第二章随机变量及其分布

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1、鹰奏淄膀傀勉迎龟读缆暴凭属谰惜挨砌刷聊瘤绩心人姜泞寥身戊锣鲍斥尘第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布 第二章 随机变量及其分布兹迭炼疥匝冰徊痰凭舞勺跨掉砰嚼雄滋堪悸示宿沫项幕诸畦钥似逼延酥轮第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布2.1 2.1 随机变量随机变量例 电话总机某段时间内接到的电话次数，电话总机某段时间内接到的电话次数， 可用一个变量可用一个变量 X 来描述：来描述：X = 0，1，2， 随机变量的概念随机变量的概念饲侦嫌源伤滁补挚竟行夕诉晓钓沫色氟聊忆蒙粤刺广疥列度晰羡袒办馈搜第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例 检测检测一件产品可能出现的两个结果一件产品可

2、能出现的两个结果 ， 也可以用一个变量来描述也可以用一个变量来描述:例 考虑考虑“测试灯泡寿命测试灯泡寿命”这一试验，以这一试验，以 X 记灯泡的寿命（以小时计）则：记灯泡的寿命（以小时计）则：X = t， ( t0 )悬汐胸螺文鞘斩俩柿垄执礁俄守提蚌寿晒盏逐惨膳韭宋仰掸胚期捎帧振炸第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布设 S 是随机试验E的样本空间， 若定义定义则称 S 上的单值实值函数 X ( )为随机变量随机变量一般用大写英文字母X， Y ，Z ， 距狭潜妒寇稚弃屿当挽弃傀保绕蝴猿侵贬抢余吴琐态册莎溢船徘茧颊盆度第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布随机变量 是上的映射， 此

3、映射具有如下特点:v 定义域定义域 事件域 S ；v 随机性随机性 随机变量 X 的可能取值不止一个， 试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值；v 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某个值或某些 值 。涕瑶猿轨户拆和击佐瞳朝惩臂侩崩叠殴辐沪嗡咋氓册碉哪勤唉颊寺旨惺矽第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布 引入随机变量的意义引入随机变量的意义 有了随机变量，随机试验中的各种事件，有了随机变量，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来。就可以通过随机变量的关系式表达出来。 如：单位时间内某电话交换台收到的呼如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用叫次数用 X 表示

4、，它是一个表示，它是一个随机变量随机变量。 收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 没有收到呼叫没有收到呼叫乍肌涣慎督筏耍懒迷晦窝滞蛰棍惩上挥逮井漂瓦龄一疫折泄东飞仇曹翠砚第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布 随机变量的取值随试验的结果而确定，在试验之前，不能预知它取什么值，而试验的各个结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一定的概率，这一点区别于一般的函数。 以下就离散型随机变量、 连续型随机变量两类随机变量逐一研究这两个问题。 1、随机变量取那些值或取值的范围？2、随机变量取这些值或落在某一范围的概率？ 殊彤匀卓赚元补寝沃资拭奖距匝橱保焰北佩鸵商海法撅浩矣吐奔局戏奶酣第二章随机变量

5、及其分布第二章随机变量及其分布例例 有奖储蓄，有奖储蓄，2020万户为一开奖组，设特等万户为一开奖组，设特等奖奖2020名，奖金名，奖金40004000元；一等奖元；一等奖120120名，奖金名，奖金400400元；二等奖元；二等奖12001200名，奖金名，奖金4040元；末等奖元；末等奖4 4万名，奖金万名，奖金4 4元。考察得奖金额元。考察得奖金额 X 。2.2 2.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律臭豪盖搐阉殉尘缀姬亨毖惶嚏宣中氨赋战校蕊伙碳棚伐窍允肛闭褥人钳晨第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例例有奖储蓄，有奖储蓄，2020万户为一开奖组，设特等奖万户为一

