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1、第5章 李雅普诺夫稳定性分析 第五章第五章 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析 稳稳定定性性是是系系统统的的重重要要特特性性，是是系系统统正正常常工工作的必要条件。作的必要条件。 描述系统的稳定性有两种方法：描述系统的稳定性有两种方法：p 外部稳定性：外部稳定性：通过系统的输入通过系统的输入输出关系来输出关系来 描述系统的稳定性。描述系统的稳定性。p 内部稳定性：内部稳定性：通过零输入下的状态运动的响通过零输入下的状态运动的响 应来描述系统的稳定性。应来描述系统的稳定性。（本章研究重点）（本章研究重点）1第5章 李雅普诺夫稳定性分析 稳定的现象稳定的摆不稳定的摆2第5章 李雅普诺夫稳定性
2、分析 在在研研究究运运动动的的内内部部稳稳定定性性时时，为为体体现现出出系系统统自自身身结结构构的的特特点点，常常限限于于研研究究没没有有外外部部输输入入作作用用时时的的系系统统。也也就就是是说说内内部部稳稳定定性性表表现现为为系系统统的的零零输输入入响响应，即在输入恒为零时，系统的状态演变的趋势。应，即在输入恒为零时，系统的状态演变的趋势。 李李雅雅普普诺诺夫夫稳稳定定性性理理论论是是确确定定系系统统稳稳定定性性的的更更一一般般性性理理论论，不不仅仅适适用用于于线线性性定定常常系系统统，而而且且适适用于非线性、时变系统。用于非线性、时变系统。 3第5章 李雅普诺夫稳定性分析 李李雅雅普普诺诺
3、夫夫第第一一法法（间间接接法法）：利利用用线线性性系系统统微微分分方方程程的的解解来来判判断断系系统统稳稳定定性性。由由于于间间接接法法需需要要解解系系统统微微分分方方程程，并并非非易易事事，所所以以间间接接法法的的应应用用受受到了很大的限制。到了很大的限制。 李李雅雅普普诺诺夫夫第第二二法法（直直接接法法）：先先利利用用经经验验和和技技巧巧来来构构造造李李亚亚普普诺诺夫夫函函数数，再再利利用用李李雅雅普普诺诺夫夫函函数数来来判判断断系系统统稳稳定定性性。直直接接法法不不需需解解系系统统微微分分方方程程，给判断系统稳定性带来极大方便，获得广泛应用。给判断系统稳定性带来极大方便，获得广泛应用。4
4、第5章 李雅普诺夫稳定性分析 第五章第五章 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析5.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法(间接法间接法)5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析5.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法(直接法直接法)5.1 李雅普诺夫李雅普诺夫意义下的稳定性意义下的稳定性5第5章 李雅普诺夫稳定性分析 5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性1自治系统自治系统 没没有有外外输输入入作作用用时时的的系系统统称称为为自自治治系系统统，可可用如下系统状态方程来描述用如下系统状态方程来描述: 式式中中：x为为n维维状状态态向向量量
5、，f(x,t)为为线线性性或或非非线线性性、定常或时变的定常或时变的n维函数。具体为维函数。具体为n个一阶微分方程：个一阶微分方程：6第5章 李雅普诺夫稳定性分析 2. 受扰运动受扰运动 假定自治系统状态方程假定自治系统状态方程是是满满足足解解的的存存在在且且唯唯一一性性条条件件的的，则则可可将将系系统统由由t0初初始始时时刻刻的的初初始始状状态态x0所所引引起起的的运运动动（即即状态方程的解）表为：状态方程的解）表为：则则初初始始状状态态x0必必满满足足x(t0;x0,t0)=x0。由由于于这这一一运运动动是是由由初初始始状状态态的的扰扰动动引引起起的的，因因此此常常称称其其为系统的受扰运动
