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1、1、晶体结构与空间点阵、晶体结构与空间点阵2、晶向、晶面及指标、晶向、晶面及指标3、晶面间距、晶面间距4、晶面族、晶面族5、倒易点阵、倒易点阵第二章第二章 晶体学基础晶体学基础燕山大学材料科学与工程学院 材料现代分析测试方法课程教学团队 王利民教授/博导 教学目标教学目标 学习要点学习要点 通通过过本本章章学学习习，掌掌握握表表达达晶晶体体周周期期性性结结构构与与它它的的点点阵阵的的各各种种概概念念；掌掌握握晶晶面面指指数数与与晶晶向向指指数数的的标标定定，晶晶面面间间距距与晶面夹角的表达；倒易点阵。与晶面夹角的表达；倒易点阵。 晶体结构周期性与点阵。晶体结构周期性与点阵。 7 7个晶系和个晶
2、系和1414种种BraviasBravias空间格子。空间格子。 晶胞，晶带，晶向，晶面，晶面间距，晶面夹角。晶胞，晶带，晶向，晶面，晶面间距，晶面夹角。 (4) (4) 倒易点阵倒易点阵 学时安排学时安排 学时学时- 2- 2学时学时 2.1.1 空间点阵（空间点阵（Space Lattice） 晶体结构的几何特征是其晶体结构的几何特征是其结构基元结构基元（原（原子、离子、分子或其它原子集团）一定周期子、离子、分子或其它原子集团）一定周期性的排列。通常将结构基元看成一个相应的性的排列。通常将结构基元看成一个相应的几何点，而不考虑实际物质内容。几何点，而不考虑实际物质内容。 这样就可以将晶体结
3、构抽象成一组无限这样就可以将晶体结构抽象成一组无限多个作周期性排列的几何点。这种从晶体结多个作周期性排列的几何点。这种从晶体结构抽象出来的，描述结构基元空间分布周期构抽象出来的，描述结构基元空间分布周期性的几何点，称为晶体的性的几何点，称为晶体的空间点阵空间点阵。几何点。几何点为为阵点阵点。2.1、晶体结构与空间点阵、晶体结构与空间点阵 点阵点点阵点是代表结构基元在空间重复排列方式的抽是代表结构基元在空间重复排列方式的抽象的点。如果在晶体点阵中各点阵点位置上，按同一象的点。如果在晶体点阵中各点阵点位置上，按同一种方式安置结构基元，就得整个晶体的结构。种方式安置结构基元，就得整个晶体的结构。 所
4、以可简单地将晶体结构示意表示为：所以可简单地将晶体结构示意表示为：晶体结构晶体结构 = = 点阵点阵 + + 结构基元结构基元结构基元结构基元 在晶体的点阵结构中每个阵点所代表的具体内容，在晶体的点阵结构中每个阵点所代表的具体内容，包括原子或分子的种类和数量及其在空间按一定方式包括原子或分子的种类和数量及其在空间按一定方式排列的结构，称为排列的结构，称为晶体的结构基元晶体的结构基元。结构基元是指重。结构基元是指重复周期中的具体内容。复周期中的具体内容。 点阵点点阵点2.1.2 基本矢量与晶胞基本矢量与晶胞一个结点在空间三一个结点在空间三个方向上，以个方向上，以a, b, c重重复出现即可建立空
5、间点复出现即可建立空间点阵。重复周期的矢量阵。重复周期的矢量a, b, c称为点阵的称为点阵的基本矢基本矢量量。 由基本矢量构成的由基本矢量构成的平行六面体称为点阵的平行六面体称为点阵的单位晶胞单位晶胞。 同一个点阵可以由不同的平行六面体晶胞同一个点阵可以由不同的平行六面体晶胞叠成。即可以任意选择不同的叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢坐标系与基本矢量量来表示。来表示。 为了表达最简单，应该选择最理想、最适为了表达最简单，应该选择最理想、最适当的基本矢量作为坐标系统。即是以结点作为当的基本矢量作为坐标系统。即是以结点作为坐标原点，（坐标原点，（1）选取基本矢量长度相等的数目）选取基本矢量