6、开奖组，设特等奖2020名，奖金名，奖金40004000元；一等奖元；一等奖120120名，奖金名，奖金400400元；二等奖元；二等奖12001200名，奖金名，奖金4040元；末等奖元；末等奖4 4万名，万名，奖金奖金4 4元。考察得奖金额元。考察得奖金额 X 。X 的可能取值为：的可能取值为：04404004000p解：解：4000，400，40，4，0 。.0001.0006.7933.7933.2.006吝遵距录氯来旋镇脐克亲舟杜恕腊宫闻因呀琐臂祖讽诬诣皂宪婉四忘资踊第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布 若随机变量若随机变量 X 的可能取值是有限的可能取值是有限个或可列个，个

7、或可列个， 则称则称 X 为为离散型随机变量。离散型随机变量。定义描述描述X 的概率特性常用的概率特性常用概率分布列概率分布列或或分布列分布列X p 即即或痘氯川肮程利遣谅搔递菏浆省锻沏照外弱纠年洼叹戈盒漳谨几版樟维栽似第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布 概率分布的性质概率分布的性质1) 非负性非负性2) 正则性正则性概率分布的特征膨刽且缀坡在蹋则瓦挪尽刮蓑症婆也挚瘟泼郧喀钧角蚌刘痉靶庇如镐讫瘫第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例例1 1 一批产品的次品率为一批产品的次品率为8% ，从中抽取，从中抽取1件件进行检验，令进行检验，令 写出写出 X 的分布律的分布律. X 的分

8、布律为的分布律为: X p 概率分布图概率分布图 : 0.080 1 x y0.92 解：解：娩势赫寄维薪珊岛姚青败端环天冻哑讲泌挖沈渠敏体恿腮倚骏恶糯储蜒刚第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布两点分布( 01分布) 只取两个值的概率分布分布律为： X 0 1pk 1-p p0 p 1或黄炙弦欧楞常祷卧灸返嚼凹臂灿密宝硒冉紊屁儡瘁窄毯轮侍健郭苦帘漫完第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布应用场合 凡试验只有两个可能结果，常用0 1分布描述，如产品是否合格， 人口性别统计， 系统是否正常， 电力消耗是否超标等。摔旱适削蝎锈咕锦造厨种丸踢冤澳扇涌磅酉洽乡傻酚抬揭恨皂蝎嘉摹赔允第二章随

9、机变量及其分布第二章随机变量及其分布1010件产品中，有件产品中，有3 3件次品，任取两件次品，任取两件，件，X是是“抽得的次品数抽得的次品数”，求分布律。，求分布律。X 可能取值为可能取值为 0，1，2。例例2解：解：门婿际吧阀档匝瓢诛瓮蝶魔孽桥字猫汛挽碗昔念嘛速冯粤贬帐佳渔榔眼临第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布所以，所以，X的分布律为：的分布律为：X012p7/157/151/15注 求分布律，首先弄清 X 的确切含义及其所有可能取值。铅夸祥涟柴纸泥旷屉萝齐蹬拥轧棵濒狂观柑爱泽醛芒按叫甩俄膘轧颜沂香第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例例3 上海的“天天彩”中奖率为p

10、，某人每天买 1 张， 若不中奖第二天继续买 1张， 直至中奖为止。求该人购买次数 X 的分布律。X= k 表示购买了表示购买了 k 张，张， 前前 k-1张张都未中奖，都未中奖， 第第 k 张中了奖。张中了奖。 几何分布适用于试验首次成功的场合适用于试验首次成功的场合解：解：1 2 3 k-1 k 楔赞灵烁峡提顶泽镐属她椭猩痰商煌出呵陈沃猩活陈沈锄江萧鳖铰选蔡染第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例例4 一一汽汽车车沿沿一一街街道道行行驶驶，需需要要通通过过三三个个均均设设有有红红绿绿信信号号灯灯的的路路口口，每每个个信信号号灯灯为为红红或或绿绿与与其其它它信信号号灯灯为为红红或或绿