6、。为系统的受扰运动。 7第5章 李雅普诺夫稳定性分析 3. 平衡状态平衡状态()() 对于所有对于所有t，满足，满足 的状态的状态xe称为称为平衡状态平衡状态。p若若已已知知系系统统状状态态方方程程，令令 所所求求得得的的解解x，就是平衡状态。，就是平衡状态。p在在大大多多数数情情况况下下，xe=0即即状状态态空空间间原原点点为为系系统统的的一一个平衡状态。此外系统也可以有非零平衡状态。个平衡状态。此外系统也可以有非零平衡状态。p系系统统运运动动的的稳稳定定性性，就就是是研研究究其其平平衡衡状状态态的的稳稳定定性性，也也即即偏偏离离平平衡衡状状态态的的受受扰扰运运动动能能否否依依靠靠系系统统内
7、内部部的的结结构构因因素素而而返返回回到到平平衡衡状状态态，或或者者限限制制在在它它的的一一个个有限邻域内。有限邻域内。8第5章 李雅普诺夫稳定性分析 4. 李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性 若若对对于于任任意意实实数数0，都都存存在在一一个个实实数数(,t0)0，使得从满足不等式使得从满足不等式的任一初始状态的任一初始状态x0出发的受扰运动都满足不等式出发的受扰运动都满足不等式 则称则称系统的平衡状态系统的平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的是李雅普诺夫意义下稳定的.式式中中： 为为欧欧几几里里得得范范数数，其其几几何何意意义义是是空空间间距距离离的的尺度。尺度。9第5章 李
8、雅普诺夫稳定性分析 在在上上述述稳稳定定的的定定义义中中，实实数数通通常常与与和和初初始始时时刻刻t0都都有有关关，如如果果只只依依赖赖于于 ，而而和和t0的的选选取取无无关关，则称则称平衡状态是一致稳定的平衡状态是一致稳定的。该该定定义义的的几几何何含含义义是是：设设系系统统初初始始状状态态x0位位于于以以平平衡衡状态状态xe为球心、为球心、为半径的闭球域为半径的闭球域S()内，即内，即若若能能使使系系统统方方程程的的解解x(t;x0,t0)在在t的的过过程程中中，都都位位于于以以xe为为球球心心，任任意意规规定定的的半半径径为为的的闭闭球球域域S()内内，即即则称则称平衡状态平衡状态xe在
9、李雅普诺夫意义下是稳定的在李雅普诺夫意义下是稳定的。10第5章 李雅普诺夫稳定性分析 5. 渐近稳定性渐近稳定性 若若系系统统的的平平衡衡状状态态xe不不仅仅具具有有李李雅雅普普诺诺夫夫意意义下的稳定性，且有义下的稳定性，且有则称此则称此平衡状态平衡状态xe是渐近稳定的是渐近稳定的。p 经典控制理论中的稳定性定义与渐近稳定性对应。经典控制理论中的稳定性定义与渐近稳定性对应。p 若若与与t0无无关关，且且上上式式的的极极限限过过程程与与t0无无关关，则则称称平衡状态是一致渐近稳定的。平衡状态是一致渐近稳定的。p从从工工程程观观点点而而言言，渐渐近近稳稳定定更更为为重重要要。渐渐近近稳稳定定即即为
10、为工工程程意意义义下下的的稳稳定定，而而李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下的的稳稳定则是工程意义下的临界不稳定。定则是工程意义下的临界不稳定。 11第5章 李雅普诺夫稳定性分析 6. 大范围大范围(全局全局)渐近稳定性渐近稳定性 如果对于任意初始状态如果对于任意初始状态x0 ，都能保证，都能保证成成立立，则则称称系系统统的的平平衡衡状状态态xe是是大大范范围围渐渐近近稳定的，也称为全局渐近稳定稳定的，也称为全局渐近稳定。 也也就就是是说说当当初初始始条条件件扩扩展展至至整整个个状状态态空空间间，且且平平衡衡状状态态xe均均具具有有渐渐近近稳稳定定时时，称称此此平衡状态平衡状态xe是大范围渐近稳定
11、的。是大范围渐近稳定的。 p大范围渐近稳定系大范围渐近稳定系统只能有一个平衡状态。统只能有一个平衡状态。 12第5章 李雅普诺夫稳定性分析 7. 不稳定性不稳定性 如如果果对对于于某某个个实实数数0和和任任一一实实数数0，不不管管这这两两个个实实数数有有多多么么小小，在在S()内内总总存存在在着着一一个个状状态态x0，使使得得由由这这一一状状态态出出发发的的轨轨迹迹超超出出S() ，则则平衡状态平衡状态xe就称为是不稳定的就称为是不稳定的。13第5章 李雅普诺夫稳定性分析 xex0x1x2xe 李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定xex0x1x2xe 渐近稳定渐近稳定xex0x1x2xe