6、长度相等的数目最多、（最多、（2）其夹角为直角的数目最多，且）其夹角为直角的数目最多，且（3）晶胞体积最小。这样的基本矢量构成的晶）晶胞体积最小。这样的基本矢量构成的晶胞称为胞称为布拉菲（布拉菲（BRAVAIS）晶胞）晶胞。布拉菲晶胞布拉菲晶胞每一个点阵只有一个最理想的晶胞即布拉菲晶胞。每一个点阵只有一个最理想的晶胞即布拉菲晶胞。2.1.3 布拉菲点阵布拉菲点阵法国晶体学家法国晶体学家A. Bravais研究表明，按照研究表明，按照上述三原则选取的晶胞只有上述三原则选取的晶胞只有14种，称为种，称为14种布拉菲点阵。种布拉菲点阵。14种布拉菲点阵分属种布拉菲点阵分属7个晶系中。个晶系中。14种
7、种空空间间点点阵阵形形式式u按晶胞中阵点位置的不同可将按晶胞中阵点位置的不同可将1414种布拉菲种布拉菲点阵分为四类：点阵分为四类：简单简单(P)(P)体心体心(I)(I)面心面心(F)(F)底心底心(C)(C)阵点坐标阵点坐标的表示方法：的表示方法：以晶胞的任意顶点为坐标原点，以与原点相交的以晶胞的任意顶点为坐标原点，以与原点相交的三个棱边为坐标轴，分别用点阵周期（三个棱边为坐标轴，分别用点阵周期（a, b, c）为度量单位。为度量单位。晶胞中的原子计数晶胞中的原子计数 在晶胞不同位置的原子由不同数在晶胞不同位置的原子由不同数目的晶胞分享：目的晶胞分享： 顶角原子：顶角原子： 1/8棱上原子
8、：棱上原子：1/4面上原子：面上原子：1/2晶胞内部：晶胞内部： 1简单点阵简单点阵 （P）只在晶只在晶胞的顶胞的顶点上有阵点，点上有阵点，每个晶胞只有每个晶胞只有一个阵点，阵一个阵点，阵点点坐标为坐标为000000体心点阵，体心点阵，I除除8个顶点外，体个顶点外，体心上还有一个阵点，心上还有一个阵点，因此，每个阵胞含因此，每个阵胞含有两个阵点，有两个阵点，000，1/2 1/2 1/2面心点阵。面心点阵。F除除8个顶点外，每个面心个顶点外，每个面心上有一个阵点，每个阵上有一个阵点，每个阵胞上有胞上有4个阵点，其坐标个阵点，其坐标分别为分别为000，1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2，
9、0 1/2 1/2底心点阵，底心点阵，C除八个顶点上有阵点外，除八个顶点上有阵点外，两个相对的面心上有阵两个相对的面心上有阵点，面心上的阵点为两点，面心上的阵点为两个相邻的平行六面体所个相邻的平行六面体所共有。因此，每个阵胞共有。因此，每个阵胞占有两个阵点。阵点坐占有两个阵点。阵点坐标为标为000，1/2 1/2 02.1.4 2.1.4 点阵常数点阵常数平行六面体的三个棱长平行六面体的三个棱长a a、b b、c c和及其夹和及其夹角角、，可决定平行六面体尺寸和，可决定平行六面体尺寸和形状，这六个量亦称为形状，这六个量亦称为点阵常数点阵常数。按点阵参数可将晶体点阵分为七个晶系。按点阵参数可将晶
10、体点阵分为七个晶系。晶系晶系边长边长夹角夹角晶体实例晶体实例立方立方a=b=c=90Cu , NaCl四方四方a=bc=90Sn , SnO2正交正交abc=90I2 , HgCl2三方三方a=b=c=90Bi , Al2O3a=bc=90=120六方六方a=bc=90=120Mg , AgI单斜单斜abc=90=120S , KClO3三斜三斜abc90CuSO45H2O七个晶系及有关特征七个晶系及有关特征晶系晶系特征对称元素特征对称元素晶胞特点晶胞特点空间点阵型式空间点阵型式立方晶系4个按立方体对角线取向的3重旋转轴a=b=ca=b=c=90=90简单立方 立方体心 立方面心 六方晶系6重
