五章节留数及其应用

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1、五章节留数及其应用五章节留数及其应用第五章第五章 留数及其应用留数及其应用5.1 5.1 孤立奇点孤立奇点5.2 5.2 留数留数5.3 5.3 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用第五章 留数及其应用5.1 孤立奇点 5.1 5.1 孤立奇点孤立奇点 函数不解析的点称为奇点.如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析, 则z0称为f (z)的孤立奇点. 5.1 孤立奇点 函 将函数 f (z)在其孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|d内展开成洛朗级数. 根据展开式中所含负幂项的不同情况对孤立奇点分类如下：1.可去奇点 如果在洛朗级数中

2、不含z-z0的负幂项, 则称孤立奇点z0为 f (z)的可去奇点. f f( (z z)=)=c c0 0+ +c c1 1( (z z- -z z0 0)+.+)+.+c cn n( (z z- -z z0 0) )n n +.,0|+.,0|z z- -z z0 0|d d 则在圆域|z-z0|d内恒有f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,从而 f (z)在z0点也解析.故z0称为可去奇点. 将函数 f (z)在其孤立奇点z0的去心邻域0|z五章节留数及其应用2. 2. 极点极点 如果在洛朗级数中只有有限多个如果在洛朗级数中只有有限多个z z- -z z0 0的负幂

3、项的负幂项, , 且其中关于且其中关于( (z z- -z z0 0) )-1-1的最高幂为的最高幂为 ( (z z- -z z0 0) )- -m m, , 即即f f( (z z)=)=c c- -m m( (z z- -z z0 0) )- -m m +.+.+c c-2-2( (z z- -z z0 0) )-2-2+ +c c-1-1( (z z- -z z0 0) )-1-1+ +c c0 0+ + c c1 1( (z z- -z z0 0)+.()+.(m m 1, 1, c c- -m m 0),0),则称孤立奇点则称孤立奇点z z0 0为函数为函数 f f ( (z z)

4、)的的m m级极级极点点. . 上式也可写成上式也可写成: : 其中其中 g g ( (z z) = ) = c c- -m m+ + c c- -m m+1+1( (z z- -z z0 0) + ) + c c- -m m+2+2( (z z- -z z0 0) )2 2 +., +., 在在 | |z z- -z z0 0|d d 内是解析的函数内是解析的函数, , 且且 g g ( (z z0 0) ) 0 . 0 . 反过来反过来, , 当任何一个函数当任何一个函数 f f ( (z z) ) 能表示为能表示为(*)(*)的形式的形式, , 且且g g ( (z z0 0) ) 0

5、0 时时, , 则则z z0 0是是 f f ( (z z) )的的m m级极点级极点. .2. 极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,上如果如果z z0 0为为 f f( (z z) )的极点的极点, , 由由(*)(*)式知式知如果z0为 f(z)的极点, 由(*)式知3. 本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.3. 本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项综上所述:我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型. .综上所述:我们可以利用上述极限的不同

6、情形来判别孤立奇点的类型4.函数的零点与极点的关系 例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与三级零点. 根据这个定义, 我们可以得到以下结论:设f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是: f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1),f (m)(z0)0 . 不恒等于零的解析函数f(z)如能表示成 其中 在z0解析且 , m为某一正整数, 则z0称为f(z)的m级零点.4.函数的零点与极点的关系 例如当f(z)=z(z-1 因为, 若 f (z)在z0解析, 就必能在z0的邻域展开为泰勒级数: f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z

7、0)m+，易证 z0是 f (z)的m级零点的充要条件是前m项系数 c0=c1=.=cm-1=0, cm0, 等价于 f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1), f (m)(z0)0 。 例如 z=1是f (z)=z3-1的零点, 由于 f (1) = 3z2|z=1=3 0, 从而知z=1是f (z)的一级零点. 因为, 若 f (z)在z0解析, 就必能在z0的邻 所以 在z0的去心邻域内不为零, 即不恒为零的解析函数的零点是孤立的. 由于 中的 在z0解析, 且 故 必在z0连续, 所以给定 所以 在z0的去心邻域内该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.该定理为

8、判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.五章节留数及其应用例例3 3对对 讨论函数讨论函数 在在 处的性态。处的性态。例3对 讨论函数 在 5.2 5.2 留数留数1.1.留数的定义留数的定义2. 如果函数如果函数f f( (z z) )在在z z0 0的邻域的邻域D D内解析内解析, ,那么根据柯西积分定那么根据柯西积分定理理 但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去心邻域 0|z-z0|R 内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分 未必再等于零.(先回顾P40例3.1.1)5.2 留数留数的定义 但是, 如两端沿C逐项积分: 定义定义 两端沿C逐项积分: 定义 Dz

