数学建模讲义微分方程模型

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1、数学建模讲义数学建模讲义微分方程模型微分方程模型微分方程模型1、人口预报问题、人口预报问题3、作战模型、作战模型4、捕食问题、捕食问题5、火箭发射问题、火箭发射问题2、传染病问题、传染病问题6、药物吸收、真假绘画作品鉴定、药物吸收、真假绘画作品鉴定、交通管理交通管理/堵塞问题堵塞问题0、简例、简例趣题趣题v下图是一个物体的顶部和前部视图v物体的侧视图？例例1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图从图3-1中不难看出，小球所受的合力为中不难看出，小球所受的合力为mgsin

2、，根据根据牛顿第二定律牛顿第二定律可得：可得： 从而得出两阶微分方程：从而得出两阶微分方程： （a）这是理想单摆应这是理想单摆应满足的运动方程满足的运动方程 (a)是一个两阶非线性方程是一个两阶非线性方程, ,不易求解不易求解. .当当很小很小时时, ,sin, 此时此时, ,可考察可考察(a)的近似线性方程：的近似线性方程： MQPmg图图3-1 (b)由此即可得出由此即可得出 (b) 的解为的解为: : (t)= 0cost 其中其中 当当 时时,(t)=0故有故有MQPmg图图3-1 (a) 的近的近似方程似方程例例2 市场价格模型市场价格模型 对于纯粹的市场经济来说对于纯粹的市场经济来

3、说,商品市场价格取决于市场供需之商品市场价格取决于市场供需之间的关系间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格这样的价格称为称为(静态静态)均衡价格均衡价格).也就是说也就是说,如果不考虑商品价格形成的动如果不考虑商品价格形成的动态过程态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是但是,实实际的市场价格不会恰好等于均衡价格际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程应是随时间不断变化的动态过程. 建立描述市场价格形成的动建立描述市场价格

4、形成的动态过程的数学模型。态过程的数学模型。 假设在某一时刻假设在某一时刻 t, 商品的价格为商品的价格为 p(t), 它与该商品的均衡价它与该商品的均衡价格间有差别格间有差别, 此时此时, 存在存在供需差供需差, 此供需差促使价格变动此供需差促使价格变动. 对新对新的价格的价格, 又有新的供需差又有新的供需差, 如此不断调节如此不断调节, 就构成市场价格形成就构成市场价格形成的动态过程的动态过程, 假设价格假设价格p(t)的变化率的变化率dp/dt 与需求和供给之差成与需求和供给之差成正比正比, 并记并记 f(p) 为需求函数为需求函数, g(p) 为供给函数为供给函数, 于是于是其中其中

5、为参数为参数. 一般我们假设需求与价格呈负线形关系，而一般我们假设需求与价格呈负线形关系，而供给与价格呈正线性关系，故可设供给与价格呈正线性关系，故可设 , 则上式变为则上式变为其中其中 均为正常数均为正常数,其通解为其通解为为任意常数，可用初值条件确定。其中 令令 ，得，得 ，这就是，这就是(静态静态)均衡价格，显然它满足均衡价格，显然它满足 即供需到达平衡。即供需到达平衡。初始价格高于均衡价初始价格高于均衡价格时格时, 动态价格就要逐步降低动态价格就要逐步降低, 且单调趋近均且单调趋近均衡价格衡价格; 初始价格低于均衡价格时初始价格低于均衡价格时, 动态价格动态价格就要逐步升高就要逐步升高

6、, 单调趋近均衡价格单调趋近均衡价格. 进一步还进一步还可以分析出可以分析出, 若初始价格等于均衡价格若初始价格等于均衡价格, 整个整个动态价格应保持不变动态价格应保持不变. 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。 这里针对单种群增长模型，简略分析一下这方面的问题。这里针对单种群增长模型，简略分析一下这方面的问题。一般复杂生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，一般复杂生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的

7、特征自行建立相应的模型。大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。 美丽的大自然 种群的数量本应取离散值，但由于种群数种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，可将种群数量看作连续变量，甚量一般较大，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的，讨论其变化率，建立微分方程模型分微小的，讨论其变化率，建立微分方程模型! !离散化为连续，方便研究离散化为连续，方便研究建模示例建模示例1 1 如何预报人口的增长如何预报人口的增长Malthus模型与Logistic模型背景 年年 1625 1830 1930 1

8、960 1974 1987 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995人口人口(亿亿) 3 4.7 6 7 10.1 11.3 12研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长模型一：指数增长模型(Malthus模型模型 )常用的计算公式常用的计算公式马尔萨斯马尔萨斯（1788-1834）提出的指数增长模型提出的指数增长模型(1798)(1798)x(t) 时刻时刻t人口人口r 人口人口(相对相对)增长率增长率(常