11、对称轴a=bca=bc=90,=1=90,=12020简单六方 四方晶系4重对称轴a=bca=bc=90=90简单四方 体心四方 三方晶系3重对称轴a=b=ca=b=c=90=90简单六方 R心六方 正交晶系2个互相垂直的对称面或3个互相垂直的2重对称轴abcabc=90=90简单正交 C心正交 体心正交 面心正交 单斜晶系2重对称轴或对称面abcabc=90=90 简单单斜 C心单斜 三斜晶系无abcabcabc90abc90 简单单斜 七个晶系及有关特征七个晶系及有关特征2.22.2、晶向、晶面及晶向、晶面指标、晶向、晶面及晶向、晶面指标2.2.1 晶向与晶向指标晶向与晶向指标 任意两结点
12、的结点列称为晶向。与此晶向相对应，一定有任意两结点的结点列称为晶向。与此晶向相对应，一定有一组相互平行而且具有同一重复周期的结点列。一组相互平行而且具有同一重复周期的结点列。 晶体学中阵点平面与阵点直线的空间取向分别用晶面指数与晶向指数来表示。晶体学中阵点平面与阵点直线的空间取向分别用晶面指数与晶向指数来表示。或者：（或者：（1）在一族相互平行的阵点直线中）在一族相互平行的阵点直线中引出过坐标原点的阵点直线。引出过坐标原点的阵点直线。（2）在该直线上任取一点，量出坐标，并）在该直线上任取一点，量出坐标，并用点阵周期用点阵周期a, b, c表示。表示。（3）将三个坐标值用同一个数乘或除，划）将三
13、个坐标值用同一个数乘或除，划归互质整数，并加方括号。归互质整数，并加方括号。晶向的表示方法晶向的表示方法：取其中通过原点的一根结点列，求该列最近原点的结点的取其中通过原点的一根结点列，求该列最近原点的结点的指数，指数，u, v, w, 并用方括号标记并用方括号标记uvw。 晶向指数的确定晶向指数的确定1.1.建立坐标系，结点为原点，三建立坐标系，结点为原点，三棱为方向，点阵常数为单位棱为方向，点阵常数为单位 ；2.2.在晶向上任两点的坐标在晶向上任两点的坐标(x1,y1,z1) (x2,y2,z2)(x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。( (若若平移晶向或坐标，让在第一点平移晶向或坐标，
14、让在第一点在原点则下一步更简单在原点则下一步更简单) )； 3.3.计算计算x2-x1 x2-x1 ： y2-y1 y2-y1 ： z2-z2-z1z1 ；4.4.化成最小、整数比化成最小、整数比u u：v v：w w ；5.5.放在方括号放在方括号 uvwuvw 中，不加逗中，不加逗号，负号记在上方号，负号记在上方 。红线由两个结点的坐标之差确定红线由两个结点的坐标之差确定 在点阵中由结点构成的平面称为在点阵中由结点构成的平面称为晶面晶面。 空间点阵划分为平面点阵的方式是多种多空间点阵划分为平面点阵的方式是多种多样的样的. 不同的划法划出的晶面不同的划法划出的晶面(点阵面点阵面)的的阵点密阵
15、点密度度是不相同的是不相同的. 意味着不同面上的作用力不相意味着不同面上的作用力不相同同. 所以给不同面以相应的指标所以给不同面以相应的指标(hkl)。2.2.2 2.2.2 晶面及晶面指标晶面及晶面指标国际上通用的是密勒（国际上通用的是密勒（Miller）指数，即用）指数，即用三个数字来表示晶面指数。三个数字来表示晶面指数。标定方法标定方法：(1)在一组相互平行的晶面中任选一个晶面，量出它在三个坐标轴上的截距，并用点阵周期a，b，c来度量。假设截距为r，s，t。(2)取截距的倒数1/r，1/s，1/t。(3)将这些倒数乘以分母的最小公倍数，把他们化为三个简单整数h，k，l，并用圆括号括起来。
