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1、第第4讲：自由曲线和曲面讲：自由曲线和曲面第四章：自由曲线和曲面v参数样条曲线参数样条曲线vBezier曲线曲线vB样条曲线样条曲线v自由曲面自由曲面概概 述述v从计算机对形状处理的角度来看从计算机对形状处理的角度来看v（1）唯一性）唯一性v（2）几何不变性：）几何不变性：对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。v（3）易于定界）易于定界v（4）统一性：）统一性：统一的数学表示，便于建立统一的数据库概概 述述v标量函数：平面曲线标量函数：平面曲线 y = f(x) 空间曲线空间曲线 y = f(x) z = g(x)v矢量函数：矢量函数：平面曲线平
2、面曲线 P(t) = x(t) y(t) 空间曲线空间曲线 P(t) = x(t) y(t) z(t) 插值、逼近和拟合插值、逼近和拟合v插值插值严格通过已知型值点严格通过已知型值点v逼近逼近近似地地接近已知型值点近似地地接近已知型值点v拟合拟合以上两种方法统称以上两种方法统称 插值逼近自由曲线曲面的发展过程自由曲线曲面的发展过程v目标：美观，且物理性能最佳目标：美观，且物理性能最佳v1963年，美国波音飞机公司，年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲面双三次曲面片片v19641967年，美国年，美国MIT，Coons双三次曲面片双三次曲面片v1971年，法国雷诺汽车公司，年，法国雷诺
3、汽车公司，Bezier曲线曲面曲线曲面v1974年，美国通用汽车公司，年，美国通用汽车公司，Cordon和和Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面样条曲线曲面v1975年，美国年，美国Syracuse大学，大学，Versprille有理有理B样样条条v80年代，年代，Piegl和和Tiller, NURBS方法方法参数表示的好处参数表示的好处v有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状v易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算v设设计计或或表表示示形形状状更更直直观观，许许多多参参数数表表示示的的基基函函数
4、数如如Bernstein基和基和B样条函数，有明显的几何意义样条函数，有明显的几何意义1 参数样条曲线参数样条曲线v曲线的三种坐标表示法曲线的三种坐标表示法 v直角坐标表示直角坐标表示 1) 显式：显式： y = f (x) 如如 y = sin (x) 2) 隐式：隐式： f (x, y) = 0 参数坐标表达式参数坐标表达式1 参数样条曲线参数样条曲线v 极坐标表示极坐标表示 对于任一坐标曲线对于任一坐标曲线 ，坐标变换关系式：，坐标变换关系式：v例：阿基米德螺线：例：阿基米德螺线： 1 参数样条曲线参数样条曲线v参数坐标表示参数坐标表示v例：弹道曲线：例：弹道曲线：1 参数样条曲线参数样
5、条曲线v二次参数样条曲线或曲面二次参数样条曲线或曲面v三次参数样条曲线或曲面三次参数样条曲线或曲面v参数样条曲线术语参数样条曲线术语v型值点和控制点型值点和控制点型值点或控制点的个数型值点或控制点的个数 = = 曲线次数曲线次数+1+1v切线、法线和曲率切线、法线和曲率切线是一阶导数，曲率是二阶导数切线是一阶导数，曲率是二阶导数1 参数样条曲线参数样条曲线v 2. 切线、法线和曲率切线、法线和曲率v曲率公式曲率公式+d d MQds x = x ( t ), y = y ( t ), t 0, 1 z = z ( t ), 矢量形式：矢量形式： P = P ( t ), t 0, 1 P (
6、t ) 的的 k 阶导数阶导数 1 参数样条曲线参数样条曲线对对 t = t0，若，若 P(t0) = x(t0), y(t0),z(t0)T 0，则称则称 P(t0)为为正则点。v正则点的几何意义是什么？正则点的几何意义是什么？ 1 参数样条曲线参数样条曲线导数的意义是 P对t 的变化率， P(t0) = 0 意味着 P 在t0处为水平线。切矢量切矢量 OPP( t )P( t + t)P( t )xy曲线弧长曲线弧长 P0P1Pn法矢量法矢量 N(s)法平面切平面P(s)B(s)T(s)T (s)为单位矢量 T (s)2 = 1N (s) = T(s) 所以 N (s) 与 T(s) 垂直