9、数常数)今年人口今年人口 x0, 年增长率年增长率 rk年后人口年后人口随着时间增加人口按指数规律无限增长随着时间增加人口按指数规律无限增长!模型检验模型检验 比较历年的人口统计资料，可发现人口比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，基本相符，例如，1961年世界人口数为年世界人口数为30.6 （即（即3.06109），人口增长率约为），人口增长率约为2%，人口，人口数大约每数大约每35年增加一倍。检查年增加一倍。检查1700年至年至1961的的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一年人口实际数量，发现两者

10、几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增年增加一倍，两者也几乎相同。加一倍，两者也几乎相同。 模型预测模型预测 假如人口数真能保持每假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达年，人口达21014个，个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，平方英尺的活动范围，而到而到2670年，人口达年，人口达361015个，只好一个人站在另一人的肩个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。上排成二层了

11、。 故故马尔萨斯模型是不完善的。马尔萨斯模型是不完善的。MalthusMalthus模型模型实际上只有在群体总数不太大时才实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。因，就可能发生生存竞争等现象。所以所以MalthusMalthus模型假设的人口模型假设的人口净增长净增长率不可能始终保持常数，它应当与率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。人口数量有关。指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与

12、与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r不是常数不是常数( (逐渐下降逐渐下降) )模型模型2 2 Logistic Logistic模型模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即：人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N) 从而有从而有：（*）

13、r( (N N) )是是未未知知函函数数，但但根根据据实实际际背背景景，它它无无法法用用拟拟合合方方法法来求来求 。为了得出一个有实际意义的为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。是采用尽可能简单的方法。 r(N)最最简简单单的的形形式式是是常常数数，此此时时得得到到的的就就是是马马尔尔萨萨斯斯模模型型。对对马马尔尔萨萨斯斯模模型型的的最最简简单单的的改改进就是引进一次项（竞争项）进就是引进一次项（竞争项） 模型模型2 2 Logistic L

14、ogistic模型模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即：人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N) 从而有从而有：（*）对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(N)=r-aN 此时得到微分方程：此时得到微分方程： 或或（*）（*）可改写成：可改写成： （*） （*）被称为）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（学生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制

15、性，故一次项又被称为竞争当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。项。模型模型2 2 Logistic Logistic模型模型 该式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可该式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将（近似地将K看成常数），看

16、成常数），N表示当前的种群数量，表示当前的种群数量，K-N恰恰为环境还能供养的种群数量，为环境还能供养的种群数量，该式该式指出，种群增长率与两者指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是这就是该式该式也被称为也被称为统计筹算律统计筹算律的原因。的原因。 求解求解分离变量：分离变量：两边积分并整理得：两边积分并整理得： 令令N(0)=N0，求得：求得： 故故满足初始条件满足初始条件N(0)=N0的解为：的解为： 易见：易见： N(0)=N0 ，N(t)的图形请看右图的图形请看右图模型的参数估计用指数增长

17、模型或阻滞增长模型作人口预报，用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数必须先估计模型参数 r 或或 r, K 利用统计数据用利用统计数据用最小二乘法最小二乘法作拟合作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万）1790 1800 1810 1820 1830 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 150.7 179.3 204.0 226.5r=0.2072, K=464 专家估计模 型 检 验(1)用模型预报用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较实际为实际为251.4 (百万百万)模

18、模 型型 应应 用用人人 口口 预预 报报用美国用美国17901990年人口数据重新估计参数年人口数据重新估计参数r=0.2083, N=457.6N(2000)=275.0N(2010)=297.9Logistic模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用( (如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量) )实际实际:282.4310.4模型检验模型检验(2) 用用LogisticLogistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？模型来描述种群增长的规律效果如何呢？19451945年克朗皮克（年克朗皮克（CrombicCrombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数做了一个人工饲养小谷虫的实验

19、，数学生物学家高斯（学生物学家高斯（EFGaussEFGauss）也做了一个原生物草履虫实也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和验，实验结果都和LogisticLogistic曲线十分吻合。曲线十分吻合。 大量实验资料表明用大量实验资料表明用LogisticLogistic模型来描述种群的增长，效模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯果还是相当不错的。例如，高斯把把5只草履虫放进一个盛有只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量的速率增长，此

