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1、高一数学教研组一元二次方程实根的分布一元二次方程实根的分布 主讲人：李盛华李盛华问题的来源：问题的来源： 课本复习参考题课本复习参考题. .1、关关于于 的的方方程程 至至少少有有一一个个负根的充要条件是负根的充要条件是 . .2 2、关关于于x x的的方方程程3 3x x2 2-10-10x x+ +k k=0=0有有两两个个同同号号且不相等的实根，求实且不相等的实根，求实数数k k的取值范围的取值范围. .问题的误解：问题的误解：1 1、条件、条件 是关于是关于x x的方程的方程 有有两正根的两正根的 条件，而不是条件，而不是 条件条件. . 反例：方程反例：方程 无实数根无实数根. .2
2、 2、条件、条件 是是 的的 条件，条件， 而不是而不是 条件条件. . 反例：反例： ，而，而 . .必要不充分必要不充分充要充要充分不必要充分不必要充要充要问题的延伸：问题的延伸：1 1、若关于、若关于x x的方程的方程 的两的两 个个根根都都大大于于1 1，则则实实数数 的的取取值值范范围围 是是 . . 2 2、关于、关于x x的方程的方程 的两个的两个 根根均均大大于于 - - 2 2小小于于4 4，求求实实数数 的的取取值值范围范围. .问题的解决问题的解决：例例1 1、若若关关于于x x的的方方程程 的的两两个个根根都都大于大于1 1，则实数，则实数 的取值范围是的取值范围是 .
3、 . 分分析析（1 1）方方程程有有根根，与与 有有关关. .仅仅仅仅靠靠韦韦达达定定理理是不够的是不够的. . (2)(2)方方程程有有什什么么样样的的根根，可可以以结结合合对对应应的的二二次次函函数数图图象象, ,数数形形结结合合解解决决. .此此时时与与 有有 有关，及有关，及 有关有关. .判别式判别式端点的函数值端点的函数值对称轴对称轴 如图，函数如图，函数 的的图象决定着：图象决定着：（1）最小值的正负，与判别式有关）最小值的正负，与判别式有关;（2）对称轴；）对称轴；（3）函数值）函数值 的正负的正负.问题的解决问题的解决：例例1 1、若若关关于于x x的的方方程程 的的两两个个
4、根根都都大大于于1 1，则则实实数数 的的取取值值范范围围是是 . . 解：令 ，则 问题的解决：问题的解决： 例例2 2、关于、关于x x的方程的方程 的两个根均的两个根均大于大于 - 2- 2小于小于4 4，求实，求实数数 m m 的取值范围的取值范围. . 解：令解：令 ，则，则 所以所以, ,实数实数m m的取值范围是的取值范围是 . .问题的解决：问题的解决：其其实实, ,有那么复有那么复杂吗杂吗? ? 例例2 2、关于、关于x x的方程的方程 的两个根均的两个根均大于大于 - 2- 2小于小于4 4，求实数，求实数 m m 的取值范围的取值范围. .另解另解: : 原原方程的两个根
5、分方程的两个根分别为别为 而而 ， 所以所以 ，由此可得，由此可得 . . 所以所以, ,实数实数m m的取值范围是的取值范围是 . .问题的启示：问题的启示：学会具体学会具体问题问题具体分析具体分析. . 对对于于这这道道题题而而言言, ,后后一一种种办办法法比比较较简简单单, ,但但是是要会前一种通法要会前一种通法. . 例如例如, , 关于关于x x的方程的方程 在在区区间间 上上有有两两个个不不同同的的解解, , 求求实实数数 的的 取值范围取值范围. . 用后一种方法解答比较困难用后一种方法解答比较困难. . 两两种种方方法法都都要要会会, ,我我们们提提倡倡具具体体问问题题具具体体