16、使hkl=1/r1/s1/t。则(h k l)就是待标晶面的晶面指数。我们说（我们说（553553）晶面，实际是指）晶面，实际是指一组平行的晶面一组平行的晶面。 习习 题题xzyabc（1）截距）截距r、s、t分别为分别为3，3，5（2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5（3）最小公倍数）最小公倍数15，（4）于是，）于是，1/r，1/s，1/t分别分别乘乘15得到得到5，5，3，因此，晶面指标为（因此，晶面指标为（553）。）。1，所有相互平行的晶面，其晶面指数相同，或者三个符号均相反。可见，晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而且代表着一组相互平行的晶面。2，晶
17、面指数中h、k、l是互质的整数。3，最靠近原点的晶面与X、Y、Z坐标轴的截距为 a/h、b/k、c/l。晶面指数特征：晶面指数特征：即与原点位置无关；每一指数对应一组平行的晶面。即与原点位置无关；每一指数对应一组平行的晶面。立方晶系几组晶面及其晶面指标。立方晶系几组晶面及其晶面指标。（100100）晶面表示晶面与）晶面表示晶面与a a轴相截与轴相截与b b轴、轴、c c轴平行；轴平行；（110110）晶面表示与）晶面表示与a a和和b b轴相截，与轴相截，与c c轴平行；轴平行；（111111）晶面则与）晶面则与a a、b b、c c轴相截，截距之比为轴相截，截距之比为1:1:11:1:1 (
18、100) (110) (111) 在点阵中的取向在点阵中的取向思考题思考题晶体的晶面指数的个数有上限吗？例如（111，100，1）这样的晶面有吗？理论上讲，晶面指数的个数是无限的，只要能找到极端复杂的晶胞。但对实际的一个晶体，晶面的数目是一定的。 如果取a1、a2、和c为晶轴，按上述三轴定向的方法确定面指数，六个柱面的面指数为：（100）、（010）、（1(-)10）、（1(-)00）、（01(-)0）、（11(-)0）。但是，这种方法所确定的晶面指数不能显示出六次对称及等同面的特征。因此，对六方晶系往往采用四轴定向方因此，对六方晶系往往采用四轴定向方法，称为密勒法，称为密勒- -布拉菲指数。
19、布拉菲指数。 选取四个坐标轴，其中a1、a2、a3在同一水平面上，之间的夹角为120，c轴与这个平面垂直。这样求出的晶面指数由四个数字组成，用（hkil）表示。其中前三个数字存在如下关系： h+k=-i 用四轴定向方法求出的六个柱面的晶面指数为：（101(-)0）、（011(-)0）、（1(-)100）、（1(-)010）、（01(-)10）、（11(-)00）。六方体系的晶面指数六方体系的晶面指数这样的晶面指数可以明显地显示出六方对称及等同晶面的特征。这样的晶面指数可以明显地显示出六方对称及等同晶面的特征。 六方晶系的晶面和晶向指数表示方法与其它晶系不同。 六方晶系中如果用三轴定向表示晶向指
20、数用UVW，四轴定向的晶向指数用uvtw来表示。三轴和四轴晶向指数之间的关系：六方体系的晶向指数六方体系的晶向指数它与晶胞参数和晶面指标有关。它与晶胞参数和晶面指标有关。 一组平行晶面（一组平行晶面（hkl）中两个相邻平面）中两个相邻平面间的垂直距离称为晶面间距，用间的垂直距离称为晶面间距，用dhkl表表示。示。 2.3、晶面间距、晶面间距d (hkl)晶面与晶面间距晶面与晶面间距是晶体是晶体X X射线衍射结构分析中所围绕的内容。射线衍射结构分析中所围绕的内容。立方晶系立方晶系 六方晶系六方晶系 面间距面间距 dhkl 与晶胞点阵参数之间的关系与晶胞点阵参数之间的关系（hkl）代表一组相互平行
21、的晶面）代表一组相互平行的晶面, 任意两个相邻的晶面的面间距都相等。任意两个相邻的晶面的面间距都相等。对正交晶系对正交晶系5-1 5-2 5-3 晶面指晶面指标标越高越高, 面面间间距越小距越小, 晶面上粒子的晶面上粒子的密度（或密度（或阵阵点的密度）也越小点的密度）也越小. 只有只有（h*k*l*）小）小, dh*k*l*大大, 即阵点密度大的晶面即阵点密度大的晶面（粒子间距离近（粒子间距离近, 作用能大作用能大, 稳定）才能被保留稳定）才能被保留下来下来. 习习 题题 金属镍立方晶胞中（金属镍立方晶胞中（111）晶面的晶面间距）晶面的晶面间距d111为为2.035，求其（，求其（220）晶