20、后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的的LogisticLogistic曲线：曲线： 几乎完全吻合。几乎完全吻合。 CFGaussMalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型的总结模型的总结 MalthusMalthus模模型型和和LogisticLogistic模模型型均均为为对对微微分分方方程程(*)所所作作的的模模拟拟近近似似方方程程。前前一一模模型型假假设设了了种种群群增增长长率率r为为一一常常数数，（r被被称称为为该该种种群群的的内内禀禀增增长长率率）。后后一一模模型

21、型则则假假设设环环境境只只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。因，对模型进行修改。 MalthusMalthus模型与模型与LogisticLogistic模型虽然都是为了研究种群数模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，

22、但它们也可用来研究其他实际问题，量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。 模型模型3：人口发展方程：人口发展方程其中其中t时间段、时间段、r年龄；年龄；t 时刻的人口年龄时刻的人口年龄 r 密度函数密度函数t时刻、时刻、r年龄的人口相对死亡率年龄的人口相对死亡率(可统计量可统计量)t时刻的单位时间出生的婴儿数时刻的单位时间出生的婴儿数(可控量可控量)偏微分方程模型基本关系式基本关系式年代年代195019521954195619581960196219641966人口人口(千万千万)3.

23、5833.739 3.904 4.102 4.258 4.245 4.333 4.532 4.748年代年代196819701972197419761978198019821984人口人口(千万千万)4.9965.252 5.437 5.567 5.700 5.834 5.938 6.088 6.071江苏省人口统计江苏省人口统计作作业业：设设法法查查找找一一部部分分人人口口数数据据(国国家家(内内外外)、地地方方皆皆可可)，或或有有限限区区域域内内的的某某一一种种群群数数据据，进进行行建建模模预预报，并与实际数据比较，希望进一步改进模型。报，并与实际数据比较，希望进一步改进模型。作作业业格格

24、式式一一篇篇较较完完整整的的论论文文!(格格式式见见下下)难题解答难题解答v物体的侧视图建模的论文建模的论文参考参考结构结构:1、摘要、摘要问题、模型、方法、结果问题、模型、方法、结果2、问题重述、问题重述4、分析与建立模型、分析与建立模型5、模型求解、模型求解6、模型检验、模型检验7、模型推广、模型推广8、参考文献、参考文献9、附录、附录3、模型假设、模型假设建模示例二：传染病模型建模示例二：传染病模型v模型模型1 最简单模型最简单模型(早期模型早期模型)假设假设1：每个病人在单位时间内传染的人数是常数：每个病人在单位时间内传染的人数是常数r；假设假设2：不考虑死亡问题；：不考虑死亡问题；问

25、题分析问题分析: 记记x(t)表示表示t时刻病人数时刻病人数, 且初始病人数且初始病人数x(0)=x0;则则t, t+t时间段内增加的病人数为：时间段内增加的病人数为：得到微分方程：得到微分方程：模型评价模型评价: 与传染初期比较吻合，以后的误差大。与传染初期比较吻合，以后的误差大。v模型模型2 中期模型中期模型假设假设1：每个每个病人在单位时间内传染的人数与未被传染的病人在单位时间内传染的人数与未被传染的人数成正比人数成正比r;假设假设2：不考虑死亡问题；：不考虑死亡问题；假设假设3：总人数有限：总人数有限 问题分析问题分析: 记记x(t)表示表示t时刻病人数时刻病人数, 且初始病人数且初始

26、病人数x(0)=x0; y(t)为为t时时 刻未被传染的人数刻未被传染的人数; 总人数为总人数为n, 即即x(t) y(t)=n.则则t, t+t时间段内增加的病人数为：时间段内增加的病人数为：得微分方程：得微分方程：模型分析评价模型分析评价:1. 不加控制，则最终人人得病；不加控制，则最终人人得病；2. 计算传染高峰期计算传染高峰期t1：说明说明: 人口人口n越多、传染强度越多、传染强度r越大，高峰来得越早越大，高峰来得越早!缺点缺点: 没有考虑治愈问题和免疫问题。没有考虑治愈问题和免疫问题。模型模型3 精确模型精确模型假设假设1：研究对象分成三类：传染源：研究对象分成三类：传染源x(t)、

27、敏感群、敏感群y(t) 和免疫群和免疫群z(t); 假设假设2：单位时间内每个传染源传染的人数与敏感群的人数成正比：单位时间内每个传染源传染的人数与敏感群的人数成正比;假设假设3：单位时间内传染源康复为免疫群的人数正比与传染源人数；：单位时间内传染源康复为免疫群的人数正比与传染源人数；假设假设4：不考虑死亡且总人数有限。：不考虑死亡且总人数有限。问题分析问题分析: 记记a传染率传染率, b康复率康复率; 初始条件为初始条件为:得微分方程：得微分方程：解此微分方程组：解此微分方程组：是非线性方程组，不易求解，变形以是非线性方程组，不易求解，变形以y为自变量为自变量: 结论结论：当当yb/a时，传

