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1、24.1.2 24.1.2 垂径定理垂径定理问题 ：你知道：你知道赵州州桥吗?它是它是1300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱拱桥, 是我国古代人民勤是我国古代人民勤劳与智慧的与智慧的结晶它的主晶它的主桥是是圆弧弧形形,它的跨度它的跨度(弧所弧所对的弦的的弦的长)为37.4m, 拱高拱高(弧的中点到弦弧的中点到弦的距离的距离)为7.2m，你能求出你能求出赵洲洲桥主主桥拱的半径拱的半径吗？ 赵州州桥主主桥拱的半径是多少拱的半径是多少？ 实践探究践探究把一个把一个圆沿着它的任意一条直径沿着它的任意一条直径对折，折，重复几次，你重复几次，你发现了什么？由此你能得到了什么？由此你能得到什
2、么什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CD AB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧：，弧：，垂径定理：垂
3、径定理：垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦, ,且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧. .OABCDECDAB, CD是直径是直径,AE=BE, AC =BC, AD=BD.符号语言符号语言图形语言图形语言（1）如何）如何证明？明？OABCDE已知：已知：如如图，CD是是 O的直径，的直径，AB为弦弦，且，且AE=BE.证明：明：连接接OA，OB，则OA=OB AE=BE CD AB AD=BD, 求求证：CD AB，且，且AD=BD, AC =BC AC =BC垂径定理推垂径定理推论 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于的直径垂直于弦弦,并且平分弦所并且平分弦所对的两条
4、弧。的两条弧。 CD AB, CD是直径，是直径， AE=BE AC =BC,AD =BD.OABCDE（2）“不是直径不是直径”这个条件能去掉个条件能去掉吗？如？如果不能，果不能，请举出反例。出反例。 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平分弦所并且平分弦所对的两条弧。的两条弧。OABCD1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆，圆心心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE练习解：解：答：答： O的半径为的半径为5cm.在在Rt AOE 中中 2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两为互相垂直
5、且相等的两条弦，条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.课堂堂讨论根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导：过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧（1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。（3 3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过圆心，并且
6、平分弦所对的两条弧。（2 2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。只要具备上述五个条件中任两个只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个就可以推出其余三个.试一一试1.判断：判断：( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧.( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧这条弦所对的另一条弧.( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.( )(4)
7、弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. 1.已知已知P为 O内一点，且内一点，且OP2cm，如，如果果 O的半径是的半径是3cm,那么过那么过P点的点的最短的最短的弦弦等于等于.EDCBAPO2.过过 O内一点内一点M的最长弦长为的最长弦长为4厘米，最短厘米，最短弦长为弦长为2厘米，则厘米，则OM的长是多少？的长是多少？OMA2、如、如图，点，点P是半径是半径为5cm的的 O内一点，且内一点，且OP=3cm, 则过P点的弦中，点的弦中，（1）最）最长的弦的弦= cm（2）最短的弦）最短的弦= cm（3）弦的）弦的长度度为整数的共有（整数的共有（）A、2条条b
8、、3条条C、4条条 D、5条条AOCD54P3B3、如、如图，点，点A、B是是 O上两点，上两点，AB=8,点点P是是 O上的上的动点（点（P与与A、B不重合）不重合）,连接接AP、BP,过点点O分分别作作OE AP于于E,OF BP于于F,EF= 。4OABOAB 已知已知 O的半径为的半径为5厘米，弦厘米，弦AB的长为的长为8厘米，厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。离。 EEDD练习练习1.过 o内一点内一点M的最的最长的弦的弦长为10,最短弦最短弦长为8,那么那么 o的半径是的半径是2.已知已知 o的弦的弦AB=6,直径直径CD=10,
9、且且AB CD,那那么么C到到AB的距离等于的距离等于3.已知已知 O的弦的弦AB=4,圆心心O到到AB的中点的中点C的距离的距离为1,那么那么 O的半径的半径为4.如如图,在在 O中弦中弦AB AC,OM AB,ON AC,垂足分垂足分别为M,N,且且OM=2,0N=3,则AB= ,AC= ,OA=BAMCON51或或964Cm归纳：归纳： 已知：直径，弦长，弦心距，已知：直径，弦长，弦心距，拱高四者知其二，即可根据勾股定拱高四者知其二，即可根据勾股定理求出另外的两个量。理求出另外的两个量。问题 ：你知道：你知道赵州州桥吗?它是它是1300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱拱桥,
10、 是我国古代人民勤是我国古代人民勤劳与智慧的与智慧的结晶它的主晶它的主桥是是圆弧弧形形,它的跨度它的跨度(弧所弧所对的弦的的弦的长)为37.4m, 拱高拱高(弧的中点到弦弧的中点到弦的距离的距离)为7.2m，你能求出你能求出赵洲洲桥主主桥拱的半径拱的半径吗？ 赵州州桥主主桥拱的半径是多少拱的半径是多少？ 解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在Rt OAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OC
11、CD=R7.2在图中在图中如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高某圆直径是某圆直径是10,内有两条平行弦内有两条平行弦,长度分别为长度分别为6和和8求这两条平行弦间的距离求这两条平行弦间的距离.船能过拱桥吗船能过拱桥吗? ?例例3.3.如图如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥, ,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米
12、, ,拱顶高出水面拱顶高出水面2.42.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3 3米、米、船舱顶部为长方形并高出水面船舱顶部为长方形并高出水面2 2米的货船要经米的货船要经过这里过这里, ,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解: :如图如图, ,用用 表示桥拱表示桥拱, , 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半径为半径为Rm,Rm,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足, ,与与 相交于点相交于点C.C.根根据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高. .由题设得由题设得在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.OABC 已知已知A、B、C是是 O上三点，且上三点，且AB=AC，圆，圆心心O到到BC的距离为的距离为3厘米，圆的半径为厘米，圆的半径为5厘米，厘米，求求AB长。长。DD试一一试OABC
