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1、2.6.1 2.6.1 极值和极值点的概念极值和极值点的概念定义定义2.6 设函数设函数 y = f(x) 在在 x0 的一个邻域内有定义的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于若对于该邻域内异于 x0 的的 x 恒有恒有( (1) ) f (x0) f (x)，则称则称 f (x0) 为函数为函数 f (x) 的极大值的极大值，x0 称为称为 f (x) 的极大值点的极大值点；( (2) ) f (x0) f (x)，则称则称 f (x0) 为为函数函数 f (x) 的极小值的极小值，x0 称为称为 f (x) 的极小值点的极小值点；函数的极大值函数的极大值、极小值极小值统称为函数的极值统称为
2、函数的极值，极极大大值点值点、极小值点极小值点统称为极值点统称为极值点.2.6 2.6 函数的极值和最大（小）值及其求法函数的极值和最大（小）值及其求法函数的极值和最大（小）值及其求法函数的极值和最大（小）值及其求法显显然然，在在图图中中， x1，x4 为为 f (x) 的的极极大值点，大值点， x2， x5 为为 f (x) 的的极极小小值值点点.y = f (x)yxOx1x2x3x4x5y y= f ( x )x0再看再看下面函数曲线：下面函数曲线： 极大值和极小值是函数在一点附近的性质，因而极大值和极小值是函数在一点附近的性质，因而是局部的性质，这样，在一个函数中极大值就不一定是局部的
3、性质，这样，在一个函数中极大值就不一定大于极小值大于极小值如如P41P41书上图书上图2-52-5定理定理 2.6 ( (极值的必要条件极值的必要条件) )设函数设函数 y = f (x) 在在 x0 处可导处可导，且且 f (x0) 为极为极值值( (即即 x0 为值点为值点) )，则则 f (x0) = 0.即即函数的极值点必为驻点或不可导点函数的极值点必为驻点或不可导点 ( (极值的第一充分条件极值的第一充分条件) )设设函函数数 y = f (x) 在在 x0 的的一一个个邻邻域域内内可可微微( (在在 x0 处可以不可微处可以不可微，但必须连续但必须连续) )，若若当当 x 在在该该
4、邻邻域域内内由小于由小于 x0 连续地变为大于连续地变为大于 x0 时时， 其导数其导数 f (x) 改变改变符号符号， 则则 f (x0) 为函数的极值为函数的极值.x0 为函数的极值点为函数的极值点，并且并且( (1) )若导数若导数 f (x) 由正值变成负值由正值变成负值，则则 x0 为为极极大大值点值点，f (x0) 为为 f (x) 的极大值的极大值；( (2) )若导数若导数 f (x) 由负值变成正值由负值变成正值， 则则 x0 为为极极小小值点值点，f (x0) 为为 f (x) 的极小值的极小值.( ( 极值的第二充分条件极值的第二充分条件 ) )( (1) )当当 f (
5、x0) 0 时时，则则 x0 为为极极小小值值点点，f (x0)为极小值为极小值；( (2) )当当 f (x0) 0 时时，则则 x0 为极大值点为极大值点，f (x0)为极大值为极大值. 若若 f (x0) = 0，且且 f (x0) 0， 则则 x0 是是函函数数的的极极值值点点，f (x0) 为函数的极值为函数的极值， 并且并且设函数设函数 y = f (x) 在在 x0 处的二阶导数存在处的二阶导数存在，运用定理运用定理 2.6 求函数极值的一般步骤是：求函数极值的一般步骤是：( (1) )确确定定定定义义域域，并并找找出出所所给给函函数数的的驻驻点点和和导导数不存在的点；数不存在的
6、点；( (2) )考考察察上上述述点点两两侧侧一一阶阶导导数数的的符符号号(或或考考察察上上述点的二阶导数的符号述点的二阶导数的符号)，确定极值点；，确定极值点；( (3) )求出极值点处的函数值，得到极值求出极值点处的函数值，得到极值.补充例题补充例题1. 求f (x)=x33x29x+5的极值.解解: f (x)=3x2 6x 9 =3(x+1)(x3)令f (x)=0 解得驻点 x1= 1, x2=3x = 1: x0. x1时 f (x)0 x=3: x3时 f (x)3时 f (x)0 极大值f (1)=10. 极小值 f (3)= 22.补充例题补充例题2. 求 f (x)=的极值
7、解解: x 0时, f (x) 0时, f (x) 0故得 极小值f (0)=0xy0补充例题补充例题3. 求的极值.解解: f (x) 以2 为周期，故考虑区间0, 2 )令 f (x)=cosxsinx = 0又有得驻点由定理2.6知 由周期性知分别为 f (x) 的极大值点和极小值点.补充例补充例 题题4求函数求函数 f (x) = (x - - 1)2 (x - - 2)3 的极的极值值.解解( (1) )定义域为定义域为 (- - ,+,+ ).f (x) = (x - - 1) (x - - 2)2 (5x - - 7).所以由所以由 f (x) = 0 可得可得 f (x) 的三