28、染源减少直至平息时，传染源减少直至平息;当当yb/a时，传染源先增加再减少直至平息时，传染源先增加再减少直至平息;控制控制y非常关键非常关键研制疫苗、增强体质研制疫苗、增强体质;增大增大b/a也非常关键也非常关键隔离、治愈隔离、治愈 ;数值分析法数值分析法! !建模示例三：作战模型建模示例三：作战模型vLanchester战斗模型战斗模型设设x部队和部队和y部队相互交战，部队相互交战，x(t)和和y(t)分别是两部队分别是两部队在在t时刻的战斗力，其连续可导。时刻的战斗力，其连续可导。战斗力的变化率后勤补给率自然损失率对方的杀伤率战斗力的变化率后勤补给率自然损失率对方的杀伤率常规战常规战游击对

29、游击对常规战常规战游击战游击战损失率损失率后勤补给后勤补给双方战斗力双方战斗力开始时双方战斗力开始时双方战斗力战斗时刻战斗时刻为讨论方便，简化模型为：为讨论方便，简化模型为：常规战常规战1. 常规战常规战平方律平方律结论：常规战胜负取决于开战前力量结论：常规战胜负取决于开战前力量(人数人数)对比，对比，且此比值且此比值平方放大。平方放大。 集中优势兵力集中优势兵力(三大战役三大战役)射击率射击率命中率命中率简化模型为：简化模型为：游击战游击战2. 游击战游击战线性律线性律结论：战前结论：战前力量对比力量对比与队员与队员活动面积活动面积对比同样重要对比同样重要.射击率射击率一次射击的一次射击的有

30、效面积有效面积游击队员的游击队员的活动面积活动面积简化模型为：简化模型为：游击战游击战3. 游击队游击队常规部队常规部队(抛物律抛物律)结论：该模型适合以弱胜强结论：该模型适合以弱胜强.射击率射击率一次射击的一次射击的有效面积有效面积游击队员的游击队员的活动面积活动面积举例：游击甲方举例：游击甲方x兵力兵力100，命中率，命中率0.1, 活动范围活动范围0.1平方公里，射击率是正规乙方的一半，乙方每次平方公里，射击率是正规乙方的一半，乙方每次有效射击面积有效射击面积1平方米，则乙方取胜需要兵力平方米，则乙方取胜需要兵力y0：需需10倍的兵力！倍的兵力！模型检验：模型检验：1) 1954年年J.

31、 H. Engel用常规战模型分析了用常规战模型分析了美日硫磺岛战役，结果与美方战地记录吻合！美日硫磺岛战役，结果与美方战地记录吻合！2) 游击游击常规战应用常规战应用越南战争美国撤军：越南战争美国撤军： 1968年美方兵力只有年美方兵力只有6倍，且只能增援到倍，且只能增援到6.7倍，倍，故没有增援，而于故没有增援，而于1973年撤军。年撤军。军备竞赛博弈微分方程模型：博弈微分方程模型： 考考虑两个参加两个参加军备竞赛的国家。我的国家。我们试图定性的定性的评价价军备竞赛对防御防御费用方面的影响。特用方面的影响。特别我我们更有更有兴趣知道，趣知道，军备竞赛是否会是否会导致不可控制的致不可控制的经

32、费支出，并且最支出，并且最终由具有由具有经济实力的国家支配，力的国家支配，还是最是最终会达到一个平衡的支出水平？会达到一个平衡的支出水平？ 定定义变量量x是国家是国家A每年的防御支出，每年的防御支出，变量量y是国家是国家B每年每年的防御支出。我的防御支出。我们首先用国家首先用国家A的的观点来分析一下形点来分析一下形势，在，在不考不考虑国家国家B（敌对国）的国）的军费支出支出时，我，我们有理由相信国有理由相信国家家A的的军费支出是一个支出是一个递减的减的过程程常数常数a为该国在防御支出上的限制系数，如政府要把钱花在为该国在防御支出上的限制系数，如政府要把钱花在卫生和教育事业上。卫生和教育事业上。

33、 那么当国家那么当国家B进行行军费支出支出时呢？国家呢？国家A将会出于安全考将会出于安全考虑被迫增加被迫增加经费。假。假设增加量与国家增加量与国家B的支出量成一定的比例的支出量成一定的比例, 这时上面的微分方程就上面的微分方程就变成了。成了。 最后添加一个常数最后添加一个常数项，以反映国家，以反映国家A对国家国家B感到的所有感到的所有潜在的不安因素，潜在的不安因素，这也就是也就是说即使两个国家的防御支出即使两个国家的防御支出为零，零，国家国家A仍仍觉得有必要武装自己得有必要武装自己对付国家付国家B，是一种，是一种对未来情况的未来情况的担心。担心。这个往往根据两国的外交关系所定（美个往往根据两国

