《北师大版必修2高中数学1.6.1《垂直关系的判定》课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版必修2高中数学1.6.1《垂直关系的判定》课件（85页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 直线与平面垂直的证明方法(1)(1)定义法. .证明直线与平面内的任何一条( (或所有) )直线都垂直. .此法的缺点是“操作性”太差. .直线与平面垂直的判定 (2)(2)判定定理法. .本质：证线面垂直 证线线垂直. .重点问题：要与两条相交直线垂直. .所体现的思想：将空间问题“平面化”的思想. .此法便于操作, ,是证明线面垂直的主要方法. .(3)(3)推论若abab，aa，则bb；若，aa，则a.a. 要特要特别注意在空注意在空间中中线线垂直有两种情况，垂直有两种情况，即即 “垂直垂直”=“相交垂直相交垂直”+“异面垂直异面垂直”.【例1 1】如图所示，已知直角三角形ABCABC
2、所在平面外一点S S，且SA=SB=SC.SA=SB=SC.求证：点S S与斜边ACAC的中点D D的连线SDSD平面ABCABC；【审题指指导】根据根据题目中目中线段相等关系可以由等腰三角形段相等关系可以由等腰三角形底底边上的中上的中线得到得到线线垂直，从而得到垂直，从而得到线面垂直面垂直【规范解答范解答】取取AB中点中点E，连接接DE、SED是是AC的中点的中点. ED BC，又，又BC AB，DE ABSA=SB，E是是AB的中点的中点, SE AB.又又DESE=E, AB 平面平面SED.又又SD 平面平面SED, AB SDSA=SC，D为AC中点，中点，SD AC又又AB 平面平
3、面ABC，AC 平面平面ABC，ABAC=A, SD 平面平面ABC【例】如图, ,已知ABCABC中,ACB=90,ACB=90, ,SASA平面ABC,ADSCABC,ADSC于D,D,求证:AD:AD平面SBC.SBC.【审题指指导】由于已知由于已知AD SC，所以要，所以要证AD 平面平面SBC，只要只要证明明AD BC或或AD SB，结合合题目条件可知目条件可知AD BC更更易易证出出.【规范解答范解答】 ACB=90，BC AC.又又SA 平面平面ABC，SA BC.又又ACSA=A, BC 平面平面SAC. AD 平面平面SAC，BC AD.又又SC AD，SCBC=C，AD 平
4、面平面SBC.1.1.对平面与平面垂直的判定定理的理解：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直. .通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”. .因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题. .平面与平面垂直的判定2.2.平面与平面垂直的判定方法(1)(1)定义法. .即证明这两个平面所成的二面角的平面角是直角. .应用此法证明面面垂直的关键是正确地作出( (或找出) )二面角的平面角. .(2)(2)判定定理法. .本质：证面面垂直 证线面垂直. .关键：在其中一个平面内寻找另一个平面的垂线. .【例2 2】(2010(2
5、010湖南高考) )如图所示，在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，AB=AD=1AB=AD=1，AAAA1 1=2=2，M M是棱CCCC1 1的中点. .(1)(1)求异面直线A A1 1M M和C C1 1D D1 1所成角的正切值； (2)(2)证明：平面ABMABM平面A A1 1B B1 1M.M.【审题指指导】(1) 由由C1D1 B1A1可以得到异面直可以得到异面直线A1M与与C1D1所成的角所成的角. (2)关关键是要在矩形是要在矩形BCC1B1内用内用线段之段之间的的长度关系度关系证明明BM B1M.【规范解答范解答】(1) C1D1
6、 B1A1，MA1B1为异面直异面直线A1M与与C1D1所成的角所成的角. A1B1 平面平面BCC1B1,A1B1M=90.而而A1B1=1，故故即异面直即异面直线A1M和和C1D1所成角的正切所成角的正切值为(2) 由由A1B1 平面平面BCC1B1，BM 平面平面BCC1B1，得得A1B1 BM ,又又B1B=2，同理同理B1M2+BM2=B1B2,从而从而BM B1M. 又又A1B1B1M=B1，再由，再由，得得BM 平面平面A1B1M.而而BM 平面平面ABM，因此平面因此平面ABM 平面平面A1B1M.1.1.正确理解二面角及其平面角的概念. .(1)(1)二面角是一个空间图形，而