12、全局渐近稳定全局渐近稳定xex0x1x2xe 不稳定不稳定14第5章 李雅普诺夫稳定性分析 5. 2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法(间接法间接法) 间间接接法法利利用用状状态态方方程程解解的的特特性性来来判判断断系系统统的的稳稳定定性性；它它适适用用于于线线性性定定常常、线线性性时时变变以以及及非非线线性性函函数数可可线线性性化化的的情情况况。对对于于线线性性定定常常系系统统，可可使使用用其其特特征征值值来来判判断断系统稳定性。系统稳定性。 15第5章 李雅普诺夫稳定性分析 定理定理9-9 : 对线性定常系统对线性定常系统 , 有有1）系系统统的的每每一一个个平平衡衡状状态态是是李李雅雅普
13、普诺诺夫夫意意义义下下稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件为为：A的的所所有有特特征征值值均均具具有有非非正正(负负或或零零)实实部部，且且实实部部为为零零的的特特征征值值是是A的的最小多项式最小多项式的的单根单根。2）系系统统的的唯唯一一平平衡衡状状态态xe=0是是渐渐近近稳稳定定的的充充分分必要条件是必要条件是A的的所有所有特征值均具有特征值均具有负实部负实部。16第5章 李雅普诺夫稳定性分析 对对于于任任意意一一个个n阶阶方方阵阵A，总总存存在在一一个个多多项项式式f(s)满满足足f(A)=0，这这样样的的多多项项式式称称为为A的的一一个个化化零零多多项项式式。由由凯凯莱莱哈哈密密尔尔顿
14、顿定定理理可可知知任任意意一一个个方方阵阵A都是它的特征方程：都是它的特征方程： 的的根根，即即(A)=0 ,故故矩矩阵阵A的的特特征征多多项项式式是是A的的一一个个化化零零多多项项式式。方方阵阵A的的化化零零多多项项式式不不唯唯一一，有有无无穷穷多多个个，在在所所有有化化零零多多项项式式中中，次次数数最最低低且且最最高高次幂项系数为次幂项系数为1的多项式称为的多项式称为A的最小多项式。的最小多项式。最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式（补充）（补充）（补充）（补充）：17第5章 李雅普诺夫稳定性分析 定理：定理：已知已知设设m(s)为为adj(sI- -A)中所有元素的首中所有元素的首1
15、最大公约式最大公约式,则则 为矩阵为矩阵A的最小多项式。的最小多项式。注：换言之，矩阵注：换言之，矩阵A的最小多项式就是的最小多项式就是(sI- -A)-1中所有元素的最小公分母。中所有元素的最小公分母。18第5章 李雅普诺夫稳定性分析 例例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性解解：1）系系统统矩矩阵阵A为为奇奇异异矩矩阵阵，故故系系统统存存在在无无穷穷多多个个平平衡衡状状态态。系系统统的的平平衡衡状状态态为为 ，其其中中x1和和x2为为任任意意实实数数，即即状状态态空空间间中中x1x2平平面上的每一个点均为平衡状态。面上的每一个点均为平衡状态。得
16、特征值分别为：得特征值分别为： 。2）解系统的特征方程）解系统的特征方程19第5章 李雅普诺夫稳定性分析 3）故故最最小小多多项项式式为为f(s)=s(s+1)。系系统统所所有有特特征征值值均均具具有有非非正正实实部部，且且具具有有零零实实部部的的特特征征值值是是最最小小多多项项式式的的单单根根，因因此此系系统统的的每每一一个个平平衡衡状状态态都都是是李李雅雅普诺夫意义下稳定的。普诺夫意义下稳定的。20第5章 李雅普诺夫稳定性分析 例例5-2（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性解：系统矩阵解：系统矩阵A为非奇异，显然原点为非奇异，显然原点 x = 0 是