6、分分析析, ,哪一种解法简单就用哪一种哪一种解法简单就用哪一种. . 问问题题的的根根源源：方方程程根根的的分分布布问问题题， 与对应的二次函数图象有关与对应的二次函数图象有关. .（1 1） 函函数数的的性性质质决决定定函函数数的的图图象象, ,函函数数的的图象反映函数的性质图象反映函数的性质. . （2 2）方方程程有有根根，与与判判别别式式有有关关. .对对应应的的二二次次函数图象与函数图象与 轴有交点轴有交点. .（3 3）方方程程有有什什么么样样的的根根，与与端端点点的的函函数数值值有有关关，与与二二次次函函数数图图象象的的对对称称轴轴有有关关. .仅仅仅靠韦达定理是不够的仅靠韦达定
7、理是不够的. . 注注: :抛抛物物线线就就象象一一根根电电线线, ,函函数数值值（包包括括最小最小值值）就象）就象铆钉铆钉一一样样, ,决定着它的走向决定着它的走向. . 一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布 令令 ，方程方程 在给定区间上有在给定区间上有实根的条件，常见的几种情况列表讨论如实根的条件，常见的几种情况列表讨论如下：下：（设是方程两个不相等的实根（设是方程两个不相等的实根 且，且， 而而 是常数，且是常数，且 ）根的分布 图形特征 充要条件 其它 限制条件最多 只与函数值有关 仅有一根在 内 只与函数值有关 根的分布 图形特征 充要条件 其它 限制条件最多 只与函数值有关
8、仅有一根在 内 只与函数值有关 （3 3）二次函数图象的对称轴）二次函数图象的对称轴 小结：小结：（1 1）端点的函数值）端点的函数值（2 2）判别式）判别式课堂练习：课堂练习： 1 1、 关于关于x x的方程的方程 在区间在区间 上有两个不同的解上有两个不同的解. . 求实数求实数 的取值范围的取值范围. . 答案：答案：说课部分说课部分一、来自课本，又高于课本，具一、来自课本，又高于课本，具有驾御教材，驾御问题的能力有驾御教材，驾御问题的能力. . 二、函数与方程的思想二、函数与方程的思想 函数与方程的思想方法方法是高考数学常用四种思想方法 之一， 即： 函数与方程、数形结合、转化与化归、
9、分类讨论等思想方法，而函数与方程的思想方法居首位. 函数与方程的思想方法就是对于数学问题要学会用变量和函数来思考，学会转化未知与已知的关系。什么是函数思想？简单地说就是学会用变量和函数来思考，在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数的性质做工具进行分析，或者构造一个函数，把表面不是函数的问题化归为函数问题。 著名数学家克来因说：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。一个学生仅仅学习了函数知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题。 建立函数思想是中学数学教学的重要课题，因为函数思想是中学数学特别是高
10、中数学的主线，函数思想的建立使常量数学进入了变量数学，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数。因此数学教学中注重函数思想是相当重要的. 和函数有必然联系的是方程。方程就是函数的图象与轴交点的横坐标，函数也可以看作二元方程，通过方程进行研究，要确定变化过程中的某些量往往要转化为求这些量满足的方程。希望通过这些方程（组）来求得这些量。这就是方程思想。方程思想就是动中求静，研究运动中的等量关系。 在很多情况下，函数可以看作方程，方程可以看作函数，这种方程与函数辨证关系，拓宽了我们解决常量问题的渠道应注意函数思想与方程思想常常是相辅相成的。三三、数数型型结结合合思思想想图图形
