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1、第四章第四章积分法:互逆运算不定积分 4.1 不定积分的概念与性质定义1： 设 F (x)与 f (x) 是定义在某区间上的函数， 如果在该区间上有 或 ，则称 F (x)是 f (x) 在这个区间上的一个原函数。 4.1.1 原函数原函数问题问题: : 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理定理1. 存在原函数 .初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理. . 原函数都在函数族( C 为任意常数 ) 内 .证证: 1)又知故即属于函数族机动 目录 上页 下页
2、返回 结束 即定义定义 2. 2. 在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中 积分号积分号; 被积函数被积函数; 被积表达式被积表达式. 积分变量积分变量;若则( C 为任意常数 )C 称为积分常数积分常数不可丢不可丢 !例如,记作4.1.2不定积分的概念不定积分的概念4.1.3 4.1.3 不定积分的几何意义不定积分的几何意义: :的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线积分曲线 . 例例1.1. 设曲线通过点设曲线通过点设曲线通过点设曲线通过点( 1 , 2 ) ( 1 , 2 ) , , 且其上任一点处的切线斜率等于该
3、点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有因此所求曲线为机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质1 一个函数积分后导数或微分等于这个函数。一个函数积分后导数或微分等于这个函数。性质性质2 一个函数微分后积分，等于这个函数加上任意常数。一个函数微分后积分，等于这个函数加上任意常数。4.1.4 不定积分的简单性质不定积分的简单性质性质性质3 积分形式不变性积分形式不变性 如果如果 u为为 x 的任何的任何 可微函数，则有可微函数，则有性质性质4 函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和性质性质5 常数因子
4、可从积分号中提出常数因子可从积分号中提出k 是常数且是常数且 k 04.2 不定积分的 基本公式( k 为常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 例例2例例3. 3. 求求解解: 原式 =例例4. 求解解: 原式=例例5. 5. 求求求求解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求解解: 原式 =例例7. 求解解: 原式 =注意方法注意方法例例8.8. 求求解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意方法注意方法 例例1 例例2例例3. 3. 求求解解: 原式 =例例4. 求解解
5、: 原式=例例5. 5. 求求求求解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求解解: 原式 =例例7. 求解解: 原式 =注意方法注意方法例例8.8. 求求解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意方法注意方法内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表2. 直接积分法:利用恒等变形恒等变形, 及 基本积分公式基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质积分性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1. 若提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2. 若若若若
6、是的原函数 , 则提示提示: 已知机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.3. 若若若若的导函数为则的一个原函数是 ( ) .提示提示: 已知求即B?或由题意其原函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.4. 求下列积分求下列积分求下列积分求下列积分: :提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 5. 求不定积分求不定积分求不定积分求不定积分解：解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.6. 已知已知求 A , B .解解: 等式两边对 x 求导, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法二、第二类换元法一、第一类换元法一、第一类换元法机动 目录 上页 下页 返回
7、 结束 4.3 两种积分法 第四四章 4.3.1. 换元积分法换元积分法 复合函数的微分法大大拓展了求导数复合函数的微分法大大拓展了求导数（或求积分）的范围。同样，将复合函数的（或求积分）的范围。同样，将复合函数的微分法用于求积分即得复合函数得积分法微分法用于求积分即得复合函数得积分法换元积分法，按其应用方法得不同可分为两换元积分法，按其应用方法得不同可分为两种换元法。种换元法。 1 第一换元积分法第一换元积分法 如果不定积分如果不定积分 用基本积分法不易求得，用基本积分法不易求得，但被积表达式可分解为但被积表达式可分解为 作变量代换作变量代换 ，得到，得到 则则 而而 可以求出，不妨设可以求
8、出，不妨设 这一步常称为这一步常称为“凑积分凑积分”，第二步就是求不定积分，第二步就是求不定积分 。 定理（第一类换元积分法）定理（第一类换元积分法） 设设 ，且，且 在区间在区间 I 可微，则可微，则 用第一换元积分法求不定积分用第一换元积分法求不定积分 ，分为两步完成，分为两步完成，第一步从第一步从 f (x)中分出一个因子中分出一个因子 ，使，使 与与dx凑成凑成u的微分的微分 du，并把被积函数剩下的部分写成的，并把被积函数剩下的部分写成的u函数，即函数，即例例例例1.1. 求求求求解解:原式原式 =注注: 当时机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.2. 求求求求解解:想到公式机
9、动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.3. 求求求求想到解解:(直接配元)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4. 求求求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似例例5.5. 求求求求解解: 原式原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用的几种配元形式常用的几种配元形式: : 万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.6. 求求求求解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.7. 求求求求解解: 原式 =例例8. 求解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.9. 求求求求解法解法1解法解法2 两法结果一样机动 目录 上页
10、下页 返回 结束 例例10.10. 求求求求解法解法1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法 2 2 同样可证或机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例11 11 答案的另一种形式例例12.12. 求求求求解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13 .13 . 求求求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如思考与练习1. 机动 目录 上页 下页 返回