22、面）晶面间间距距d220。利用：求得: 于是: 2.4 晶面族晶面族晶面族：晶面族：在同一晶体点阵中，有若干组晶面是可以通过一定的在同一晶体点阵中，有若干组晶面是可以通过一定的对称变化重复出现的等同晶面，它们的对称变化重复出现的等同晶面，它们的面间距面间距与与晶面上结点晶面上结点分布分布完全相同。这些空间位向性质完全相同的晶面的集合，完全相同。这些空间位向性质完全相同的晶面的集合，称为晶面族称为晶面族表示方法：表示方法：用用hkl表示。表示。例如：立方晶系中例如：立方晶系中100晶面族包括六个晶面晶面族包括六个晶面（100）、（）、（010）、（）、（001）、（）、（-100）、（）、（0-
23、10）、（）、（00-1）注意，注意，在其他晶系中，通过数字位置互换而得到的晶面不一定属于同在其他晶系中，通过数字位置互换而得到的晶面不一定属于同一晶面族，例如，正方晶系中一晶面族，例如，正方晶系中a=b c，因此，因此，100晶面族分为两组，晶面族分为两组，一个包含（一个包含（100）（）（010）（）（-100）（）（0-10）晶面；另一个包含）晶面；另一个包含（001）（）（00-1）两个晶面。）两个晶面。思考：思考：为什么要强调晶面族的概念？与衍射分析有什么关系？为什么要强调晶面族的概念？与衍射分析有什么关系？2.5、倒易点阵、倒易点阵 （教学难点）（教学难点）2.5.1 2.5.1
24、为什么要引入倒易点阵概念为什么要引入倒易点阵概念 天下本无事，庸人自扰之？天下本无事，庸人自扰之？ 非常有用非常有用 1 1、考试要考；考研更要考、考试要考；考研更要考2 2、能简化（、能简化（1 1）晶面与晶面指数表达；）晶面与晶面指数表达；（2 2）衍射原理的表达；（）衍射原理的表达；（3 3）与实验测量）与实验测量结果直接关联，尤其是电子衍射部分。结果直接关联，尤其是电子衍射部分。 倒易点阵是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵的另一种表达形式。为了区别有时把晶体点阵空间称为正空间。倒易空间中的结点称为倒易点。2.5.2 2.5.2 倒易点阵的概念、表达形式
25、倒易点阵的概念、表达形式 1、倒易点阵的定义、倒易点阵的定义 （倒易点阵与正点阵的转换关系）（倒易点阵与正点阵的转换关系）倒易点阵参数： a* 、b*、 c*； *、*、* 其中，其中，a 、b、 c；、为正点阵参数为正点阵参数定义：定义：矢量表示矢量表示因此，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵中异名矢量构成的平面。a*垂直于b与c两个矢量构成的平面。同样b*（或c*）垂直于a与c（a与b）两个矢量构成的平面。如果如果 *= *= *=90o，或者，a*垂直（100）晶面； b*垂直（010）晶面； c*垂直（001）晶面。（1）（2）倒易点阵参数的方向与大小倒易点阵参数的方向与大小 倒易点阵是晶
26、体结构周期性在傅立倒易点阵是晶体结构周期性在傅立叶空间中的数学抽象。如果把叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵晶体点阵本身理解为周期函数，则本身理解为周期函数，则倒易点阵就是倒易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，反之晶体点阵晶体点阵的傅立叶变换，反之晶体点阵就是倒易点阵的傅立叶逆变换。就是倒易点阵的傅立叶逆变换。 所以，倒易点阵只是晶体点阵在不所以，倒易点阵只是晶体点阵在不同空间同空间( (波矢波矢空间空间) )的反映。的反映。2 2、倒易点阵的本质、倒易点阵的本质2.5.3 倒易矢量倒易矢量1、定义：从倒易点阵原点向任一倒易阵点所连接的矢量叫倒易矢量倒易矢量，表示为：r*=ha*+kb*+lc*倒
