高斯求积公式

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1、4.5 4.5 高斯求积公式高斯求积公式1 4.5.1 4.5.1 一般理论一般理论 求积公式 含有 个待定参数 当 为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为 次. 如果适当选取 有可能使求积公式具有 次代数精度，这类求积公式称为高斯高斯(Gauss)求积公式求积公式. 2 为具有一般性，研究带权积分这里 为权函数，类似(1.3)，求积公式为 （5.1）为不依赖于 的求积系数.使（5.1）具有 次代数精度.为求积节点，可适当选取 定义定义4 4如果求积公式(5.1)具有 次代数精度，则称其节点 为高斯点高斯点，相应公式(5.1)称为高斯求积公式高斯求积公式.3 根据定义要使(5.1)具有

2、 次代数精度，只要对（5.2）当给定权函数 ，求出右端积分，则可由(5.2)解得 令(5.1)精确成立，即4 例例5 5（5.3） 解解令公式(5.3)对于 准确成立，试构造下列积分的高斯求积公式： 得 （5.4）5由于 利用(5.4)的第1式，可将第2式化为 同样地，利用第2式化第3式，利用第3式化第4式，分别得 从上面三个式子消去 有 6进一步整理得 由此解出 从而 7这样，形如(5.3)的高斯公式是 由于非线性方程组(5.2)较复杂，通常 就很难求解. 故一般不通过解方程(5.2)求 ，而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式. 8 定理定理5 5是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的

3、多项式与任何次数不超过 的多项式 带权 正交，（5.5） 证明证明即插值型求积公式(5.1)的节点必要性. 设则9是高斯点，因此，如果 精确成立，因即有故(5.5)成立. 则求积公式(5.1)对于 充分性. 用 除 ，记商为 ，余式为 ，即 , 其中 . 对于由(5.5)可得 （5.6）10由于求积公式(5.1)是插值型的，它对于 是精确的，即 再注意到知从而由(5.6)有11可见求积公式(5.1)对一切次数不超过 的多项式均精确成立. 因此， 为高斯点. 定理表明在 上带权 的 次正交多项式的零点就是求积公式(5.1)的高斯点. 有了求积节点 ，再利用对 成立，的线性方程. 解此方程则得 则

4、得到一组关于求积系数12 下面讨论高斯求积公式(5.1)的余项. 利用 在节点 的埃尔米特插值于是 也可直接由 的插值多项式求出求积系数 即 13两端乘 ，并由 到 积分，则得 （5.7）其中右端第一项积分对 次多项式精确成立，故 由于（5.8）由积分中值定理得(5.1)的余项为 关于高斯求积公式的稳定性与收敛性，有： 14 定理定理6 6 证明证明它是 次多项式，因而 是 次多项式，注意到高斯求积公式(5.1)的求积系数 全是正的. 考察 故高斯求积公式(5.1)对于它能准确成立，即有 上式右端实际上即等于从而有 15由本定理及定理2，则得 推论推论 定理定理7 7定理得证. 高斯求积公式(

5、5.1)是稳定的. 设即则高斯求积公式(5.1)收敛，16 4.5.2 4.5.2 高斯高斯- -勒让德求积公式勒让德求积公式 在高斯求积公式(5.1)中，由于勒让德多项式是区间 上的正交多项式，因此，勒让德多项式 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. 形如(5.9)的高斯公式称为高斯高斯- -勒让德求积公式勒让德求积公式. 区间为则得公式 若取权函数（5.9）17令它对 准确成立，即可定出 这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式为是中矩形公式. 若取 的零点 做节点构造求积公式 再取 的两个零点 构造求积公式 18令它对 都准确成立，有 由此解出三点高斯-勒让德公式的形式是 表4-7列出高斯

6、-勒让德求积公式(5.9)的节点和系数. 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 1920 由(5.8)式，这里 是最高项系数为1的勒让德多项式. 由第3章(2.6)及(2.7) 公式(5.9)的余项 21得（5.10）当 时，有 它比区间 上辛普森公式的余项 还小，且比辛普森公式少算一个函数值. 当积分区间不是 ，而是一般的区间 时，只要做变换 22可将 化为 , （5.10）对等式右端的积分即可使用高斯-勒让德求积公式. 这时 23 例例6 6用4点( )的高斯-勒让德求积公式计算 解解先将区间 化为 ，根据表4-7中 的节点及系数值可求得 由(5.11)有 24 4.5.3 4.5.3 高斯高

7、斯- -切比雪夫求积公式切比雪夫求积公式 若 且取权函数 则所建立的高斯公式为 （5.12）称为高斯高斯- -切比雪夫求积公式切比雪夫求积公式. 25 由于区间 上关于权函数 的正交多项式是切比雪夫多项式，因此求积公式(5.12)的高斯点是 次切比雪夫多项式的零点，即为 (5.12)的系数 使用时将 个节点公式改为个节点，（5.13）于是高斯-切比雪夫求积公式写成 26由(5.9)，余项 带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分. （5.14）27 例例7 7用5点( )的高斯-切比雪夫求积公式计算积分 解解当 时由公式(5.13)由(5.14)式，误差 这里可得 284.6 4.6 数数 值值