11、 结束 2.2. 求求求求提示提示:法法1法法2法法3作业 目录 上页 下页 返回 结束 由例子看出，要想熟练运用凑积分法，记为一些常见函数的微分由例子看出，要想熟练运用凑积分法，记为一些常见函数的微分是很重要的，例如是很重要的，例如 等等。等等。 例例1 求求 解解 把被积式中把被积式中ln2x看成看成lnx的函数，剩下的因式的函数，剩下的因式 恰好是恰好是lnx的微分的微分dlnx ，令，令lnxu ，则，则 ，于是，于是 把把 u lnx代入上式右端，得到代入上式右端，得到 例例2 求求 解解 把被积式中把被积式中 看成看成 的函数，剩下部分的函数，剩下部分 乘上乘上 可以凑成可以凑成
12、的微分的微分 ，令，令 u ，则，则 ，于是，于是 把把 代入上式右端，得到代入上式右端，得到 例例3 求求 解解 解解 利用三角函数积化和差公式，我们有利用三角函数积化和差公式，我们有于是于是 例例4 求求 例例5 求求 解解2 第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法 .难求， 定理（第二换元积分法）定理（第二换元积分法） 则则 设函数设函数 ，在区间，在区间 I 可微且存在反函可微且存在反函数数 ，如果，如果 例例1 求求 解解 被积函数中含有根式被积函数中含有根式 ，令，令 x = t 2 (t 0 )，则，则
13、dxd t 22 t d t 于是于是 例例2 求求 解解 令令 u = ex ，或，或 x = lnu ， ，于是，于是此题也可用此题也可用“加减项法加减项法”。得到的结果是一样的。得到的结果是一样的。 例例3 求求 解解 例例4 求求 解解 例例5 求求 解解 例例6 求求 解解 例例7 求求 解解例例8.8. 求求求求解解: 令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9. 求求解解: 令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10.10. 求求求求解解:令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式例例11.11. 求求求求解解: 令则原式当 x 0 时, 类似可得同样
14、结果 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结:1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: 令令令或令或令或机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充(7) 倒数代换倒数代换 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12.12. 求求求求例例13. 求解解:例例14.14. 求求求求解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例15. 求解解: 原式例例16.16. 求求求求解解: 令得原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例17.17. 求求
15、求求解解: 原式令例16 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?令令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 2. 已知已知已知已知求解解: 两边求导, 得则(代回原变量代回原变量) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 求下列积分求下列积分求下列积分求下列积分: :机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节第三节由导数公式积分得:分部积分公式分部积分公式或1) v 容易求得 ;容易计算 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法 第四四章 例例1.1. 求求求求解解: 令则 原式思考思考: 如何求提示提示: 令则原式机动 目录 上
16、页 下页 返回 结束 例例2.2. 求求求求解解: 令则原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.3. 求求求求解解: 令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4. 求求求求解解: 令, 则 原式再令, 则故 原式 =说明说明: 也可设为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4. 求求求求解解: 令, 则 原式再令, 则故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解题技巧解题技巧: :把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序, 前者为 后者为例例5. 求解解: 令, 则原式 =机动 目录 上页 下
17、页 返回 结束 反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数例例6.6. 求求求求解解: 令, 则原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.7. 求求求求解解: 令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 令例例8.8. 求求求求解解: 令则 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: :分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )例4 目录 上页 下页 返回 结束 例例11.11. 已知已知已知已知的一个原函数是求解解:说明
18、说明: 此题若先求出再求积分反而复杂.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12.12. 求求求求解法解法1 先换元后分部令即则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 2 用分部积分用分部积分用分部积分用分部积分法法法法机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 分部积分公式1. 使用原则 :易求出,易积分2. 使用经验 : “反对幂指三反对幂指三” , 前 u 后3. 题目类型 :分部化简 ;循环解出机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?得 0 = 1答答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法
19、.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.求不定积分解解：方法1(先分部 , 再换元)令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2(先换元,再分部)令则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.求不定积分解：解： 令则, 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.4.4. 求求求求解解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.5. 求求求求解解 :原式分部积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 6. 求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.7. 求求求求解解: 令则原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 需要注意的问题(1) 一般方法不一定是最简便的方法 ,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合使用各种基本积分法, 简便计算 . 因此不一定都能积出.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如 , THANK YOU感谢聆听，批评指导2020