34、的外交关系所定（美苏，美国与加拿，美国与加拿大）。大）。 而而对于国家于国家B来来说则有：有：现在来看看上述模型是否会平衡在来看看上述模型是否会平衡是否会有是否会有(x, y)满足足:首先假首先假设A，B两国外交上属于两国外交上属于亲密密的朋友关系的朋友关系，这，这时常数时常数c, p都为都为0，这时模型变为：，这时模型变为： 那么那么显然然这时的平衡点在的平衡点在 处，在，在这种情况下，种情况下，两国都没有防御支出，国民两国都没有防御支出，国民经济的的总产值全部用来投全部用来投资医医疗卫生以及教育事生以及教育事业等非等非军事方面，两国可以用非事方面，两国可以用非军事方法来事方法来解决一切争端

35、（解决一切争端（历史上只有美国与加拿大在史上只有美国与加拿大在1817年至今使年至今使这种关系），但当两国冲突矛盾很大种关系），但当两国冲突矛盾很大时模型就模型就变为：这时模型的平衡点就模型的平衡点就变为：的解，的解， 其解其解为： 当当an-bm为正切正切较大大时，这个交点在第一象限，有自身的个交点在第一象限，有自身的物理意物理意义。但是当。但是当an-bm较小或趋于较小或趋于零零时呢？将会出呢？将会出现经费失控（如美失控（如美苏）！）！为负的意的意义作作为思考思考题。可以看出我可以看出我们都一直使用一种都一直使用一种简单的的线性表示，那么复性表示，那么复杂后的情况呢？可以肯定复后的情况呢？

36、可以肯定复杂后模型的适后模型的适应性更性更强强，推广和，推广和实践意践意义更大。不更大。不过复复杂也有自身的弱点如：也有自身的弱点如：导致模型求救困致模型求救困难甚至不可解甚至不可解(非非线性性优化化)。特特别，当，当cp非非0时(双方不信任双方不信任)，即便裁，即便裁军使得使得x=0和和/或或y=0，军备竞赛实质还是会一直是会一直进行下去。就是行下去。就是说双方双方谅解解较裁裁军、停、停战等更重要等更重要! 武力解决冲突不可取！武力解决冲突不可取！建模示例建模示例4：地中海鲨鱼问题：地中海鲨鱼问题 意意大大利利生生物物学学家家Ancona曾曾致致力力于于鱼鱼类类种种群群相相互互制制约约关关系

37、系的的研研究究, 他他从从第第一一次次世世界界大大战战期期间间,地地中中海海各各港港口口捕捕获获的的几几种种鱼鱼类类捕捕获获量量百百分分比比的的资资料料中中, 发发现现鲨鲨鱼鱼等等的的比比例例有有明明显显增增加加(见见下下表表),而而供供其其捕捕食食的的食食用用鱼鱼的的百百分分比比却却明明显显下下降降.显显然然战战争争使使捕捕鱼鱼量量下下降降, 食食用用鱼鱼增增加加, 鲨鲨鱼鱼等等也也随随之之增增加加,但但为为何何鲨鲨鱼鱼的的比比例例大幅增加呢？大幅增加呢？ 他他无无法法解解释释这这个个现现象象, 于于是是求求助助于于著著名名的的意意大大利利数数学学家家V. Volterra, 希希望望建建立

38、立一一个个食食饵饵捕捕食食系系统统的的数数学学模模型型, 定定量地回答这个问题量地回答这个问题.年代年代1914 1915 1916 1917 1918百分比百分比11.921.4 22.1 21.236.4年代年代1919 1920 1921 1922 1923百分比百分比27.316.0 15.9 14.810.7捕获鱼中鲨鱼等食肉鱼的比例捕获鱼中鲨鱼等食肉鱼的比例 该该 模型反映了在没有人工捕模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系间的制约关系, 没有考虑食饵和没有考虑食饵和捕食者自身的捕食者自身的阻滞阻滞作用作用, 是最简是最简单的模型