8、微微 分分 数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值. 29 4.6.1 4.6.1 中点方法与误差分析中点方法与误差分析 按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式 其中 为一增量，称为步长步长. . （6.1）30 后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种方法的算术平均. 但它的误差阶却由 提高到 较为常用的是中点公式. 为利用中点公式 计算导数的近似值，首先必须选取合适的步长，为此需要进行误差分析. 分别将 在 处做泰勒展开有 31代入中点公式得 从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确. 其中 且（6.2）32 再考察舍入误差. 按中点公式，

9、当 很小时，因 与 很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失. 因此，从舍入误差的角度来看，步长是不宜太小的. 例如，用中点公式求 在 处的一阶导数 取4位数字计算. 结果见表4-8(导数的准确值 ). 33 从表4-8中看到 的逼近效果最好，如果进一步缩小步长，则逼近效果反而越差. 则计算 的舍入误差上界为 这是因为当 及 分别有差入误差 及 若令34它表明 越小，舍入误差 越大，故它是病态的. 用中点公式(6.1)计算 的误差上界为 要使误差 最小，步长 不宜太大，也不宜太小. 其最优步长应为 35 4.6.2 4.6.2 插值型的求导公式插值型的求导公式 对于列表函数 运用插值原理，可以

10、建立插值多项式 作为它的近似. 由于多项式的求导比较容易，我们取 的值作为 的近似值，这样建立的数值公式 （6.3）统称插值型的求导公式插值型的求导公式. 36 即使 与 的值相差不多，与导数的真值 仍然可能差别很大.导数的近似值 因而在使用求导公式(6.3)时应特别注意误差的分析. 依据插值余项定理，求导公式(6.3)的余项为 式中 37 但如果限定求某个节点 上的导数值，那么第二项中 由于 是 的未知函数，所以对随意给出的点 ，误差是无法预估的. 因式 变为零，这时余项公式为（6.4） 下面仅考察节点处的导数值并假定所给节点是等距的. 38 1. 两点公式 设已给出两个节点 上的函数值对上

11、式两端求导，记 ，有 做线性插值 于是有下列求导公式： 39利用余项公式(6.4)知，带余项的两点公式是 40 2. 三点公式 设已给出三个节点 上的函数值，做二次插值 令 上式可表示为 41两端对 求导，有 （6.5）式中撇号（）表示对变量 求导数. 42 分别取 得到三种三点公式： 带余项的三点求导公式为 （6.6）43其中的公式(6.6)是中点公式. 它比其余两个三点公式少用了一个函数值. 用插值多项式 作为 的近似函数，还可以建立高阶数值微分公式： 例如，将式(6.5)再对 求导一次，有 44于是有 而带余项的二阶三点公式如下： （6.7）45 4.6.3 4.6.3 利用数值积分求导

12、利用数值积分求导 微分是积分的逆运算，因此可利用数值积分的方法来计算数值微分. 设 是一个充分光滑的函数，（6.8）对上式右边积分采用不同的求积公式就可得到不同的数值微分公式. 则有46 例如，用中矩形公式(1.2)，则得 从而得到中点微分公式 若对(6.8)右端积分用辛普森求积公式，则有 47略去上式余项，并记 的近似值为 则得到辛普森数值微分公式 这是关于 的 个方程组， 已知，（6.9）若 则可得48这是关于 的三对角方程组，且系数矩阵为严格对角占优的，可用追赶法求解(见第5章5.4节). 如果端点导数值不知道，那么对(6.9)中第1个和第 个方程可分别用 及 的中点微分公式近似，然后求

13、即为 的近似值. 即取49 例例8 8给定 的一张数据表(表4-9左部)，并给定 及 的值(见表4-9). 解解解之得 利用辛普森数值微分公式求 在上的一阶导数. 结果见表4-9. 根据(6.9)有 5051 4.6.4 4.6.4 三次样条求导三次样条求导 三次样条函数 与 ，不但函数值很接近，而且导数值也很接近，并有 （6.10）因此利用三次样条函数 接得到 根据第2章(7.8)，(7.9)可求得 52这里 为一阶均差. 其误差由(6.10)可得 53 4.6.5 4.6.5 数值微分的外推算法数值微分的外推算法 利用中点公式计算导数值时 对 在点 做泰勒级数展开有 其中 与 无关. 利用理查森外推对 逐次分半，则有 若记 54（6.11）公式(6.11)的计算过程见表4-10，表中数字为外推步数. 55根据理查森外推方法，(6.11)的误差为 由此看出当 较大时，计算是很精确的. 例例9 9 解解当 时，由外推法表4-10可算得 考虑到舍入误差，一般 不能取太大. 用外推法计算 在 的导数. 令 56 的精确值为 可见当 时用中点微分公式只有3位有效数字，外推一次达到5位有效数字，外推两次达到9位有效数字.57