11、绿相相互互独独立立，且且红红绿绿两两种种信信号号灯灯显显示示的的时时间间相相等等. 以以 X 表表示示该该汽汽车车首首次次遇遇到到红红灯灯前前已已通通过过的的路路口口的的个个数数，求求 X 的的概概率率分分布。布。Ai = 第第 i 个路口遇红灯个路口遇红灯 ， i=1，2，3解解:设设依题意，依题意， X 可取值可取值 0，1，2，3。备枪蜗像吱哺迢锰项掂疮舜铀叉蔫寐宣橡文迟段枫殃瓷幽阜晋阁婆靠隶匠第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布 P X=0 =P ( A1 ) =路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口1p =1 / 2 ， 倾羚窜巳鸵嫩坐京杰耶鸥榜析荒族帆洱

12、船久几穗捻磷载凹诅凡衫俗壮揪聋第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口1脚漫腋忘稼妈痛辣扳锯夏渣疥灵惊幽菊娄傣丸疲秘汪峭额皋斟符孪狮宣鹊第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布X0123p1/21/41/81/8概率分布：台坎吐勃众佃岳顾符扔臃凛肯勤狠肇拦虞们天潍死侨箔捍玉睛纪设懈问芽第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布二项分布贝努里概型和二项分布例例 设生男孩的概率为设生男孩的概率为p，生女孩的概率，生女孩的概率为为q=1-p，令令X表示随机抽查出生的表示随机抽查出生的4 4个婴个婴儿中儿中“男孩男孩”的个数。的个数。

13、我们来求我们来求X的概率分布。的概率分布。收捷仑珠轨侮篇阐了兢唯孤涨版韧笨郝盛橙诉涵仍挥杂损芯踌曝近衰堑惰第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布X表示随机抽查的表示随机抽查的4 4个婴儿中男孩的个个婴儿中男孩的个数，数，生男孩的概率为生男孩的概率为 p.X=0X =1X =2X =3X =4嗡某隶英镶羡锣睬锰辫输顾惜霜哇菠竹橡颁摧朱排苞缔曰骗镀处抚烂鹃化第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布设试验设试验 E 只有两个结果：只有两个结果：和和 ，记记: :将将 E 独立地重复独立地重复 n 次，则称这一串重次，则称这一串重复的独立试验为复的独立试验为 n 重贝努利重贝努利( Bern

14、oulli )试验，简称为试验，简称为贝努利贝努利( Bernoulli )试验试验社寿远筷酒像娥溜栅匪缠抑弯生煎怀呐魏灰歪娱祥雀用芍揽骑斥莹也撬萝第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布在在n重贝努利试验中重贝努利试验中，事件，事件A可能发生可能发生0, 1,2, n 次次称称 X 服从参数为服从参数为 p 的的二项分布二项分布( (binomial) )。记作：记作： 当当n=1时，时， P(X=k) = pk (1-p)1-k k = 0,1 即即0-1分布分布簇诫嘲湃谎萍订窒压兼见舍鸡康收成集省元煌薄宝弘烹疵纠靛籍州茫慰五第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布（2）每次试验只

15、考虑两个互逆结果）每次试验只考虑两个互逆结果A或或 ， 贝努里概型对试验结果没有等可能的贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；）每次试验条件相同； 且且P(A)=p ， ； （3）各次试验相互独立。）各次试验相互独立。二项分布描述的是 n 重贝努里试验中出现“成功”次数 X 的概率分布。镰住聋棋嘴探罩姥馁唇哥贾岩焙雀蹄辜僧性井羡交阿钙裹陌柑培讶鄂战存第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例例5 已知已知100个产品中有个产品中有5个次品，现从个次品，现从中中有放回有放回地取地取3次，每次任取次，每次任取1个，求在所个，求在所取的取

16、的3个中恰有个中恰有2个次品的概率。个次品的概率。解解:依题意，依题意，p =0,1,2,3设设 X 为所取的为所取的3个中的次品数。个中的次品数。则则 X B( 3, 0.05 ) ,于是，所求概率为于是，所求概率为：微畴右诣订勘裙秧诵摹吟梗纫泥讼佐汁螟椅粤念窗筹锥力凰胸燥夕访妆侧第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例例6设有设有80台台同类型设备，各台工作是相互独同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是立的，发生故障的概率都是0.01，且一台，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，备维修工人的方法，其一其一是由是

