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1、第五章第五章 图形变换图形变换 主要介绍二维几何变换二维几何变换窗口到视区的变换窗口到视区的变换三维几何变换三维几何变换变换的数学基础（变换的数学基础（1/6）矢量矢量矢量和矢量和 变换的数学基础（变换的数学基础（2/6）矢量的数乘矢量的数乘 矢量的点积矢量的点积性质性质变换的数学基础（变换的数学基础（3/6）矢量的长度矢量的长度 单位矢量单位矢量 矢量的夹角矢量的夹角矢量的叉积矢量的叉积 变换的数学基础（变换的数学基础（4/6）矩阵矩阵 阶矩阵阶矩阵n阶方阵阶方阵零矩阵零矩阵行向量与列向量行向量与列向量单位矩阵单位矩阵矩阵的加法矩阵的加法 矩阵的数乘矩阵的数乘 矩阵的乘法矩阵的乘法 矩阵的转
2、置矩阵的转置 矩阵的逆矩阵的逆 变换的数学基础（变换的数学基础（5/6）为什么需要齐次坐标？为什么需要齐次坐标？多个变换作用于多个目标多个变换作用于多个目标变换合成变换合成变换合成的问题变换合成的问题引入齐次坐标引入齐次坐标 变换的表示法统一变换的表示法统一变换的数学基础（变换的数学基础（6/6）齐次坐标系齐次坐标系 所谓点的齐次坐标系，就是n维向量由n+1维向量来表示，如n维向量（P1,P2，,Pn）表示为（P1,P2，,Pn,），其中Pi= P1, 称为哑坐标。可见，一个n维向量的齐次坐标表示不惟一，由哑坐标决定大小，一般在二维图形变换中取1。( (x,yx,y) )点对应的齐次坐标为：点
3、对应的齐次坐标为：(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线标准齐次坐标标准齐次坐标(x,y,1)(x,y,1)二维图形的基本变换二维图形的基本变换 在二维图形的几何变换中的二维图形几何变换矩阵可以表示为： 其中： 的作用对图形几何信息进行伸缩、 对称、旋转和错切等变换；g h是对图形进行平 移变换； 是对图形进行投影；i是对整个图 形进行缩放。二维基本变换（二维基本变换（1/3）平移变换平移变换 其变换表示为：二维基本变换（二维基本变换（2/3）旋转变换旋转变换点点P(x,y,)的极坐标表示的极坐标表示绕坐标原点旋转角度绕坐标原点旋转角度 （逆时针为正
4、，顺时针为负）（逆时针为正，顺时针为负） 其变换表示为：二维基本变换（二维基本变换（3/3）放缩变换放缩变换以坐标原点为放缩参照点不仅改变了物体的大小和形状，也改变了它离原点的距离 （1） 当Sx=Sy1时为放大变换；（2）当Sx=Sy1时为缩小变换；（3）当SxSy时为非均匀变化。复合变换及变换的模式（复合变换及变换的模式（1/6） 问题：如何实现复杂变换？问题：如何实现复杂变换？关于任意参照点关于任意参照点 的旋转变换的旋转变换 变换分解变换分解变换合成变换合成复合变换及变换的模式（复合变换及变换的模式（2/6）关于任意参照点关于任意参照点 的放缩变换的放缩变换 复合变换及变换的模式（复合
5、变换及变换的模式（3/6）变换的结果与变换的顺序有关（矩阵乘变换的结果与变换的顺序有关（矩阵乘法不可交换）法不可交换）Rotate2D(45);Translate2D(1,0);House();复合变换及变换的模式（复合变换及变换的模式（4/6）变换的固定坐标系模式变换的固定坐标系模式 相对于同一个固定坐标系相对于同一个固定坐标系先调用的变换先执行，后调用的变换后执行先调用的变换先执行，后调用的变换后执行 Rotate2D(45);Translate2D(1,0);House();复合变换及变换的模式（复合变换及变换的模式（5/6）人的思维方式人的思维方式每次变换产生一个新的坐标系每次变换产生
6、一个新的坐标系变换的活动坐标系模式变换的活动坐标系模式先调用的变换后执行，后调用的变换先执行先调用的变换后执行，后调用的变换先执行（图形系统一般用堆栈实现）（图形系统一般用堆栈实现） 例子： 将一个图形缩小一倍后在X轴上平移Xs单位，在Y轴上平移Ys单位，再绕原点逆时针旋转角，写出变换过程及变换矩阵。解：第一步，缩小一倍，有： 第二步，平移到S（Xs，Ys）处，有： 第三步，绕原点旋转角，有： 其它变换（其它变换（1/6） 对称变换对称变换关于关于x轴的对称变换轴的对称变换关于关于y轴的对称变换轴的对称变换 其它变换其它变换(2/6)关于任意轴的对称变换关于任意轴的对称变换 其它变换其它变换(
