么分布？（1） 如何解决下面问题 1.为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？2.为何能以样本均值作为总体 期望的估计？3.为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？4.大样本统计推断的理论基础 是什么？答复大数大数定律定律中心极中心极限定理限定理定义定义1 1、大数定律、大数定律定理一定理一定理一定理一（切比雪夫大数定律）（切比雪夫大数定律）量，且具有相同的数学量，且具有相同的数学期望期望 和方差和方差 设
26、设为一列相互独立的随机变为一列相互独立的随机变即即定理二定理二（辛钦大数定律）（辛钦大数定律） 为一列为一列相互独立相互独立同分布同分布的的随机变量，且具有相同的数学期望随机变量，且具有相同的数学期望 即即设设在定理一中在定理一中,去掉方差存在的条件而加上相同去掉方差存在的条件而加上相同分布的条件，则有：分布的条件，则有：定理三（伯努利大数定律）定理三（伯努利大数定律）定理三（伯努利大数定律）定理三（伯努利大数定律） 设设事件事件在在每次试验中出现的概率为每次试验中出现的概率为 p, 在在n次重复独立试验中出现的频率为次重复独立试验中出现的频率为 即即且且 理论上给出了在大量重复实验下理论上给
27、出了在大量重复实验下, ,事件事件A A的的频率依概率收敛于它的概率频率依概率收敛于它的概率p.p.例例1 1 如何估计一大批产品的次品率？如何估计一大批产品的次品率？解解抽取抽取n件产品，件产品， 为其中次品的件数为其中次品的件数。设设A为事件为事件“任取一件为次品任取一件为次品”，记，记由伯努利大数定律知由伯努利大数定律知当当n很大时，可取很大时，可取 作为次品率作为次品率 的估计值的估计值。-105-中心极限定理的意义前面讲过有许多随机现象服从正态分布前面讲过有许多随机现象服从正态分布若联系于此随机现象的随机变量为若联系于此随机现象的随机变量为X ，则，则是由于许多彼此没有什么相依关系、
28、对随机现是由于许多彼此没有什么相依关系、对随机现象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作用的随机因素共同作用用的随机因素共同作用( (即这些因素的叠加即这些因素的叠加) )的的它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因素素Xk的总和的总和 ，而这个总和服从或近似服从，而这个总和服从或近似服从正态分布正态分布.结果结果.对此现象还可举个有趣的例子高尔顿钉板试验03 钉子层数-108-表示某一个小球在第k次碰了钉子后向左或向右落下这一随机现象联系的随机变量，满足中心极限定理条件，独立投入个小球，2 2、 中心极限定理中心
29、极限定理 的随机变量，且具有数学期望和方差，的随机变量，且具有数学期望和方差， 定理定理1 1（独立同分布的中心极限定理）（独立同分布的中心极限定理）任意实数任意实数 有有其中其中为标准正态分布的分布函数。为标准正态分布的分布函数。 设设为一列相互独立相同分布为一列相互独立相同分布则则对于对于-110-若一随机变量可以表示成数量很多的相互独立相若一随机变量可以表示成数量很多的相互独立相同分布的随机变量的和，则该随机变量可近似服从同分布的随机变量的和，则该随机变量可近似服从正态分布，标准化后就服从标准正态分布。正态分布，标准化后就服从标准正态分布。近似近似服从-111-对任意对任意 有，有，其中其中为为标准正态分布的分布函数。标准正态分布的分布函数。定理定理2 2 （德莫佛（德莫佛拉普拉斯）拉普拉斯），则对于任意实数，则对于任意实数x，有有设设Thank youThank you