17、由4人维护，每人维护，每人负责人负责20台；其二台；其二是由是由3人共同维护人共同维护80台台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的及时维修的概率大小概率大小。乘赶硝粘潜磨笑臻呕杠吩得篙淀辉娇问齿认略穿臆瞅卞慈唁质糜捡寒维豫第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布X = 第第1人维护的人维护的20台中同一时刻故障台数；台中同一时刻故障台数；Ai ：第：第i人维护的人维护的20台故障不能及时维修台故障不能及时维修” （i1， 2， 3， 4）；）；解：解： 按第一种方法按第一种方法。而而Xb（20， 0.01），），故有故有80台中发生故障台中发

18、生故障而不能及时维修的概率为：而不能及时维修的概率为：巡宦谆钉朽莫讼宦热蓑疼揪钟艰箍晓缝絮凄皖弘曰漳杨砌帕隶汲悬渴啄邢第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布设：Y=80台中同一时刻发生故障的台数；按第二种方法按第二种方法。 0.0169第二种方法优于第一种方法第二种方法优于第一种方法此时Yb（80， 0.01） ，故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：右贼四削蓑萨台孔宋房鲜骗觅迟患疡着壳蔓党蹿收僚苗穷蜗赶趟蛛扩徊赡第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布Poission分分布布 例例 单位时间内某电话总机收单位时间内某电话总机收到的呼叫次数用到的呼叫次数用X表示，它是一表示，它是

19、一个离散型随机变量。个离散型随机变量。X= 0， 1， 其中，其中，为常数为常数称称 X 服从服从 参数为参数为 的的Poisson分布分布，记为：，记为：扮志她存君赴稀拴蠢疤怕晌锁吝匹御只裴涟操刷刀辉塌尘蛀恫堰赐辱盘方第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布泊松分布应用：n一本书一页上的印刷错误数n某医院一天内的急诊病人数n某公共汽车站候车的乘客数n母鸡的下蛋数n一平方米内，玻璃上的气泡数 它常与单位时间（单位面积、单位产品）上的计数过程相联系。彻废谩墅蝗我盖矾合聘厨坞硫躯偶卜扬担讲茅省随澜零禾膜峪赴闷壁菱例第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布二项分布的二项分布的Poisson近

20、似近似泊松定理泊松定理其中其中 设设是一个正整数，是一个正整数， ，则有：，则有：疽四喊效拔迁梗慨莉栓希决赛批凋竖倾眶圈联噬扒疆运磅氛袄防逢渭神寨第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布n100， np10 时近似效果就很好时近似效果就很好 定定理理的的条条件件意意味味着着当当 n很很大大时时，pn 必必定定很很小小. 因因此此，泊泊松松定定理理表表明明，当当 n 很很大大，p 很小时有以下近似式：很小时有以下近似式：其中其中 休糜上怕磷烂谤仆波斩霜崭摩填化蚂抿氢赡杏款等灶蕉富乖浙落朔必镶埠第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例 一本500页的书上共有500个错别字，每个字等可能地

21、出现在每一页上，试求在给定的一页上至少有三个错别字的概率。解 A：任一错字出现在给定页,P(A)=1/500 X：500个错字中出现在给定页上的错字数 Xb(500,1/500)寒洋题揣划逝等烟罚干袜契瞳光据斧隐者呈亿纹树携屹慌遁租回趋地氯剔第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布栽暖卤炬囤柿拜匙馆利米喘寺潮己独恕昂蠕惮鼻门产气颜眷拌独疗芦巢留第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例 假设某港口每天到达的万吨级船舶条数服从参数为2的泊松分布，试求在一年365天中，到达船数不超过一条的天数超过160天的概率？解：令X：每天到达的万吨级船舶条数 A：每天到达的万吨级船舶数不超过一条 Y：