9、1z2z3znC1C2C3CnC定理一 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, .,zn 外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则2.留数定理留数定理Dz1z2z3znC1C2C3CnC定理一 设函数f(z)证明证明 把C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有注意检查定理中的条件要满足。例如不能应用留数定理。证明 把C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n) 用互不 求函数在孤立奇点z0处的留数就是求它在去心邻域内所展洛朗级数中(z-z0)-1 项的系数 c-1 即可. 但如果知道奇点的类型, 对求

10、留数会更有利. 如果z0是f (z)的可去奇点, 则Resf(z),z0=0 . 如果z0 是本性奇点, 则只好将其展开成洛朗级数. 如果z0 是极点, 则有如下规则: 求函数在孤立奇点z0处的留数就是求它在去心邻域内所展3. (3. (极点极点) )留数的计算规则留数的计算规则规则规则2 2 如果如果z z0 0为为f f(z)(z)的的m m级极点级极点, , 则则事实上事实上, , 由于由于f f( (z z)=)=c c- -m m( (z z- -z z0 0) )- -m m+.+.+c c-2-2( (z z- -z z0 0) )-2-2+ +c c-1-1( (z z- -z

11、 z0 0) )-1-1+ +c c0 0+ +c c1 1( (z z- -z z0 0)+.,)+.,( (z z- -z z0 0) )m m f f( (z z)=)=c c- -m m+ +c c- -m m +1+1( (z z- -z z0 0)+.+)+.+c c-1-1( (z z- -z z0 0) )m m-1-1+ +c c0 0( (z z- -z z0 0) )m m+.,+.,规则规则1 1 如果如果z z0 0为为f f (z)(z)的一级极点的一级极点, , 则则3. (极点)留数的计算规则规则2 如果z0为f(z)的m令令 z zz z0 0, ,右端的极限

12、是右端的极限是( (m m-1)!-1)!c c-1-1, ,两端除以两端除以( (m m-1)!-1)!就是就是ResResf f( (z z),),z z0 0,即得即得规则规则2 2, ,当当 m m=1=1时就是时就是规则规则1 1。令 zz0,右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-五章节留数及其应用即得 规则规则3 3。即得 规则3。五章节留数及其应用由规则1, 得我们也可以用规则3来求留数:比用规则比用规则1 1更简单更简单! !由规则1, 得我们也可以用规则3来求留数:比用规则1更简单!五章节留数及其应用五章节留数及其应用例 4 解：z = 0为一级极点。例 4 解：z

13、 = 0为一级极点。例 5 解： 原式=例 5 解： 原式=* *5.3.5.3.在无穷远点的在无穷远点的留数留数f f ( (z z) )在圆环域在圆环域 R R|z z| 内解析：内解析： 理解为圆环域内绕理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。的任何一条简单闭曲线。的值与C无关, 称其为f (z)在点的留数, 记作设函数f(z)在圆环域R|z|内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分*5.3.在无穷远点的留数f (z)在圆环域 R|z|这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻R|z|+内洛朗展开式中 z-1 的系数变号.这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻

14、R|z|定理二定理二 如果如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, ,那么那么f(z)在所有各奇点在所有各奇点( (包括包括 点点) )的留数总和必等于零的留数总和必等于零. .证：除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有定理二 如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那么五章节留数及其应用所以规则4 成立.定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法, 在很多情况下, 它比利用上一段中的方法更

15、简便.所以规则4 成立.定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲例 6解：例 6解：五章节留数及其应用证明证明：证明： 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。留数定理又是涉及闭路积分的，要应用于定积分，必须先将定积分变为闭路积分中的一部分。5.3 5.3 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用如图，对于实积分 ，变量x定义在闭区间a,b(线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分要变为闭路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含闭路的一个区域中,让实积分成为闭路积分的一部分： 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用 其中f(

16、z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有 其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.其中f(z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1 上分母不例1 计算 的值.解: 由于 , 被积函数的分母在 内不为零,因而积分是有意义的. 例1 计算 五章节留数及其应用 在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点. 在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在例2 计算 的值.解：令例2 计算 例3解：例3解： 取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径

17、的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.z1z2z3yCR-RROx不失一般性, 设为一已约分式. 取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.五章节留数及其应用例 4例 4例 5 解：例 5 解：也可写为也可写为例6 计算 的值.解:这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai,例6 计算 例7 计算积分 的值.解: 因为 是偶函数,所以例7 计算积分 的值.解: 因为 因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限下面将证明由于所以因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限下面将证明由于所以j(z)在z=0处解析,且j(0)=i, 当|z|充分小时可使|j(z)|2, 而而由于由于j(z)在z=0处解析,且j(0)=i, 当|z|充分小时可在在r r充分小时充分小时, ,在r充分小时, 本章重点与难点本章重点与难点 本章拓展思考拓展思考 复变函数中的可去奇点与实变函数中可去间断点有何共同之处? 拓展思考How beautiful the sea is!How beautiful the sea is!Lets感谢聆听