39、单的模型.1基本假设：基本假设：(1)食食饵饵由由于于捕捕食食者者的的存存在在使使增增长长率率降降低低, 假假设设降降低低的的程程度度与与捕捕食食者者数数量量成成正比正比;(2)捕捕食食者者由由于于食食饵饵为为它它提提供供食食物物的的作作用用使使其其死死亡亡率率降降低低或或使使之之增增长长，假假定定增增长长的的程程度度与与食食饵饵数数量量成成正比。正比。 2符号符号说明：明：x食食饵在在t时刻的数量；刻的数量； a食食饵独立生存独立生存时的增的增长率；率；e捕食者掠取食捕食者掠取食饵的能力；的能力； f食食饵对捕食者的供养能力捕食者的供养能力.y捕食者捕食者在在t时刻的数量；刻的数量； b捕食

40、者捕食者独立生存独立生存时的死亡率；的死亡率；K捕获能力系数捕获能力系数.3. 模型模型(一一) 不考虑人工捕获不考虑人工捕获4. 模型模型(一一) 求解求解 利用微分方程的利用微分方程的相关理论相关理论，知原方程组的解是周期解，设，知原方程组的解是周期解，设周期为周期为T，则为了解释问题中的数据，需计算，则为了解释问题中的数据，需计算x、y的平均值：的平均值：5. 模型模型(二二) 考虑人工捕捞考虑人工捕捞类似可计算类似可计算x、y的平均值：的平均值：K捕获能力系数捕获能力系数.结论结论：增加捕捞后捕食者平均值降低，而：增加捕捞后捕食者平均值降低，而饵食饵食(食用鱼食用鱼)平均值增加；进一步

41、捕捞能平均值增加；进一步捕捞能力系数下降也导致捕食者力系数下降也导致捕食者(鲨鱼等鲨鱼等)数量上数量上升。升。“涸泽而鱼涸泽而鱼”除外除外推广推广：解释杀虫剂的反效果：解释杀虫剂的反效果杀虫剂在杀杀虫剂在杀死害虫的同时也杀死其天敌益虫，这将导致死害虫的同时也杀死其天敌益虫，这将导致害虫量的增加。害虫量的增加。用用Matlab软件求常微分方程的数值解软件求常微分方程的数值解t, x=solver(fun, ts, x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解由待解方程写方程写成的成的m-文件名文件名ts=t0,tf，t0、tf为为自变量的自变量的初值和

42、终初值和终值值函数的函数的初始值初始值ode23：组合的组合的2/3阶龙格阶龙格-库塔库塔-芬尔格算法芬尔格算法 ode45：运用组合的运用组合的4/5阶龙格阶龙格-库塔库塔-芬尔格算法芬尔格算法自变自变量值量值函数函数值值用于设定误差限用于设定误差限(缺省时设定相对误差缺省时设定相对误差10-3, 绝绝对误差对误差10-6),命令为：命令为：options=odeset(reltol,rt,abstol,at), rt, at：分别为设定的相对误差和绝对误差分别为设定的相对误差和绝对误差.help ode45/23.首先，建立首先，建立m-文件文件shier.m如下：如下： function

43、 dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2); dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);其次，建立主程序其次，建立主程序shark.m如下：如下： t,x=ode45(shier,0 15,25 2); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*) plot(x(:,1),x(:,2)6. 模型检验模型检验求解结果：求解结果：由上两图知：由上两图知：x(t)与与y(t)都是周期函数都是周期函数模型（二）模型（二） 考虑人工捕获考虑人工捕获 设设表表示示捕捕获获能能力力的的系系数数为为K，相相当当于于食食饵饵的的

44、自自然然增增长长率率由由a降为降为a-K，捕食者的自然死亡率由，捕食者的自然死亡率由b增为增为 b+K设战前捕获能力系数设战前捕获能力系数K=0.3, 战争中降为战争中降为K=0.1, 则战前与战争中的模型分别为则战前与战争中的模型分别为:模型求解模型求解:1、分别用、分别用m-文件文件shier1.m和和shier2.m定义上述两个方程定义上述两个方程2、建立主程序、建立主程序shark1.m, 求解两个方程，并画出两种情况下求解两个方程，并画出两种情况下鲨鱼数在鱼类总数中所占比例鲨鱼数在鱼类总数中所占比例 y(t)/x(t)+y(t) 实线为战前的鲨实线为战前的鲨鱼比例，鱼比例，“*”线为

45、线为战争中的鲨鱼比例战争中的鲨鱼比例结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！ VolterraVolterra的模型揭示了双种群之间内在的互相制约关系，的模型揭示了双种群之间内在的互相制约关系，成功解释了成功解释了DAnconaDAncona发现的现象。然而，对捕食系统中存在周发现的现象。然而，对捕食系统中存在周期性现象的结论，大多数生物学家并不完全赞同，因为更多的期性现象的结论，大多数生物学家并不完全赞同，因为更多的捕食系统并没有这种特征。捕食系统并没有这种特征。 一个捕食系统的数学模型未必适用于另一捕食系统，捕食一个捕食系统的数学模型未必适用于另一捕食系统，捕食系统