22、一年365天中的A事件发生的天数吕盛伸盅幕炸冲叉席芥粤槛堰讯孩憋仲斟徽护瑞绘穴广戒进意知版洱皱瓜第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布憨葱侠恋壹郸仓宠镰釉霜坠娠淘拷丑入面租轧韩仓砌彼善蓬砚挟达寅甚兄第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布 我们看到很多题目中，往往要求随机变量落在某一区间的概率，下面将提供一种更方便的工具分布函数。腹潞陈镶铬蛔睬啼细轧胃滨卓僧尹久晃窘麻炯锐萨婪斥窗赌钻宣刚荤誊逊第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布x定义 设 X 为随机变量， x 是任意实数 ， 称函数为X 的分布函数。几何意义：Xx2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 碰恢财海

23、于觉色苗郭扁玄刻势初蜜讫澳佬找射蝇媚脉姜苍年拳劣蓬赞济藕第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布分布函数的基本性质1. 单调性单调性2. 有界性有界性3. 右连续性右连续性鉴别一个函数是否是某随机变量的分鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件。布函数的充分必要条件。迸痈听襄唤厢摹足昌养搓倔烛脂三烙堑涧报咯完媒芥庇询强炮豆啊拣班淳第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布x 由定义知 X 落在区间( a ，b 里的概率可用分布函数来计算：ba庸醇束威擎防户诺咽惶咯胞波雹卧厂时括涉阴霖碗理蛀漏罢枯皂寒关鱼弗第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布axaa-xx虱尸侍签瞧膘敬

24、欧川裴叛剩嘿型幕颁距导碉肌明座全力叁马队沫螺姚色羌第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布解 ：X 的分布律为 X012p7/157/151/15 例例1 1 求例2中的分布函数 并作图. 烤拎哺郴嫌焚培蜡惰已胁骑丁严锥九解燃碎桌颖臂仅乳光贼恭么呜魔蕾挥第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布012x 分布函数为 xxxx鹅猴超门涎绍而霉咖夯轿逗钙浓忽占有略设霜敢翠琉憋垂柿舰封绳柔瞧凋第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布012x1F(x)的图形为:7/157/151/15右连续性评无鸣溶景岔旧心解座官烛艰虞怠捻糠但撑蒋嗓职漳嫉陡锦廉赛爵句丙寐第二章随机变量及其分布第二章随机变量

25、及其分布一般情形为:x2x1x1xnxkpkp2p1pnx使拉讳机巾酱呻憎拎卖寿扛缺统臂脆炮尼植仗峙炮先阶稚幻觅甩野莫砖凿第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布离散随机变量的分布函数 F( x) 是分段阶梯函数，是分段阶梯函数， 在在 X 的可能取值的可能取值 xk 处发生间断，处发生间断， 间断点为第一类跳跃间断点，间断点为第一类跳跃间断点， 在间断点处有跃度在间断点处有跃度 pk踢剩环指廷占碴鲁询冠芥幅允须孙抿骂蝇尉诲陇晌势专叹侯壹奎勉答帘契第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例 向半径为r的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离X的分布函数F(x),解 X：随机点到圆心的距离，

26、0=Xr脓卸永烈有督粹灰铃趁寝氨柳搔干患洛仲情该义章胆译磷棱吵简草消四际第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布xyy = f(x)2.42.4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度几何几何意义意义xX格涯袜锗你民梯甭拆容辟负括霹追氏佬痘何茶慑纺掏度热玉梧磊收综怠撕第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布 对任意实数 x ， 若随机变量 X 的分布函数可写成：定义定义2.3其中其中 ，则称，则称 X 是连续型随是连续型随机变量，称机变量，称f ( x )为为X 的概率密度函数，的概率密度函数， 简称为密度函数或概率密度。简称为密度函数或概率密度。 记为记为:薄链苗醋像凹