7、3/6)错切变换错切变换错切变换也称剪切、错位、错移变换，用于产生弹性物体的变形处理。 其它变换其它变换(4/6）（1）当d=0时，图形的y坐标不变，x坐标随初值（x,y）及变换系数b而作线性变换；如b0，图形沿+x方向作错切位移；b0，图形沿+y方向作错切位移；d0，图形沿-y方向作错切位移，如上图（b)所示。（3）当b0且d 0时，图形沿x,y方向作错切位移。 其它变换其它变换(5/6）其它变换其它变换(6/6）二维图形的显示流程图（二维图形的显示流程图（1/4）坐标系：建立了图形与数之间的对应联系坐标系：建立了图形与数之间的对应联系 世界坐标系世界坐标系(world coordinate
8、) 用户坐标系用户坐标系(user coordinate) 局部坐标系局部坐标系(local coordinate) 二维图形的显示流程图（二维图形的显示流程图（2/4)屏幕坐标系屏幕坐标系(screen coordinate) 设备坐标系设备坐标系(device coordinate) 二维图形的显示流程图（二维图形的显示流程图（3/4）窗口窗口在世界坐标系中指定的矩形区域在世界坐标系中指定的矩形区域 用来指定要显示的图形用来指定要显示的图形 视区视区在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域形区域 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小用来指定窗口内
9、的图形在屏幕上显示的大小及位置及位置 窗口到视区的变换窗口到视区的变换 二维图形的显示流程图（二维图形的显示流程图（4/4）窗口到视区的变换（窗口到视区的变换（1/4） 目标目标将窗口之中的图形变换到视区中将窗口之中的图形变换到视区中变换的求法变换的求法变换的分解与合成变换的分解与合成窗口到视区的变换（窗口到视区的变换（2/4）窗口到视区的变换（窗口到视区的变换（3/4） 窗口用来确定要显示的物体，视区确定实际显示图形。实际情况中，窗口与视区的大小往往不一样。如果要在视区正确地显示形体，必须将其从窗口变换到视区，此过程称为窗口-视区变换。 窗口到视区的变换（窗口到视区的变换（4/4）构造窗口-
10、视区变换的变换矩阵 T：其中：三维几何变换（三维几何变换（1/8）三维图形的几何变换矩阵为：其中： 对图形进行伸缩、旋转、对称和错切等几何变换 对图形进行平移变换； 进行投影变换； 对整个图形进行伸缩变化。 三维几何变换（三维几何变换（2/8）三维其次坐标三维其次坐标(x,y,z)点对应的齐次坐标为点对应的齐次坐标为标准齐次坐标标准齐次坐标(x,y,z,1)右手坐标系右手坐标系 三维几何变换（三维几何变换（3/8）平移变换平移变换 伸缩变换：伸缩变换：（1）局部比例变换：假定点P相对于坐标原点沿X方向放缩Sx倍，沿Y方向放缩Sy倍，沿Z方向放缩Sz倍，其中Sx、Sy和Sz称为比例系数，则可构造
11、比例矩阵T：（2）整体比例变换：其变换矩阵为：（其中S的取值所起到的作用与二维变换相同) 三维几何变换（三维几何变换（4/8）旋转变换：旋转变换：下面讨论的三种基本旋转变换，都是考虑在右手坐标系下，某点绕坐标轴逆时针旋转角的情况 。绕绕x轴轴绕绕Y轴轴三维几何变换（三维几何变换（5/8）绕绕z轴轴错切变换错切变换三维几何变换（三维几何变换（6/8）三维变换的一般形式三维变换的一般形式（1）关于坐标原点的对称变换（2）关于坐标轴的对称变换（以关于X轴的对称变换为例）三维几何变换（三维几何变换（7/8）（3）关于坐标平面的对称变换（以关于XOY坐标平面的对称变换为例）三维几何变换（三维几何变换（8
12、/8）5错切变换三维图形错切变换可以沿X轴、Y轴、Z轴三个方向产生错切变换，构造错切变换矩阵T：根据元素所在的列，可以判断出是沿哪个坐标轴方向进行错切。根据元素所在的行，可以判断出是关于哪个坐标变量的错切。已知三角形ABC各顶点的坐标A(3,2)、B(5,5)、C(4,5)，相对直线P1P2(线段的坐标分别为：P1 (-3,-2) 、P2 (8,3) )做对称变换后到达A、B、C。试计算A、B、C的坐标值。（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵，列出计算式子，不要求计算结果）投影变换（投影变换（1/12）投影变换的基本概念投影变换的基本概念将三维空间中的物体变为二维图形表示的过程称为投影变换。