11、形帮帮助解题助解题. . 数数与与形形是是事事物物的的两两个个方方面面，正正是是基基于于对对数数与与形形的的抽抽象象研研究究才才产产生生了了数数学学这这门门学学科科，才才能能使使人人们们能能够够从从不不同同侧侧面面认认识识事事物物。数数型型结结合合思思想想就就是是要要使使抽抽象象的的数数学学语语言言与与直直观观的的图图象象语语言言结结合合起起来来，使使抽抽象象思思维维与与形形象象思思维维结结合合起起来来。华华罗罗庚庚先先生生说说：“数数与与形形本本是是两两依依倚倚，焉焉能能分分作作两两边边飞飞，数数缺缺形形时时少少直直观观，形形少少数数时时难难入入微微。” ” 数数型型结结合合思思想想是是一一
12、种种重重要要的的解解题题思思想想，用用这这种种思思想想指指导导，一一些些几几何何问问题题可可以以用用代代数数方方法法处处理理，例例如如解解析析几几何何，一一些些代代数数问问题题又又可可以以用用几何图形帮助解决。几何图形帮助解决。四、具体四、具体问题问题具体分析具体分析. . 提出问题，分析问题，解决问题，实事求提出问题，分析问题，解决问题，实事求是是. . 美国著名数学家哈尔莫斯说过：美国著名数学家哈尔莫斯说过：“问题是数问题是数学的心脏学的心脏.”.” 被称为现代科学之父的爱因斯坦指出：被称为现代科学之父的爱因斯坦指出：“提提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解出一个问题往往比解决一个
13、问题更重要，因为解决一个问题也许是一个数学上的或实验上的技能决一个问题也许是一个数学上的或实验上的技能而已。而提出的问题，新的可能性，从新的角度而已。而提出的问题，新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步标志着科学的真正进步. .” ” 英国科学家波普尔说：英国科学家波普尔说：“科学知识的增长永科学知识的增长永远始于问题，终于问题远始于问题，终于问题越来越深化的问题，越来越深化的问题，越来越能启发新问题的问题越来越能启发新问题的问题. .” 四、具体四、具体问题问题具体分析具体分析. . 提出问题，分析问题，
14、解决问题，实事求提出问题，分析问题，解决问题，实事求是是. . (1) (1) 求根法，解不等式；求根法，解不等式； （2 2）韦韦达定理；达定理； （3 3）数型）数型结结合；合； （4 4）转转化化为为求函数的求函数的值值域域. . 五、学会学习，学会总结五、学会学习，学会总结. . 小总结小进步，大总结大进步，多总结多进步，常小总结小进步，大总结大进步，多总结多进步，常总结，常进步，不总结不进步总结，常进步，不总结不进步. .老师总结，学生总结；练老师总结，学生总结；练习小结，考试总结；单元小结，专题总结；一天一小结，习小结，考试总结；单元小结，专题总结；一天一小结，一周一小结，一月一总
15、结，通过总结把我们零散的知识一周一小结，一月一总结，通过总结把我们零散的知识消化消化简化简化序化序化网络化，块状化网络化，块状化. . 乌申斯基指出：乌申斯基指出：“智力是形成系统的知识智力是形成系统的知识”系统化、系统化、结构化、网络化的知识便于记忆、理解、检索和应用结构化、网络化的知识便于记忆、理解、检索和应用. .系系统论认为：统论认为：系统地组织起来的材料所提供的信息远远大系统地组织起来的材料所提供的信息远远大于部分材料提供的信息之和于部分材料提供的信息之和. . 因此数学复习时，不应只是把所学的知识简单地重因此数学复习时，不应只是把所学的知识简单地重复，而应该把基础知识从整体上按数学的逻辑结构、知复，而应该把基础知识从整体上按数学的逻辑结构、知识之间的内在联系，进行整理识之间的内在联系，进行整理. .还要把平时所学的各个单还要把平时所学的各个单元的局部的分散的零碎知识，解题的思想方法，解题规元的局部的分散的零碎知识，解题的思想方法，解题规律进行数学联结，从而使学生从整体上，系统上、网络律进行数学联结，从而使学生从整体上，系统上、网络上把握知识、思想、方法上把握知识、思想、方法. . 脚本：李盛华脚本：李盛华制作：李盛华欢迎批评斧正欢迎批评斧正2004年10月20日星期三