17、系统是系统的唯一平衡状态。的唯一平衡状态。得特征值分别为：得特征值分别为： 系系统统的的所所有有特特征征值值都都具具有有负负实实部部，所所以以系系统统的的唯唯一平衡状态一平衡状态xe=0是渐近稳定的。是渐近稳定的。 解系统的特征方程解系统的特征方程21第5章 李雅普诺夫稳定性分析 5. 3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法(直接法直接法) 李李雅雅普普诺诺夫夫第第二二法法直直接接从从系系统统的的状状态态方方程程出出发发，通通过过构构造造一一个个类类似似于于“能能量量”的的李李亚亚普普诺诺夫夫函函数数，并并分分析析它它和和其其一一阶阶导导数数的的符符号号特特征征，从从而而获获得得系系统统稳稳定定
18、性性的的有有关关信信息息。该该方方法法无无需需求求出出系系统统状状态态方方程程的解，故又称为直接法。的解，故又称为直接法。 22第5章 李雅普诺夫稳定性分析 一基本概念回顾一基本概念回顾 设设实实系系数数二二次次型型f(x)=xTAx，其其中中A是是实实对对称称方方阵阵，如如果果对对任任何何不不全全是是零零的的实实数数 ，简简记记为为x0，函函数数值值f(x)0，则则称称f是是正正定定的的，同同时时也称也称A是正定的，记为是正定的，记为A 0。1正定矩阵：正定矩阵：p 单位阵是正定的：单位阵是正定的： p对角阵对角阵D=diagd1, dn正定的充要条件是所正定的充要条件是所有对角元素有对角元
19、素di 0。这是因为。这是因为 的充要条件是的充要条件是di 0 。23第5章 李雅普诺夫稳定性分析 p A 0的充要条件是的充要条件是 存在可逆实方阵存在可逆实方阵C，使，使A=CTC。 A的所有特征值全都大于的所有特征值全都大于0。 A顺序主子式顺序主子式(即位于左上角的主子式即位于左上角的主子式)全大于全大于0， 即即24第5章 李雅普诺夫稳定性分析 p 标标量量函函数数V(x)对对所所有有S域域（域域S包包含含状状态态空空间间的的原原点点）中中的的非非零零状状态态x有有V(x)0且且V(0) = 0，则则称称V(x)在在S域内是正定的。域内是正定的。p如如果果时时变变函函数数V(x,t
20、)有有一一个个正正定定函函数数作作为为下下限限，也就是说，存在一个正定函数也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得，使得则则称称时时变变函函数数V(x,t)在在域域S（域域S包包含含状状态态空空间间的的原点）内是正定的。原点）内是正定的。2正定函数：正定函数：25第5章 李雅普诺夫稳定性分析 3. 负负定定函函数数：如如果果- -V(x)是是正正定定函函数数，则则标标量量函函数数V(x)为负定函数。为负定函数。4. 正正半半定定函函数数：如如果果标标量量函函数数V(x)除除了了原原点点及及某某些些状状态态处处等等于于零零外外，在在域域S内内的的所所有有其其它它状状态态都都是是正正定的，则定的
21、，则V(x)为正半定函数。为正半定函数。5. 负负半半定定函函数数：如如果果- -V(x)是是正正半半定定函函数数，则则标标量量函数函数V(x)称为负半定函数。称为负半定函数。6. 不不定定函函数数：如如果果不不论论域域S多多么么小小，在在域域S内内的的V(x)可可能能是是负负值值也也可可能能为为正正值值，则则标标量量函函数数V(x)称称为不定函数。为不定函数。26第5章 李雅普诺夫稳定性分析 三李雅普诺夫第二法主要定理三李雅普诺夫第二法主要定理1定理定理9-10（大范围一致渐近稳定判别定理）（大范围一致渐近稳定判别定理）(非线性时变系统，略）非线性时变系统，略）27第5章 李雅普诺夫稳定性分
22、析 2. 定理定理9-11 (定常系统大范围渐近稳定判别定理定常系统大范围渐近稳定判别定理1) 对于定常系统对于定常系统其其中中f(0)=0，如如果果存存在在一一个个具具有有连连续续一一阶阶导导数数的的标标量量函函数数V(x), V(0) = 0，并并且且对对于于状状态态空空间间X中中的一切非零点的一切非零点x满足如下条件：满足如下条件： 1） V(x)为正定；为正定； 2） 为负定；为负定； 3） 当当 时，时， 。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。28第5章 李雅普诺夫稳定性分析 例例5-3：设系统状态方程为：设系统状态方程为试确定系统的稳定性