7、二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想. .(2)(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角的取值范围是0 0 180180. .作二面角的平面角 2.2.定义法作二面角的平面角(1)(1)在二面角的棱上找一个恰当的点. .(2)(2)过此点分别在两个半平面内作棱的垂线. .【例3 3】如图所示，在直角三角形ABCABC中，ACB=30ACB=30，ABC=90ABC=90，D D为ACAC中点，E E为BDBD中点，AEAE的延长线交BCBC于点F F，将ABDABD沿BDBD折起使FAFA平面
8、DBC(DBC(如图) )，试证AEFAEF是二面角A-BD-CA-BD-C的平面角，并求AEFAEF的余弦值. .【审题指指导】折叠折叠问题要注意折叠前后不要注意折叠前后不变的的长度或位置度或位置关系关系.【规范解答范解答】 在直角三角形在直角三角形ABC中，中，ACB=30，ABC=90, AC=2AB.又又D为AC的中点，的中点，AB=AD.又又E为BD的中点的中点, BD AF, 在在图中，中，BD AE，BD EF,AEF是二面角是二面角A-BD-C的平面角的平面角. AF 平面平面DBC，EF 平面平面DBC, AF EF, 在在Rt AEF中中设AB=2a则在在Rt ABE中，中
9、，ABE=60,BE=ABcos ABE=a.在在Rt BEF中中FBE=30，【典例】(12(12分)(2010)(2010陕西高考改编) )如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面ABCDABCD是矩形,PA,PA平面ABCDABCD，AP=AB=2AP=AB=2， E E，F F分别是AD,PCAD,PC的中点. .证明：BCBC平面PABPAB，PCPC平面BEF.BEF.【审题指指导】要要证BC 平面平面PAB关关键是要是要证BC PA；要；要证PC 平面平面BEF，关，关键要通要通过线段段长度的度的计算算发现等腰三角等腰三角形，利用等腰三角形的性形，利用等腰三角形的性质证明明
10、线线垂直垂直.【规范解答范解答】连接接PE，EC. PA 平面平面ABCD，BC 平面平面ABCD, BC PA. 2分分底面底面ABCD是矩形，是矩形，BC AB，又，又PAAB=A，BC 平面平面PAB. 4分分在在Rt PAE，Rt CDE中，中，PA=AB=CD, AE=DE, Rt PAE Rt CDE. 6分分PE= CE, 即即PEC 是等腰三角形，是等腰三角形，又又F是是PC 的中点，的中点，EF PC, 8分分又又F是是PC的中点，的中点，BF PC. 10分分又又BFEF=F，PC 平面平面BEF. 12分分【误区警示区警示】对解答本解答本题时易犯的易犯的错误具体分析如下：
11、具体分析如下：1.1.过平面外一点P P(1)(1)存在无数条直线与平面平行；(2)(2)存在无数条直线与平面垂直；(3)(3)有且只有一条直线与平面平行；(4)(4)有且只有一条直线与平面垂直. .以上说法中正确的个数是( )( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析解析】选B.由面面平行的性由面面平行的性质知知过点点P与平面与平面平行的平平行的平面内任意一条直面内任意一条直线都与平面都与平面平行，故平行，故(1)正确，正确，(3)错误.过平面平面外一点外一点P有且只有一条直有且只有一条直线与平面与平面垂直垂直,故故(2)错误，(4)正确正确.故
12、故选B.2.2.下列说法正确的是( )( )(A)(A)二面角的大小范围是大于0 0小于9090(B)(B)一个二面角的平面角可以不相等(C)(C)二面角的平面角的顶点可以不在棱上(D)(D)二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直【解析解析】选D.由二面角及其平面角的定由二面角及其平面角的定义知知B、C错误，由，由于二面角的大小范于二面角的大小范围是大于等于是大于等于0且小于等于且小于等于180，故，故A错误.D正确，正确，实际上，二面角的棱垂直于二面角的平面角的上，二面角的棱垂直于二面角的平面角的两条两条边，当然与二面角的平面角所在的平面垂直，当然与二面角的平面角所在的平面垂直.3.3.一
13、条直线和三角形的两边都垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是_._.【解析解析】因因为三角形的两三角形的两边相交，所以直相交，所以直线和三角形的两和三角形的两边都垂直就与三角形所在的平面垂直，因此都垂直就与三角形所在的平面垂直，因此这条直条直线和三和三角形的第三角形的第三边垂直垂直.答案：答案：垂直垂直4.4.把RtABCRtABC沿斜边上的高CDCD折成直二面角A-CD-B,A-CD-B,如图所示，互相垂直的平面有_对. .【解析解析】因因为CD AD，CD BD，BDAD=D,所以所以CD 平面平面ABD.所以平面所以平面ACD 平面平面ABD，平面，平面BCD 平面平面ABD，又平