7、曲率曲率 T(s)P(s)P(s+s)T(s +s)T(s+s)T(s)RQ参数连续性和几何连续性参数连续性和几何连续性v0阶参数连续性阶参数连续性 C 0连续性连续性如：折线v1阶参数连续性阶参数连续性 C 1连续性连续性如：直线v2阶参数连续性阶参数连续性 C 2连续性连续性如：圆、抛物线、双曲线3 三次三次Hermite曲线曲线v定义定义给定给定4个矢量个矢量 ，称满足条件的三次多项，称满足条件的三次多项式曲线式曲线P(t)为为Hermite曲线曲线P0R0R1三次三次Hermite曲线曲线v矩阵表示矩阵表示条件条件三次三次Hermite曲线曲线合并合并解解三次三次Hermite曲线曲线
8、v基矩阵与基函数（调和函数）基矩阵与基函数（调和函数）24三次三次Hermite曲线曲线v形状控制形状控制改变端点位置矢量P0, P1调节切矢量 R0, R1 的方向调节切矢量 R0, R1 的长度vHeimite插值曲线并不唯一，需要给出端点条件插值曲线并不唯一，需要给出端点条件三次插值样条曲线的端点条件三次插值样条曲线的端点条件v二次插值样条需要四个条件。二次插值样条需要四个条件。v在全部点列在全部点列Pi(i=1,2,n)中，得到中，得到n-3段曲线：段曲线： P0P1P2Pn-1PnPn+1P0和Pn+1的不同会导致不同的曲线三次插值样条曲线的端点条件三次插值样条曲线的端点条件v三次插
9、值样条的端点条件（常用）。三次插值样条的端点条件（常用）。 已知两端的切矢已知两端的切矢P1和和Pn 自由端条件自由端条件 形成封闭曲线形成封闭曲线P0P1P2PnPnPn+1P1Pn27三次三次Hermite曲线曲线v优点：优点：简单，易于理解简单，易于理解v缺点：缺点：难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件不方便不方便n所有参数插值曲线的缺点：所有参数插值曲线的缺点：n只限于作一条点点通过给定数据点的曲线只限于作一条点点通过给定数据点的曲线n只适用于插值场合，如外形的数学放样只适用于插值场合，如外形的数学放样n不适合于外形设计不适合于外形设计28三
10、次三次Hermite曲线曲线v优点：优点：简单，易于理解简单，易于理解v缺点：缺点：难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件不方便不方便n所有参数插值曲线的缺点：所有参数插值曲线的缺点：n只限于作一条点点通过给定数据点的曲线只限于作一条点点通过给定数据点的曲线n只适用于插值场合，如外形的数学放样只适用于插值场合，如外形的数学放样n不适合于外形设计不适合于外形设计BezierBezier曲线表达式曲线表达式 二次二次BezierBezier曲线：曲线： P(t) = (1-t)P(t) = (1-t)2 2P P0 0+2t(1-t)P+2t(1-t)P1
11、 1+t+t2 2P P2 2 三次三次BezierBezier曲线：曲线： P(t) = (1-t)P(t) = (1-t)3 3P P0 0+3t(1-t)+3t(1-t)2 2P P1 1 + + 3t3t2 2(1-t)(1-t) P P2 2 +t+t3 3P P3 33 Bezier3 Bezier曲线曲线Bezier曲线曲线v1962年，法国雷诺汽车公司年，法国雷诺汽车公司v工程师工程师v以以“逼近逼近”为基础为基础v用于汽车设计的用于汽车设计的UNISURF系统系统v1972年雷诺汽车公司正式使用年雷诺汽车公司正式使用Bezier曲线曲线vBezier基函数基函数-Bernst
12、ein多项式的定义多项式的定义32Bezier曲线曲线vBezier基函数基函数-Bernstein多项式的定义多项式的定义33Bezier曲线曲线vBernstein基函数的性质基函数的性质正性权性对称性降阶公式升阶公式34Bezier曲线曲线导数积分最大值在t = i/n处取得最大值线性无关性 是n次多项式空间的一组基35Bezier曲线曲线vBezier曲线的定义曲线的定义n次多项式曲线次多项式曲线P(t)称为称为n次次Bezier曲线曲线控制顶点控制顶点控制多边形控制多边形P0P1P2P336Bezier曲线曲线对称性对称性不是形状对称保持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只是将
