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1、第第二二章章 点、点、 直直线线、 平面平面 之之间间 的位的位 置关置关系系2.12.1空空间间 点、点、直直线线、平面平面之之间间的位的位置关置关系系课课前前预习预习 巧巧设计设计名名师课师课堂堂 一点通一点通创创新新演演练练 大冲关大冲关读读教材教材 填要点填要点小小问题问题 大思大思维维考点一考点一考点二考点二课课堂堂强强化化课课下下检测检测2.1.22.1.2 空空间间中直中直线线与与直直线线之之间间的位的位置关置关系系考点三考点三 1异面直线异面直线 (1)定义：把不同在定义：把不同在 平面内的两条直线叫平面内的两条直线叫 做做异面直线异面直线 (2)画法：画法：(通常用平面衬托通
2、常用平面衬托)任何一个任何一个2空间中两条直线的位置关系空间中两条直线的位置关系 3平行公理平行公理(公理公理4)与等角定理与等角定理 (1)平行公理：平行公理： 文字表述：平行于同一条直线的两条直线文字表述：平行于同一条直线的两条直线 这一性质叫做空间这一性质叫做空间 互相平行互相平行平行线的传递性平行线的传递性 符号表述：符号表述： .ac (2)等角定理：等角定理： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角两个角 或或 相等相等互补互补 4异面直线所成的角异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线定义：已知两条异面直线a，b，经过空间
3、任一点，经过空间任一点O作直作直线线aa，bb，我们把，我们把a与与b所成的所成的 (或或 )叫做异面叫做异面直线直线a与与b所成的角所成的角(或夹角或夹角) (2)范围：范围： . (3)当当 时，时，a与与b互相垂直，记作互相垂直，记作 .锐角锐角直角直角0 9090ab1能否将异面直线理解为分别在两个平面内的直线或能否将异面直线理解为分别在两个平面内的直线或 平面内的一条直线与平面外的一条直线？平面内的一条直线与平面外的一条直线？ 提示：不可以提示：不可以2异面直线与平行直线有什么异同点？异面直线与平行直线有什么异同点？ 提示：其相同点是都没有公共点，不同点在于平行直线提示：其相同点是都
4、没有公共点，不同点在于平行直线 可以确定一个平面，而异面直线不同在任何一个平面内可以确定一个平面，而异面直线不同在任何一个平面内3. 在异面直线所成角的定义中，角的大小与点在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置的位置 有关系吗？有关系吗？ 提示：根据等角定理可知，提示：根据等角定理可知，a与与b所成角的大小与点所成角的大小与点O 的位置无关，但是为了简便，点的位置无关，但是为了简便，点O常取在两条异面直线常取在两条异面直线 中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段如线段 的端点、中点等的端点、中点等)4公理公理4的作用是什么？的作用是什么
5、？ 提示：证明空间两条直线平行提示：证明空间两条直线平行5平行直线具有传递性，异面直线是否也有传递性？平行直线具有传递性，异面直线是否也有传递性？ 提示：不具有传递性，即当直线提示：不具有传递性，即当直线a与与b异面，异面，b与与c异面，异面， 则则a与与c不一定是异面直线不一定是异面直线 例例1在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别分别是是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：置关系： (1)AB与与CC1；(2)A1B1与与DC； (3)A1C与与D1B；(4)DC与与BD1； (5)D1E与与CF. 自主解答自
6、主解答(1)C平面平面ABCD，AB平面平面ABCD，又，又C AB，C1 平面平面ABCD，AB与与CC1异面异面 (2)A1B1AB，ABDC，A1B1DC. (3)A1D1BC且且A1D1BC，则则A1，B，C，D1在同一平面内，在同一平面内，A1C与与D1B相交相交 (4)B平面平面ABCD，DC平面平面ABCD，又，又B DC，D1 平面平面ABCD，DC与与BD1异面异面 (5)设设CF与与DA的延长线交于的延长线交于G，连接，连接D1G，AFDC，F为为AB中点，中点，A为为DG的中点的中点又又AEDD1，GD1过过AA1的中点的中点E，直线直线D1E与与CF相交相交 1判断两直