14、面，又平面ACD 平面平面BCD,所以共有所以共有3对.答案：答案：35.5.如图，三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的侧面BCCBCC1 1B B1 1是菱形，B B1 1CACA1 1B B，证明：平面ABAB1 1CC平面A A1 1BCBC1 1. .【证明明】 侧面面BCC1 1B1 1是菱形是菱形, B1 1C BC1 1.又又B1 1C A1 1B，且，且A1 1BBC1 1=B, B1 1C 平面平面A1 1BC1 1,又又B1 1C 平面平面AB1 1C, 平面平面AB1 1C 平面平面A1 1BC1 1.一、选择题( (每题4 4分，共1616分) )
15、1.1.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有( )( )(A)0(A)0个 (B)1(B)1个(C)(C)无数个 (D)1(D)1个或无数个【解析解析】选D.当两点当两点连线与与垂直垂直时，过此直此直线的所有平面的所有平面都与都与垂直，故有无数个垂直，故有无数个.当两点当两点连线与与不垂直不垂直时，过平面平面外的此点向平面外的此点向平面作垂作垂线，所作垂，所作垂线与平面与平面内的点确定平内的点确定平面面，则 ，故只有一个，故只有一个.2.2.已知二面角-l-和异面直线n n，m m，nn，mm且异面直线n n与m m所成的角为3030，则二面角-l-的平面角为( )( )(A)30(A
16、)30或150150 (B)60 (B)60或120120(C)90(C)90 (D) (D)无法确定【解析解析】选A.以下面两个以下面两个图为例例说明，明，过点点P作作PA n，PB m，可，可证二面角的棱垂直于平面二面角的棱垂直于平面PAB，AOB为二面角二面角-l-的平面角，因此可将二面角的平面角和两条异面直的平面角，因此可将二面角的平面角和两条异面直线所成的角放到同一个平面内研究所成的角放到同一个平面内研究.由由图可知可知这两个角相等或两个角相等或互互补.3.(20113.(2011杭州高二检测) )如图，在三棱锥P-ABCP-ABC中，已知PCBCPCBC，PCACPCAC，点E E
17、、F F、G G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是( )( )(A)(A)平面EFGEFG平面PBCPBC(B)(B)平面EFGEFG平面ABCABC(C)BPC(C)BPC是直线EFEF与直线PCPC所成的角(D)FEG(D)FEG是平面PABPAB与平面ABCABC所成二面角的平面角【解析解析】选D.A正确正确,由三角形的中位由三角形的中位线的性的性质可可证EG BC，FG PC，进而可而可证平面平面EFG 平面平面PBC.B正确正确,由由PC BC，PC AC可可证PC 平面平面ABC，又因，又因为PC FG，所以，所以FG 平面平面ABC，所以平面，所以平面EFG 平面平面ABC
18、.C正确正确,因因为E、F分分别为所在棱的中点，所以所在棱的中点，所以EF PB，所以，所以BPC是直是直线EF与直与直线PC所成的角所成的角.D错误,因因为AB与平面与平面EFG不垂直不垂直.4.4.在正四面体P-ABCP-ABC中，D D、E E、F F分别是ABAB、BCBC、CACA的中点，下面四个结论中不成立的是( )( )(A)BC(A)BC平面PDFPDF(B)DF(B)DF平面PAEPAE(C)(C)平面PDFPDF平面ABCABC(D)(D)平面PAEPAE平面ABCABC【解析解析】选C. D、F分分别是是AB、CA的中点的中点, DF BC.又又BC 平面平面PDF,DF
19、 平面平面PDF，BC 平面平面PDF. AB=AC，E是是BC的中点的中点, BC AE.同理可同理可证BC PE，且，且PEAE=E, BC 平面平面PAE.又又DF BC DF 平面平面PAE.又又BC 平面平面ABC, 平面平面PAE 平面平面ABC. PAPE，G是是AE的中点的中点, PG与与AE不垂直不垂直.又又二面角二面角P-DF-E的平面角是的平面角是PGE, 平面平面PDF与平面与平面ABC不垂直不垂直. 【误区警示区警示】解答本解答本题易出易出现判断判断C正确的情况正确的情况.出出错的的原因一方面是只从直原因一方面是只从直观感知，忽感知，忽视逻辑推理，另一方面是推理，另一
20、方面是忘忘记了用面面垂直的定了用面面垂直的定义判断判断.二、填空题( (每题4 4分，共8 8分) )5. 5. 已知平面，和直线m m，给出条件：mm；mm；m m ；.(1)(1)当满足条件_时，有mm；(2)(2)当满足条件_时，有m.(m.(填所选条件的序号) )【解析解析】由面面平行和由面面平行和线面平行的定面平行的定义知若知若m， 则m ；由；由线面垂直的定面垂直的定义知若知若m ， ，则m .答案：答案：(1) (2)6.6.如图，ABAB是圆的直径，PAPA垂直于圆所在的平面，C C是圆上一点( (不同于A A、B)B)且PA=ACPA=AC，则二面角P-BC-AP-BC-A的