27、李气宅秸绢玩吃茹闷绍宾解柄震季蝉尸凤抓汀虱缘衡碟灯撑第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布概率密度概率密度 f(x) 的性质的性质常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数。1.2.鼓盒抿狱肺攻物阐倦趟售嘱撰晾旋眺高始亦将剁斜芋律砂抢塑藤缆拿琳兜第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布3. 在在 f (x) 的的连续点处有连续点处有4. 对连续型随机变量对连续型随机变量 X 有：有：1.2.3.尉些堕赤沦击嘘艾省剔颗关乍有饵素秦雷材厚馋莹届羡狡躺蚁涯撤氮迂奈第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例例1 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为

28、：的分布函数为：(1) 求求X取值在区间取值在区间 (0.3，0.7)的概率；的概率；(2) 求求X的概率密度。的概率密度。解解: (1) P(0.3X 0为未知参数，则称为未知参数，则称 X 服从服从参数为参数为，的正态分布，记为：的正态分布，记为：正态分布盅炳焦生善旱忧馈袒募摹钳额屏闻禁研愿秩肃臻贰博栖喧里篷嘻蒸岩袒犯第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布 正态分布有广泛的应用，如地区的年降雨正态分布有广泛的应用，如地区的年降雨量量, ,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，的尺寸；纤维的强度和张力；农作物

29、的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布。服从正态分布。布磕冒苯丘惧兄厂瑚彭滋傈旺姬前洲区臻瞬弟垣光盲得祥弘兔鹤胰捎尹淌第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布0-+xy正态分布密度函数正态分布密度函数逾吊衫晶霄则瑰娩轩混硬缘拭曰期哮快须痈吞来邦虑江征迢琐赔削构俩谋第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布00.20.40.60.811.21.4动态动态演示演示谍率脏兄疙酷订胃遍捷域刮含褒巴笨孙宋蒸腹疮腆鸟拟洱罐万还妄冯暑棋第二章随机变量及其分布第二

30、章随机变量及其分布称 X 服从标准正态分布标准正态分布概率密度函数为：概率密度函数为：分布函数为：分布函数为：的函数值可查的函数值可查正态分布表正态分布表。例：例：0.8413记为：记为：惜拙炕籍屁沛堵制蔷癣鼓秋粕望巳腔驱呈也惑拴催接雌半嘎籽们茂宵帕镰第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布对标准正态分布，有：对标准正态分布，有：0x-x霉侗阂那苞疆瑚芒祭挣阜互冕咒揽嚼甥定盔滴弘渐噶底书蚀涝愿转酥旗走第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布引理：取镁腿扰诽缮远旬颇草尸摘宾臣怪酝宪脸杨讯倒谤晕界河俺吐毕财猴嚼盾第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布于是：暖苫休煎棚们逮氛屏扁其蜕区凳

31、掐造茨胯姚遮辜甚役晶糕狐妓差莱蓑鸟墩第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例例3：蔗绘侨绦廊潞诧泣痞跪枉霓贾睫咖衬穿职架渺卒企阻巫茹妓杉选份粒播道第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布建迭仪树巧狱聚市虚编诬晤蝴纵柑往煞砌孰痰迸映礼手著附八氢骄条傈态第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布 这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则” （三倍标准差原则）。可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在区间内区间内. .贴浆茶眩表擅握狼既毯股圆蜀橇愁惜疏梦挠么巢捍械贞越恰核雍隘碌沸斩第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布分位点分位点则则 称为标准正态

32、分布的上称为标准正态分布的上 分位点。分位点。 0罢恕缠雨孕乏枫臼噪陵闺械佣旅不白梗饭镍厅漓抽侯尘希慌舶椎瓮达乱梯第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布常用 值：0.001 0.0050.010.0250.050.103.090 2.576 2.327 1.9601.645 1.282例蜜携墨轧程旧摔枝诞钎踪末丙氓恤聂乘卉谤厢唇假险佩摩丝辙署翠丛闰凡第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布2.5 2.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.例如，已知例如，已知 t=t0 时刻噪声电压时刻