13、控制点Pi的排序颠倒 ，曲线形状保持不变37Bezier曲线曲线凸包性凸包性点集的凸包点集的凸包包含这些点的最小凸集包含这些点的最小凸集Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内曲线位于其控制顶点的凸包之内38Bezier曲线曲线多值性多值性P1P4P2P0=P5P339Bezier曲线曲线v二次二次Bezier曲线曲线n=2抛物线P0P2P1MP(0.5)P(1)P(0)40Bezier曲线曲线v三次三次Bezier曲线曲线n=3P0P1P2P3P(0)P(1)41v缺点：缺点：所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定顶点值的加权平均控制顶点数增多时
14、，生成曲线的阶数也增高控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱曲线拼接需要附加条件，不太灵活Bezier曲线曲线424 B样条曲线样条曲线v产生：产生：1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的启发，将B样条函数拓广成参数形式的B样条曲线v优于优于Bezier曲线之处：曲线之处：与控制多边形的外形更接近局部修改能力任意形状，包括尖点、直线的曲线易于拼接阶次低，与型值点数目无关，计算简便43B样条曲线样条曲线v定义：定义： 给定给定m+n+1个空间向量个空间向量 ，(k=0,1,
15、m+n)，称，称n次参数曲线次参数曲线 为为n次次B样条曲线的第样条曲线的第i段曲线（段曲线（i=0,1,m）它的全体称为它的全体称为n次次B样条曲线，它具有样条曲线，它具有Cn-1连续性连续性44B样条曲线样条曲线v为简化记号，取为简化记号，取i=0i=0来代表样条中的任意一段来代表样条中的任意一段 v基函数为基函数为B样条函数样条函数 45B样条曲线样条曲线v二次二次B样条样条n=2抛物线B0B2B1MP(0.5)P(1)P(0)46B样条曲线样条曲线v三次三次B样条样条n=3B0B0B1B1B2B2B3B347B样条曲线样条曲线v三次三次B样条的样条的C2连续性连续性如果增加一个控制顶点
16、P4，则前一段曲线是否会受影响？P(t)P4 B-B-样条曲线表达式样条曲线表达式与与BezierBezier样条相比的优点：样条相比的优点：1) B-1) B-样条多项式次数独立于控制点的个数。样条多项式次数独立于控制点的个数。 2) B-2) B-样条允许曲线和曲面可以局部控制。样条允许曲线和曲面可以局部控制。 B-B-样条的基函数比样条的基函数比BezierBezier的基函数更为复杂。的基函数更为复杂。4 B-4 B-样条曲线样条曲线 B-B-样条基函数样条基函数4 B-4 B-样条曲线样条曲线i = 0, 1, n B-B-样条曲线样条曲线局部性、凸包性、直线再生性、局部性、凸包性、
17、直线再生性、分段参数多项式曲线、连续性、分段参数多项式曲线、连续性、导数曲线、仿射不变性、平面保型性导数曲线、仿射不变性、平面保型性4 B-4 B-样条曲线样条曲线v非均匀有理非均匀有理B样条样条(NURBS) 一条一条k k阶（阶（k-1k-1次）非均匀有理次）非均匀有理B B样条样条其中其中R Ri i(i=1,2,(i=1,2,n),n)为控制顶点，为控制顶点，h hi i(i=1,2,(i=1,2,n),n)称为权或权因子，称为权或权因子，分别与控制顶点相联系。其中首、末权因子大于零，其余权分别与控制顶点相联系。其中首、末权因子大于零，其余权因子不小于零。控制顶点顺序连成控制多边形。其
18、节点向量因子不小于零。控制顶点顺序连成控制多边形。其节点向量是一般非均匀的。当所有权因子均为是一般非均匀的。当所有权因子均为1 1时，时，NURBSNURBS曲线就成为曲线就成为B B样条曲线。样条曲线。5 5 非均匀有理非均匀有理B样条样条1.1.对标准的解析形状（如圆锥曲线、二次曲面、回转面等）对标准的解析形状（如圆锥曲线、二次曲面、回转面等）和自由曲线、曲面提供了统一的数学表示，而且对二次和自由曲线、曲面提供了统一的数学表示，而且对二次曲线曲面的表示是精确的。曲线曲面的表示是精确的。 2.2.由操纵控制顶点和权因子为各种形状设计提供了充分的由操纵控制顶点和权因子为各种形状设计提供了充分的