13、投影变换的分类：投影变换的分类：投影变换（投影变换（2/12）投影的要素包括投影对象、投影中心、投影平面、投影线和投影。要作投影变换的物体称为投影对象；在三维空间中，选择一个点，记这个点为投影中心；不经过这个点再定义一个平面，记这个平面为投影平面；从投影中心向投影平面引任意多条射线，记这些射线为投影线；穿过物体的投影线与投影面相交，在投影面上形成物体的像，这个像记为三维物体在二维投影面上的投影。投影变换（投影变换（3/12） 投影变换可分为两大类：透视投影和平行投影。它们的本质区别在于：透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的，而平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的。 投影变换（投
14、影变换（4/12） 平行投影平行投影 平行投影的投影中心与投影平面之间的距离为无穷远；投影线之间相互平行；平行线的平行投影仍是平行线。按照投影方向与投影平面的交角不同，平行投影分为两类：正平行投影和斜平行投影。 投影变换（投影变换（5/12）1正平行投影正平行投影的投影方向垂直于投影平面。按照投影平面与坐标轴的交角不同，正平行投影又可分为两类：正投影与正轴测。当投影平面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为正投影；否则，得到的投影为正轴测。投影变换（投影变换（6/12）（1）正投影正投影也称为三视图。按照投影平面是否与Y轴、X轴、Z轴垂直，正投影分为主视图、侧视图和俯视图三种，此时投影方向分别与这个
15、坐标轴的方向一致。（2）正轴测根据变形系数之间的关系，正轴测投影可分为正等测投影、正二测投影、正三测投影 。 投影变换（投影变换（7/12）变换后投影到XOY平面上：变换后投影到YOZ平面上：变换后投影到XOZ平面上：投影变换（投影变换（8/12）2斜平行投影斜平行投影的投影方向不垂直于投影平面，而是与投影面成夹角。 在工程制图中，经常选择一些兼有美观及绘图方便的 角来作斜平行投影，常用的两种是斜等测和斜二测。投影变换（投影变换（9/12）透视投影透视投影1透视投影的术语和分类透视投影的投影中心与投影平面之间的距离为有限的。投影线（视线）从投影中心（视点）出发，投影线是不平行的。对于透视投影，
16、一束平行于投影平面的平行线的投影仍可保持平行，而不平行于投影平面的平行线的投影会收敛到一个点，这个点称为灭点（Vanishing Point）。平行于坐标轴的平行线在投影平面上形成的灭点称为主灭点。投影变换（投影变换（10/12）根据主灭点的个数，透视投影可分为一点透视、二点透视和三点透视。（1）一点透视：有一个主灭点，即投影平面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。（2）二点透视：有两个主灭点，即投影平面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。（3）三点透视：有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。投影变换（投影变换（11/12）2 透视投影的表示方法假设投影中心在坐标原点，投影平面与Z轴
17、垂直，在zd的位置上。点P(x,y,z)在投影平面上的投影点为： P(x,y,d)，构造透视投影的变换矩阵T：投影变换（投影变换（12/12）3 3透视异常透视异常（1）透视缩小效应（2）灭点效应（3）观察混淆（4）布局失真坐标系之间的变换坐标系之间的变换 什么是？什么是？建立坐标系之间的变换关系建立坐标系之间的变换关系将图形从一个坐标系中变换到另一个坐标系中将图形从一个坐标系中变换到另一个坐标系中怎样求？怎样求？习题习题 在坐标系在坐标系oxyzoxyz中，求一个变换将中，求一个变换将P(1,1,1)Q(2,2,2)P(1,1,1)Q(2,2,2)变换到变换到z z轴上：轴上：P P在坐标原点，在坐标原点，Q Q在在z z轴正半轴。轴正半轴。xyzPQoxyzQo(P)M