21、大小为_._.【解析解析】 PA 平面平面ABC，PA BC，AB为直径，易得直径，易得BC AC，BC 平面平面PAC，BC PC，PCA为二面角二面角P-BC-A的平面角的平面角.在在Rt PAC中，中，PA=AC，PCA=45.答案：答案：45三、解答题( (每题8 8分，共1616分) )7. 7. 如图，在矩形ABCDABCD中， E E为BCBC的中点，把ABEABE和CDECDE沿AEAE、DEDE折起，使点B B与点C C重合于点P P，求证：平面PEDPED平面PAD.PAD.【证明明】由矩形由矩形ABCD知折叠前知折叠前AB BE，折叠后折叠后AP PE，同理，同理PD P
22、E，PD 平面平面PAD，PA 平面平面PAD，PDPA=P，PE 平面平面PAD PE 平面平面PED, 平面平面PED 平面平面PAD.8.(20118.(2011北京模拟) )如图，在三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，每个侧面均为正方形，D D为底边ABAB的中点，E E为侧棱CCCC1 1的中点. .(1)(1)求证：CDCD平面A A1 1EBEB；(2)(2)求证：ABAB1 1平面A A1 1EBEB 【解解题提示提示】(1)要要证CD 平面平面A1EB，只要，只要证CD与平面与平面A1EB内的一条直内的一条直线平行平行.这就必就必须连接点接点E与与AB
23、1和和A1B的的交点交点O.(2)要要证AB1 平面平面A1EB，关，关键要要证AB1垂直于点垂直于点E与与AB1和和A1B的交点的交点O的的连线EO，可利用，可利用EO CD转化化为证明明AB1 CD.【证明明】(1)设AB1和和A1B的交点的交点为O，连接接EO，连接接OD， O为AB1的中点，的中点，D为AB的中点，的中点， OD BB1，且，且又又E是是CC1的中点，的中点，EC BB1 ，且且所以所以EC OD且且EC=OD.所以四所以四边形形ECDO为平行四平行四边形，所以形，所以EO CD. 又又CD 平面平面A1BE， EO 平面平面A1BE，CD 平面平面A1BE.(2) 三
24、棱柱各三棱柱各侧面都是正方形，面都是正方形，BB1 AB，BB1 BC，又，又ABBC=B, BB1 平面平面ABC. CD 平面平面ABC，BB1 CD.由已知得由已知得AB=BC=AC，CD AB,又又ABBB1=B, CD 平面平面A1ABB1. CD AB1,由由(1)可知可知EO CD，AB1 EO. 侧面是正方形，面是正方形，AB1 A1B.又又EO 平面平面A1EB，A1B 平面平面A1EB且且EOA1B=O，AB1 平面平面A1EB. 【方法技巧方法技巧】垂直关系的垂直关系的“核心核心”线面垂直面垂直线面垂直是面垂直是连结线线垂直和面面垂直的垂直和面面垂直的纽带，与，与线面垂直
25、面垂直有关的性有关的性质是最多的是最多的.(1)线面垂直面垂直线线垂直垂直.空空间中的中的线线垂直多是异面垂直，垂直多是异面垂直，因此要因此要证线线垂直往往要垂直往往要转化化为证明其中一条直明其中一条直线垂直于垂直于过另外一条直另外一条直线的平面的平面.(2)线面垂直面垂直面面垂直面面垂直.这是面面垂直的判定定理是面面垂直的判定定理.(3)线面垂直面垂直面面平行面面平行.也就是也就是说垂直于同一条直垂直于同一条直线的两个的两个平面互相平行平面互相平行.由上述可由上述可见线面垂直在此部分知面垂直在此部分知识中起到了十分关中起到了十分关键的作的作用用.【挑战能力】(10(10分) )已知BCDBC
26、D中，BCD=90BCD=90，BC=CD=1BC=CD=1，ABAB平面BCDBCD，ADB=60ADB=60，E E、F F分别是ACAC、ADAD上的动点，且 (0(01).1).(1)(1)求证：不论为何值，总有平面BEFBEF平面ABCABC；(2)(2)当为何值时，平面BEFBEF平面ACDACD？ 【解析解析】(1) AB 平面平面BCD，AB CD，CD BC且且ABBC=B，CD 平面平面ABC.又又(01), 不不论为何何值，恒有，恒有EF CD，EF 平面平面ABC，又，又EF 平面平面BEF，不不论为何何值恒有平面恒有平面BEF 平面平面ABC(2)由由(1)知，知，B
27、E EF，又平面，又平面BEF 平面平面ACD，BE 平面平面ACD，BE ACBC=CD=1，BCD=90，ADB=60，由由AB2=AEAC，得得故当故当时，平面，平面BEF 平面平面ACD编后语老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲
28、课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。2024/9/5最新中小学教学课件842024/9/5最新中小学教学课件85谢谢欣赏！