19、灵活性。灵活性。 3.3.计算稳定且速度较快。计算稳定且速度较快。 4.4.NURBSNURBS在比例、旋转、平移、剪切以及平行和透视投影变在比例、旋转、平移、剪切以及平行和透视投影变换下是不变的。换下是不变的。 5.5.NURBSNURBS是非有理是非有理B B样条形式以及样条形式以及BezierBezier形式的合适的推广。形式的合适的推广。 NURBS的特点 4 自由曲面v参数曲面的概念P(u,w) = x(u,w), y(u,w), z(u,w) 0 u,w 1011uw(u,w)P(0,0)P(0,w)P(0,1)P(u,0)P(1,1) P(1, w)P(1, 0)P(u, 0)P
20、(u,w) vu和和w向切矢：向切矢：v四个角点的四个角点的u向和向和w向切矢为：向切矢为：Pu(0,0)、 Pu(1,0)、 Pu(0,1) 、Pu(1,1)、Pw(0,0)、 Pw(1,0)、 Pw(0,1) 、Pw(1,1).v混合偏导矢（扭矢）：混合偏导矢（扭矢）：v四个角点的扭矢为：四个角点的扭矢为：Puw(0,0)、 Puw(1,0)、 Puw(0,1) 、Puw(1,1)三次曲面的数学表示v双三次曲面片的代数形式为v其矩阵表达式为P(u,w) = UAWT其中其中 1. 1. 孔斯（孔斯（CoonsCoons）曲面）曲面v由曲面四个角点、每个角点处的两个切矢及四个角点处的混合偏导
21、矢由曲面四个角点、每个角点处的两个切矢及四个角点处的混合偏导矢（扭矢）确定曲面。（扭矢）确定曲面。P(0,0)P(0,w)P(0,1)P(u,1)P(1, w)P(1, 0)P(u, 0)P(1,1) P(u,w) Coons曲面的特点：v属于构造插值曲面的方法，曲面构造的几何意义明确属于构造插值曲面的方法，曲面构造的几何意义明确且曲面的表达式简洁，主要用于构造那些通过给定型且曲面的表达式简洁，主要用于构造那些通过给定型值点的曲面，而不适用于进行曲面的设计。这是因为：值点的曲面，而不适用于进行曲面的设计。这是因为：在曲面设计的初级阶段，需要不断地修改型值点的位置。所以对位置尚未最后确定的型值点
22、构造插值曲面，显然是不合理的。由于扭矢的几何意义不很明显，工程设计人员难以把握，因此难以提供精确的角点信息，使曲面的形状不易控制。不具备局部性。修改任意一个型值点都会影响整张曲面的形状，而其形状变化又难以预测。2. 2. Bezier曲面 v用控制多边形网格（特征网格）替代点矢、切矢与扭矢构造用控制多边形网格（特征网格）替代点矢、切矢与扭矢构造Bezier曲面。曲面。v可以认为控制网格是曲面可以认为控制网格是曲面P(u,w)大致形状的勾画；大致形状的勾画；P(u,w)是对是对控制网格的逼近。控制网格的逼近。Bezier曲面的特点：vBezier曲面是以逼近为基础的曲面设计方法。它先通过曲面是以
23、逼近为基础的曲面设计方法。它先通过控制顶点网格勾画出曲面的大体形状，然后通过修改控制控制顶点网格勾画出曲面的大体形状，然后通过修改控制顶点的位置修改曲面的形状。这种构造方法比较直观，易顶点的位置修改曲面的形状。这种构造方法比较直观，易于为工程设计人员所接受，因而获得了广泛的应用。于为工程设计人员所接受，因而获得了广泛的应用。v这种方法不具有局部性，即这种方法不具有局部性，即修改任意一个修改任意一个控制顶点都会影控制顶点都会影响整张曲面的形状。响整张曲面的形状。B样条曲面v用控制多边形网格（特征网格）替代点矢、切矢与扭矢构造曲面。用控制多边形网格（特征网格）替代点矢、切矢与扭矢构造曲面。v注意注
24、意:Ni,3(t)为为3次均匀次均匀B样条基函数样条基函数B样条曲面的特点：vB样条曲面构造方法是样条曲面构造方法是Bezier曲面方法的推广，它用曲面方法的推广，它用B样样条基函数代替条基函数代替Bezier方法中的方法中的Bernstein基函数来反映基函数来反映控制顶点对曲面形状的影响。它在保留了控制顶点对曲面形状的影响。它在保留了Bezier曲面设曲面设计方法几乎所有优点的同时，解决了计方法几乎所有优点的同时，解决了Bezier曲面设计中曲面设计中存在的局部性修改问题。存在的局部性修改问题。 非均匀有理B样条曲面（NURBS）v给定一张(m+1)x(n+1)的网格控制点 Pij (i=0,1,m; j=0,1,n),以及各控制网格点的权值Wij (i=0,1,m; j=0,1,n)，则其确定的NURBS曲面的表达式为： NURBS曲面的特点：v规则曲面与自由曲面精确的统一的数学表示。规则曲面与自由曲面精确的统一的数学表示。v有多种方式定义曲面，但构造这些曲面的数学基础以及在有多种方式定义曲面，但构造这些曲面的数学基础以及在造型系统中存储它们的方法是相同的。造型系统中存储它们的方法是相同的。 NURBS方法已成方法已成为众多为众多CAD/CAM系统的基本几何表达式和数据交换标系统的基本几何表达式和数据交换标准。准。