27、易阵点用它所代表的晶面指数标定。倒易阵点用它所代表的晶面指数标定。倒易点阵倒易点阵正点阵正点阵立方正空间点阵的倒易变换立方正空间点阵的倒易变换(210)(100)(110)(010)cba(220)200100000210110010220120020C*b*a*H2202、倒易矢量的两个基本性质、倒易矢量的两个基本性质（1） 倒易矢量的方向方向垂直于正点阵中的（hkl）晶面。（2 2）倒易矢量的长度倒易矢量的长度等于（hkl）晶面的晶面间距dhkl的倒数。如果正点阵与倒易点阵具有同一坐标原点，则正点阵中的一个晶面在倒易如果正点阵与倒易点阵具有同一坐标原点，则正点阵中的一个晶面在倒易点阵中就变
28、成了一个阵点（倒易点）。正点阵中晶面取向和面间距只须倒点阵中就变成了一个阵点（倒易点）。正点阵中晶面取向和面间距只须倒易矢量一个参量就能表示。易矢量一个参量就能表示。OABCabc同理可证：同理可证：证明证明1：倒易矢量的方向方向垂直于正点阵中的（hkl）晶面。晶面（晶面（hklhkl）与三个坐标轴的截距为：）与三个坐标轴的截距为：于是：于是：设倒易矢量为：设倒易矢量为：因此因此从倒易矢量的定义从倒易矢量的定义OM垂直于晶面，交点为垂直于晶面，交点为M，于是有：，于是有：OABCabcM证明证明2 2：倒易矢量的长度倒易矢量的长度等于（hkl）晶面的晶面间距dhkl的倒数。因为性质一成立，则有
29、倒易矢量垂直于因为性质一成立，则有倒易矢量垂直于ABC面，即倒易矢量在面，即倒易矢量在OM方向上，方向上，这样可以通过有倒易矢量给出单位矢量。这样可以通过有倒易矢量给出单位矢量。为为OM方向上的单位矢量方向上的单位矢量3 3、用倒易矢量推导晶面间距和晶面夹、用倒易矢量推导晶面间距和晶面夹角的计算公式角的计算公式 晶面间距计算公式晶面夹角计算公式晶面间距计算公式：晶面间距计算公式： 已知r*=ha*+kb*+lc*，则:立方晶系晶面夹角计算公式晶面夹角计算公式 已知r1*=h1a*+k1b*+l1c*r2*=h2a*+k2b*+l2c*则晶面夹角可以用晶面法线间的夹角来表示。晶面夹角可以用晶面法
30、线间的夹角来表示。因此，两个晶面（h1klll）（h2k2l2）间的夹角可以用它们所对应的倒易矢量r1* 与r2*间的夹角来表示。对于立方体系：同样需要三个基本矢量之间的夹角习题习题 1，在晶体结构或空间点阵中，在晶体结构或空间点阵中， 与某一取向平行的所有晶面与某一取向平行的所有晶面均属于同一个均属于同一个晶带晶带。 2，同一晶带中所有晶面的交，同一晶带中所有晶面的交线互相平行，其中通过坐标线互相平行，其中通过坐标原点的那条直线称为原点的那条直线称为晶带轴晶带轴。 3，晶带轴的，晶带轴的晶向指数晶向指数即为该即为该晶带的指数晶带的指数。晶带正空间与倒空间对应关系图晶带正空间与倒空间对应关系图正空间倒空间晶带正空间与倒空间对应关系图晶带正空间与倒空间对应关系图晶体点阵中二维阵点晶面在倒易点阵中对晶体点阵中二维阵点晶面在倒易点阵中对应一个点应一个点-倒易点。倒易点。晶面间距和取向两个参量在倒易点阵中只晶面间距和取向两个参量在倒易点阵中只用一个倒易矢量就能表达。用一个倒易矢量就能表达。我们所观察到的衍射花样（或者衍射图谱）我们所观察到的衍射花样（或者衍射图谱）实际上是满足衍射条件的倒易阵点的投影。实际上是满足衍射条件的倒易阵点的投影。倒易点阵总结倒易点阵总结致致 谢谢本章课件在制作过程中使用了中南大本章课件在制作过程中使用了中南大学、温州大学的部分图片。学、温州大学的部分图片。