8、个驻的三个驻点：点：该函数在定义区间内无不可导的点，该函数在定义区间内无不可导的点， 上述驻点将定义上述驻点将定义区间分为四个子区间区间分为四个子区间( (2) ) 当当 x (- - , 1)时，时， f (x) 0；f (x) 0； 当当 x (2, + + ) 时，时， f (x) 0. 因因此此，由由定定理理 3 可可知知， x = 1 为为极极大大值点，值点， x = 2 不不是是极极值值点点( (因因为为在在 x = 2 的两侧的两侧 f (x) 同为正号同为正号) ).( (3) )计算极值计算极值极大值极大值 f (1) = (1 - - 1)2 (1 - - 2)3 = 0，
9、有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：x(-(- , 1) )f (x)12( (2, + + ) )+ +0- -0+ +0+ +f (x)极大值极大值0无极值无极值补充例题补充例题 5求函数求函数 f (x) = x4 10x2 + + 5 的极的极值值.因为因为解解( (1) )定义域为定义域为 (- - , , + + ). f (x) = 4x3 20x = 4x(x2 - - 5)， 所以，由所以，由 f (x) = 0 可得该可得该函数的三个驻点函数的三个驻点所以有所以有由定理由定理 2.6 可知：可知：( (2) )因为因为 f (x)
10、 = 12x2 20，( (3) )计算极值：计算极值：请请阅读书上第阅读书上第4141页例页例1 1和例和例2 2例例1 1求函数求函数 的极值例例2 2求函数求函数 在区间 内的极值函数的最大最小值在很多实际问题中，需要求出最大或最小值表示这些问题的函数 一般在区间 上是连续的根据以上讨论，具备这种条件的函数 的最大、最小值总是存在的，它们只可能在 的点、 不存在的点或区间端点处取得求 在 上最大、小值的步骤： ( (1)1)求出 及 不存在的点 ；( (2)2)比较 的大小其中最大的便是最大值，最小的便是最小值补充例题补充例题 6. 求f (x)=x48x2+2在1, 3上的最大值和最小
11、值.解解：f (x)=4x3 16x=4x(x2)(x+2)令 f (x)=0 得驻点 x1=0, x2=2, x3= 2(舍去)计算 f (0)=2, f (2)= 14f (1)= 5, f (3)= 11所以最小值f (2)= 14, 最大值f (3)= 11补充例题补充例题 7. 求 f (x)=x2ex的最大值和最小值.解解： f (x)在定义域(, )上连续可导且 f (x) = x (2x)ex令 f (x)=0得驻点 x=0, x=2 有 f (0)=0，f (2)=4e2且故 f (x)在定义域内有最小值 f (0)=0，无最大值 .y=x2ex02(1) f (x)C( a
12、, b ) ，且在(a, b)内只有唯一极值点x=x0. 则当 f (x0) 极大时便也最大，当f (x0)极小时便也最小.特例xy0abyx0abx0x0(2) f (x)C( a,b ), 且在(a, b)内单调增加，则f (a)最小，f (b)最大. 单调减少则相反.abxy0abxy0补充例题补充例题8. 某企业开发出一种新产品. 已知生产销售 x件产品所需成本费用C = 25000+5x(元). 若每件产品销售价为问生产销售多少件产品，能使企业的利润最大？这时每件产品的销售价定为多少？解解：目标函数:= x P C利润 L = 收入成本亦即最大值点. 故生产销售 x=2500 件产品
13、可使企业的利润最大，此时求解：课常练习课常练习试求函数试求函数 f (x) = 3x4 - -16x3 + + 30x2 24x + + 4 在区间在区间 0, ,3 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .解解f (x) = 12x3 - - 48x2 + + 60x 24 令令 f (x) = 0，得驻点得驻点 x = = 1， x = = 2， 它它们们为为 f (x) 可可能的极值点，能的极值点，算出这些点及区间端点处的函数值：算出这些点及区间端点处的函数值：= 12( (x - - 1) )2( (x - - 2) )，f (0) = 4，f (1) = - - 3，f (2) = - - 4，f (3) = 13，将它们加以比较将它们加以比较 可可知知在在区区间间 0, 3 上上 f (x) 的的最最大大值值为为 f (3) = 13，最小值为最小值为 f (2) = - - 4.