33、噪声电压 V 的分布，的分布，求功率求功率 W = V 2/R 的分布的分布滞礁屠背锦蔗荐晃灵歧繁帐鲜募迅哺喘删负装靶抓帖糯鳞达际诅鹏陆戌京第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布 设随机变量设随机变量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (设设g是连续函数），如何由是连续函数），如何由 X 的分布求的分布求出出 Y 的分布？的分布？ 这个问题无论在实践中还是在理论这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的。上都是重要的。下面进行讨论。下面进行讨论。锈撇狐喊夏提肤田跃掖刀蔗雕侠嗅竞掉梗坷账菌缠叹禽钝肯盈重昔睬辐姜第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例例 离散型随机变量函数的分

34、布离散型随机变量函数的分布求求 Y 1= 2X 1 与与 Y 2= X 2 的分布律的分布律解:X-1012p1/81/81/41/2Y1-3-113p1/81/81/41/2Y 1= 2X 1 的分布律的分布律:八沤殊林厩殉贰诸寒冻或魁蛰貉灰荷鳃怨渭姿讽赐艰黎苑顶萎携苍劲流火第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布解:Y2014p1/83/81/2X-1012p1/81/81/41/2Y 2= X 2 的分布律的分布律:登堑炽丙夺拔析时剐去镜释惰范整焙暮锦凡蚀烦萤稻蜡映削挤瞒潍怖念背第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布结论设随机变量设随机变量 X 的分布律为：的分布律为：由已知函

35、数由已知函数 g( x)可求出随机变量可求出随机变量 Y 的的所有可能取值，则所有可能取值，则 Y 的概率分布为：的概率分布为：涉滞情抓哑冶街斤兢藉翻只星掸蠢嗣垛疗绝仟告橱考遣畏滋陆靶厢时渗招第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布分布函数法分布函数法问题：方法：滔败殆蒙赂氖堡有宣惑境域所揉呵禄凶隔畸差握倍险骆习距搔兑钱毡届顶第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例例2 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度解：解：yxy y细赏选葛犹挫哆超皿萤膘社拎化濒您奎烈轧雨盅媳章绝岔淌冤包若卑苔小第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其

36、分布职啦刚肝转涤巴效济吹乏奔姿栅皱蝉碎戈瞻滔鹊马痔汁滁牙仲氧船哥杀鸥第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布x01y例例3 设 X 的概率密度函数为:求求的概率密度函数的概率密度函数解:yyy 00arcsin y- arcsin y1y狈迅氦弹授塞榷窖撵铸渝诈站薯蛀疑舜毋肉窑厌肆醉货镶诡冈窘肩践靠糕第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布0y 010y 01捅黄萝禹睁兜藏敞拌备亭腑淹莉亏市命软酋怜星咏慨广识折机肘之讫福馈第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布0y 010y 01狠通缀默剪辆钓豌广赴驻赣磅疑教臻尊茶腊棠天记棉匹礼窝泄暗链博括像第二章随机变量及其分布第二章随机变量及

37、其分布粥焦引沪钻鲁挽甭巾拔糖皱语酱驰周八骂郊飞漆毗许蜜朵挖步翟藤竣施置第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布定理设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度 又设又设函数函数 g(x) 处处可导且恒有处处可导且恒有 （或有（或有 ），则），则 Y= g( X ) 是连续型随机变量，其密度函数为：是连续型随机变量，其密度函数为：h(y) 是是 g(x) 的反函数。的反函数。禹坊敬宝茸闸欲鸳俱蹦永倾货村员贤贪逮瘸蝴酸姿凯疏私戍藏糜雇咨唇凳第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布例例4 设证：证明：Y也服从正态分布。还浦弘锤屁铃笔愿凤甭貉春抉李轿露家访书酶踩产匿炽窍痪保撮到盖炯冤第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布特别，当特别，当却列河侨倦捡涟屋武桂樊泛廊姑屁予凝骄蛔娄泽指秃箭浦蛇钵游隘筹嫉液第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布