46、除具有共性外，往往还具有本系统特有的个性，反映在数系统除具有共性外，往往还具有本系统特有的个性，反映在数学模型上也应当有所区别。考察较为一般的双种群系统学模型上也应当有所区别。考察较为一般的双种群系统. .推广：较一般的双种群生态系统讨论推广：较一般的双种群生态系统讨论一般的双种群系统一般的双种群系统仍用仍用x1(t)和和x2(t)记记t时刻的种群量时刻的种群量(也可以是种群密度也可以是种群密度), 设设 Ki为种群为种群i的净相对增长率的净相对增长率, Ki随种群不同而不同，同时也随随种群不同而不同，同时也随系统状态的不同而不同，即系统状态的不同而不同，即Ki应为应为x1、x2的函数。的函数

47、。 Ki究究竟竟是是一一个个怎怎样样的的函函数数,我我们们没没有有更更多多的的信信息息. 不不妨妨再再次次采采用用一一下下工工程程师师们们的的原原则则, 采采用用线线性性化化方方法法(取取常常数数是是Malthus模模型型, 不不实实用用). 这这样样, 得得到到下下面面的微分方程组的微分方程组: 它不仅可以用来描述捕食系统。也可以用来描述相互间存它不仅可以用来描述捕食系统。也可以用来描述相互间存在其他关系的种群系统。在其他关系的种群系统。 式中式中a1、b2为本种群的亲疏系数为本种群的亲疏系数, a2、b1为两种群间的交叉为两种群间的交叉亲疏系数亲疏系数. a2b10时时, 两种群间存在着相

48、互影响两种群间存在着相互影响, 此时又可分为此时又可分为以下几类情况以下几类情况:i) a20, b10, 共栖系统共栖系统;ii) a20( 或或a20, b10), 捕食系统捕食系统;iii) a20, b10.1*m0, 即即使使发发射射空空壳壳火火箭箭(mp=0)，其其末末速速度度也也不不超超过过7公公里里/秒秒。 远远远远小小于于需需要要的的速速度度(10.57公公里里/秒秒), 按按这这种种设设计目前根本不可能用火箭发射人造卫星！计目前根本不可能用火箭发射人造卫星！ 仅仅仅仅靠靠减减少少燃燃料料重重量量来来提提高高速速度度不不能能满满足足需需要要！应应进进一一步步考考虑虑同同时时减

49、减少少ms！即即如如果果将将结结构构质质量量在在燃燃料料燃燃烧烧过过程程中中不不断减少，末速度就有可能能达到要求！断减少，末速度就有可能能达到要求！2 2、理想火箭模型、理想火箭模型 假设：假设： 记结构质量记结构质量mS在在mS + mF中占的比例为中占的比例为，假设火假设火箭理想地好，它能箭理想地好，它能随时抛弃随时抛弃无用的结构，无用的结构，即结构质量即结构质量与燃料质量以与燃料质量以与（与（1-）的比例同时减少的比例同时减少。 建模建模: : 由由 得到：得到：解得：解得： 理想火箭与一级火箭最大的区别在于理想火箭与一级火箭最大的区别在于,当火箭燃料耗尽时当火箭燃料耗尽时,结结构质量也

50、逐渐抛尽构质量也逐渐抛尽,它的最终质量为它的最终质量为mP! 所以最终速度为所以最终速度为: : 哈哈，我还是有可能上哈哈，我还是有可能上天的！天的！只要只要m0足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。 考考虑虑到到空空气气阻阻力力和和重重力力等等因因素素, 估估计计(按按比比例例的的粗粗略略估估计计)发发射射卫卫星星要要使使v=10.5公公里里/秒秒才才行行, 则则可可推推算算出出m0/mp约约为为50, 即即发发射射1吨吨重重的的卫星大约需要卫星大约需要50吨重的理想火箭吨重的理想火箭 !1903年年齐奥尔科夫斯基齐奥尔科夫斯

51、基 3 3、理想过程的实际逼近、理想过程的实际逼近多级多级火箭卫星系统火箭卫星系统 记记火火箭箭级级数数为为n, 当当第第i级级火火箭箭的的燃燃料料烧烧尽尽时时, 第第i+1级级火火箭箭立立即即自自动动点点火火, 并并抛抛弃弃已已经经无无用用的的第第i级级火火箭箭. 用用mi表表示示第第i级级火火箭箭的质量的质量, mP表示有效负载表示有效负载. 为简单起见，先作如下假设：为简单起见，先作如下假设： (i) 设各级火箭具有相同的设各级火箭具有相同的 ,即即i级火箭中级火箭中mi为结构质量为结构质量, (1-)mi为燃料质量。为燃料质量。(ii)设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变设燃烧级初