23、。试确定系统的稳定性。解解：显显然然, 原原点点(x1=0, x2=0)是是该该系系统统唯唯一一的的平平衡衡状状态态。选取正定标量函数为选取正定标量函数为:则沿任意轨线则沿任意轨线V(x)对时间的导数为对时间的导数为:是负定的。是负定的。 故故V(x)是系统的一个李雅普诺夫函数。由于是系统的一个李雅普诺夫函数。由于当当 时，时， ，故系统在原点处的平衡状态，故系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。是大范围渐近稳定的。 29第5章 李雅普诺夫稳定性分析 3. 定理定理9-12 (定常系统大范围渐近稳定判别定理定常系统大范围渐近稳定判别定理2) 对于定常系统对于定常系统其其中中f(0)=0，如
24、如果果存存在在一一个个具具有有连连续续一一阶阶导导数数的的标标量量函函数数V(x), V(0) = 0，并并且且对对于于状状态态空空间间X中中的一切非零点的一切非零点x满足如下条件：满足如下条件： 1） V(x)为正定；为正定； 2） 为负半定；为负半定； 3） 对于任意对于任意 ； 4） 当当 时，时， 。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。30第5章 李雅普诺夫稳定性分析 设系统状态方程为设系统状态方程为例例5-4设系统状态方程为设系统状态方程为 试确定系统的稳定性。试确定系统的稳定性。31第5章 李雅普诺夫稳定性分析 4. 定理定理9-13 (
25、不稳定的判别定理不稳定的判别定理)对于定常系统对于定常系统 ， 其中其中如如果果存存在在一一个个具具有有连连续续一一阶阶导导数数的的标标量量函函数数V(x)，其其中中V(0)=0 ，和和围围绕绕原原点点的的域域，使使得得对于一切对于一切 和一切和一切 满足如下条件：满足如下条件：1） V(x)为正定；为正定；2） 为正定；为正定；则系统平衡状态为不稳定。则系统平衡状态为不稳定。32第5章 李雅普诺夫稳定性分析 5. 4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析()作为可能的李雅普诺夫函数。现在只需保证作为可能的李雅普诺夫函数。现在只需保证是是负负定定的的，则则根根据
26、据定定常常系系统统大大范范围围渐渐近近稳稳定定判判别别定理定理1，可断定系统是大范围渐近稳定的。，可断定系统是大范围渐近稳定的。 设线性定常系统为设线性定常系统为A为为非非奇奇异异矩矩阵阵。故故状状态态空空间间的的原原点点是是系系统统的的唯唯一平衡状态。通常可选取正定二次型函数一平衡状态。通常可选取正定二次型函数一、线性定常连续系统渐近稳定的判据一、线性定常连续系统渐近稳定的判据33第5章 李雅普诺夫稳定性分析 欲欲使使 是是负负定定函函数数，即即要要求求矩矩阵阵Q是是任任意意正正定矩阵。定矩阵。 根根据据定定常常系系统统大大范范围围渐渐近近稳稳定定判判别别定定理理1，只只要要给给定定一一个个
27、正正定定矩矩阵阵Q，李李雅雅普普诺诺夫夫矩矩阵代数方程：阵代数方程：有正定解有正定解P，系统就是大范围渐近稳定的。系统就是大范围渐近稳定的。推导推导V(x)对时间导数满足要求的条件：对时间导数满足要求的条件：令：令：李亚普诺夫矩李亚普诺夫矩阵代数方程阵代数方程34第5章 李雅普诺夫稳定性分析 定理定理9-14 线性定常系统线性定常系统的原点平衡状态的原点平衡状态 为渐近稳定的充分必要条件为渐近稳定的充分必要条件是，对于任意给定的一个正定对称矩阵是，对于任意给定的一个正定对称矩阵Q，李雅普，李雅普诺夫矩阵方程诺夫矩阵方程有唯一正定对称矩阵解有唯一正定对称矩阵解P。 注意：使用中常选取注意：使用中
28、常选取Q阵为单位阵或对角阵。阵为单位阵或对角阵。35第5章 李雅普诺夫稳定性分析 例例9-41 （） 设线性定常连续系统状态方程为设线性定常连续系统状态方程为解：解：令李雅普诺夫方程为令李雅普诺夫方程为试用李雅普诺夫方程判断系统的稳定性。试用李雅普诺夫方程判断系统的稳定性。则有：则有：36第5章 李雅普诺夫稳定性分析 得到得到3个线性方程：个线性方程： 由于由于 ，故，故P负负定，则系统不是渐近稳定的定，则系统不是渐近稳定的。得到：得到：37第5章 李雅普诺夫稳定性分析 解得特征值为：解得特征值为：有一个特征值具有正实部，故有一个特征值具有正实部，故系统不稳定。系统不稳定。为了对比，下面用李亚
29、普诺夫间接法判断：为了对比，下面用李亚普诺夫间接法判断：A是非奇异矩阵，故是非奇异矩阵，故xe=0是系统的唯一平衡状态，是系统的唯一平衡状态，且且38第5章 李雅普诺夫稳定性分析 根根据据系系统统大大范范围围渐渐近近稳稳定定判判别别定定理理2可可以以推推知知，若若系系统统任任意意的的状状态态轨轨迹迹在在非非零零状状态态不不存存在在 恒恒为为零零时时，Q阵阵可可选选择择为为正正半半定定的的，即即允允许许Q取取单单位位阵阵时时主主对对角角线线上上部分元素为零，而解得的部分元素为零，而解得的P阵仍应正定。阵仍应正定。 39第5章 李雅普诺夫稳定性分析 例例5-6设系统为设系统为试用李雅普诺夫方程确定
30、系统渐近稳定的试用李雅普诺夫方程确定系统渐近稳定的k值。值。解：解：根据图中定义的状态变量，得到状态方程根据图中定义的状态变量，得到状态方程 x1 x2 x3 u-因因detA=- -k0，A非非奇奇异异，故故原原点点是是系系统统的的唯唯一平衡状态。一平衡状态。 - -40第5章 李雅普诺夫稳定性分析 假定假定Q取为正半定矩阵取为正半定矩阵则则 为负半定。为负半定。 令令 ，有，有 表明惟有原点使表明惟有原点使 ，故可以采用正半定，故可以采用正半定Q来简化稳定性分析。来简化稳定性分析。41第5章 李雅普诺夫稳定性分析 令李雅普诺夫方程：令李雅普诺夫方程：得到以下得到以下6个线性方程：个线性方程
31、：42第5章 李雅普诺夫稳定性分析 P为为正定矩阵的正定矩阵的充要条件充要条件是：是：解得：解得：解得解得 0 k 6，系统渐近稳定。，系统渐近稳定。43第5章 李雅普诺夫稳定性分析 据劳斯判据，确定保证系统渐近稳定的据劳斯判据，确定保证系统渐近稳定的k值范围：值范围：为了比较，用间接法判断：为了比较，用间接法判断：故故0 k 6时，所有特征值均具有负实部，系统稳定。时，所有特征值均具有负实部，系统稳定。 是系统的唯一平衡状态，且是系统的唯一平衡状态，且44第5章 李雅普诺夫稳定性分析 定定理理（补补充充） 对对于于所所选选择择的的正正半半定定矩矩阵阵Q，在在A,Q完全可观测的条件下，即完全可
32、观测的条件下，即系系统统为为渐渐近近稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是，李李雅雅普普诺夫方程有唯一正定解诺夫方程有唯一正定解P。45第5章 李雅普诺夫稳定性分析 例例5-6（P509 例例9-42）设系统为）设系统为试用李雅普诺夫方程确定系统渐近稳定的试用李雅普诺夫方程确定系统渐近稳定的k值。值。解：解：根据图中定义的状态变量，得到状态方程根据图中定义的状态变量，得到状态方程 x1 x2 x3 u-因因detA=- -k0，A非非奇奇异异，故故原原点点是是系系统统的的唯唯一平衡状态。一平衡状态。 46第5章 李雅普诺夫稳定性分析 假定假定Q取为正半定矩阵取为正半定矩阵则则 为负半定。为负
33、半定。 令令 ，有，有 表明惟有原点使表明惟有原点使 ，故可以采用正半定，故可以采用正半定的的Q来简化稳定性分析。来简化稳定性分析。检查检查A,Q的可观性：的可观性： , A,Q完全可观测完全可观测 故该正半定的故该正半定的Q可以采用。可以采用。47第5章 李雅普诺夫稳定性分析 令李雅普诺夫方程：令李雅普诺夫方程：得到以下得到以下6个线性方程：个线性方程：48第5章 李雅普诺夫稳定性分析 P为为正定矩阵的正定矩阵的充要条件充要条件是：是：解得：解得：解得解得 0 k 0)。解：解： 期望观测器特征多项式为期望观测器特征多项式为用待定系数计算观测器的特征多项式用待定系数计算观测器的特征多项式全维状态观测器为全维状态观测器为105