52、始质量与其负载质量之比保持不变,并记比值为并记比值为k. 考虑二级火箭：考虑二级火箭： 当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：当第一级火箭燃烧完时，其末速度为： 当第二级火箭燃尽时，末速度为：当第二级火箭燃尽时，末速度为： 又由假设（又由假设（ii），），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，代入上式，并仍设并仍设u=3公里公里/秒，且为了计算方便，近似取秒，且为了计算方便，近似取=0.1，则则可得：可得： 要使要使2=10.5公里公里/秒，则应使秒，则应使: 即即k11.2，而而: 类似地，可以推算出三级火箭：类似地，可以推算出三级火箭： 在同样假设下在同样假设下: : 要使要使3=1

53、0.5公里公里/秒，则秒，则(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而而（m1+ m2+ m3+ mP）/ mP77。 三级火箭比二级火箭三级火箭比二级火箭几乎节省了一半几乎节省了一半 是是否否三三级级火火箭箭就就是是最最省省呢呢？最最简简单单的的方方法法就就是是对对四四级级、五五级级等等火火箭进行讨论。箭进行讨论。考虑考虑N N级火箭：级火箭： 记记n级火箭的总质量（包含有效负载级火箭的总质量（包含有效负载mP）为）为m0 ，在在相同的假设下可以计算出相应的相同的假设下可以计算出相应的m0/ mP的的值，见表值，见表3-2n（级数）级数）1 2 3 4 5 （理想）（理想） 火箭质

54、量火箭质量( (吨吨) )/ 149 77 65 60 50表3-2由由于于工工艺艺的的复复杂杂性性及及每每节节火火箭箭都都需需配配备备一一个个推推进进器器，所所以以使使用用四四级级或或四四级级以以上上火火箭箭是是不不合合算算的的，三三级级火火箭箭提提供供了了一一个个最好的方案。最好的方案。当当然然若若燃燃料料的的价价钱钱很很便便宜宜而而推推进进器器的的价价钱钱很很贵贵切切且且制制作作工工艺艺非非常常复杂的话，也可选择二级火箭。复杂的话，也可选择二级火箭。4 4、火箭结构的优化设计、火箭结构的优化设计关于假设关于假设(ii)(ii)的合理性分析的合理性分析 假设假设(ii)(ii)有点强加的味

55、道有点强加的味道, ,现去掉该假设现去掉该假设，在各级火箭具有在各级火箭具有相同相同(假设假设i)i)的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计. . W1=m1+ mn+ mP W2=m2+ mn+ mPWn= mn+ mPWn+1= mP记记前面的分析可求得末速度：前面的分析可求得末速度： 记记则则又又问题化为，在问题化为，在n一定的条件下，求使一定的条件下，求使k1 k2kn最小最小 解条件极值问题：解条件极值问题： 或等价地求解无约束极值问题：或等价地求解无约束极值问题： 利用对称性可以解出最优结构设计应满足：利用对称性可以解出最优结构设计应满足： 火

56、箭结构优化设计讨论中火箭结构优化设计讨论中, 得到与假设（得到与假设（ii）相符的结）相符的结果果, 这说明前面的讨论都是合理的、有效的！这说明前面的讨论都是合理的、有效的！补充补充差分方程差分方程1. 定义定义对一数列对一数列an，把数列中的和前面，把数列中的和前面ai(0in)关联起来的方程叫做关联起来的方程叫做差分方程差分方程, 差分方程也叫差分方程也叫递推关系递推关系.差分初值问题差分初值问题例例: 在一个平面上有在一个平面上有n个圆两两相交，但任三个圆无公共点个圆两两相交，但任三个圆无公共点. 设此设此n个圆将平面分成个圆将平面分成an个区域，试建立关于个区域，试建立关于an的差分方程的差分方程.1234562. 解法解法常系数线性常系数线性差分方程的差分方程的解法解法差分方程的差分方程的特征方程特征方程基于此特征方程，可得到与常系数线性微分方程类似的结论！基于此特征方程，可得到与常系数线性微分方程类似的结论！k阶常系数线性齐次差分方程形如：阶常系数线性齐次差分方程形如：单根、重根、复根、非齐次都类似！单根、重根、复根、非齐次都类似！单根、重根、复根、非齐次都类似！单根、重根、复根、非齐次都类似！练习练习：