7、线是异面直线的方法判断两直线是异面直线的方法: (1)定义法：依据定义判断两直线不可能在同一个定义法：依据定义判断两直线不可能在同一个平面内平面内 (2)定理法：过平面外一点与平面内一点的直线和平面定理法：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用此结论可作为定理使用) (3)反证法：即假设这两条直线不是异面直线，那么反证法：即假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行即假设两条直线相交或平行)，结合原，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而断定假设题中的条件，经正确地推
8、理，得出矛盾，从而断定假设“两条直线不是异面直线两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线这两条直线是异面直线 2判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断判断1若若a和和b是异面直线，是异面直线，b和和c是异面直线，则是异面直线，则a和和c的的 位置关系是位置关系是() Aac Ba和和c异面异面 Ca和和c相交相交 Da和和c平行、相交或异面平行、相交或异面解析：如图，在长方体解析：如图，在长方体ABCDABCD中，令中，令AD所在
9、直线为所在直线为a，AB所在直线为所在直线为b，由题意，由题意，a和和b是异面直线，是异面直线，b和和c是异面直线是异面直线若令若令BC所在直线为所在直线为c，则，则a和和c平行平行若令若令CC所在直线为所在直线为c，则，则a和和c异面异面若令若令DD所在直线为所在直线为c，则，则a和和c相交相交答案：答案：D 例例2如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M，M1分别是棱分别是棱AD和和A1D1的中点的中点(1)求证：四边形求证：四边形BB1M1M为平行四边形；为平行四边形；(2)求证：求证：BMCB1M1C1. 自主解答自主解答(1)在正方形在正方形ADD1A1中，中，
10、M，M1分别为分别为AD，A1D1的中点，的中点，MM1綊綊AA1，又，又AA1綊綊BB1，MM1BB1，且，且MM1BB1，四边形四边形BB1M1M为平行四边形为平行四边形 (2)法一：由法一：由(1)知四边形知四边形BB1M1M为平行四边形，为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，由平面几何知识可知，BMC和和B1M1C1都是锐角都是锐角由等角定理得由等角定理得BMCB1M1C1.法二：由法二：由(1)知四边形知四边形BB1M1M为平行四边形为平行四边形B1M1BM.同理可得四边形同理可得四边形CC1
11、M1M为平行四边形为平行四边形C1M1CM，又又B1C1BC，BCMB1C1M1.BMCB1M1C1. 在本例中，若在本例中，若N1是是D1C1的中点，求证四边形的中点，求证四边形M1N1CA是梯形是梯形 证明：如图所示，连结证明：如图所示，连结A1C1， M1，N1分别是分别是A1D1，D1C1的中点，的中点， 1判断两直线是平行直线的方法判断两直线是平行直线的方法: (1)定义法：两直线平行须满足：定义法：两直线平行须满足：两直线在同一个平两直线在同一个平面内；面内；两直线没有公共点两直线没有公共点 (2)公理法公理法(利用公理利用公理4)：要证两条直线平行，只须找到：要证两条直线平行，只
12、须找到第三条直线与这两条直线都平行即可即要证第三条直线与这两条直线都平行即可即要证ab，只须，只须证证ac，bc，就可得，就可得ab. 2在运用在运用“等角定理等角定理”判定两个角是相等还是互判定两个角是相等还是互补的途径有二：一是判定两个角的方向是否相同，若相补的途径有二：一是判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；二是判定这两个角是否同则必相等，若相反则必互补；二是判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补2如图，四面体如图，四面体ABCD的四个面分别为的四个面分别为ABC、 ACD、ADB和和BCD，
13、E、F、G分别是线段分别是线段 AB，AC，AD上的点，且满足上的点，且满足AE ABAF AC AG AD. 求证：求证：EFGBCD.证明：在证明：在ABD中，中，AE ABAG AD，EGBD.同理同理GFDC，EFBC.又又GEF与与DBC方向相同，方向相同，GEFDBC.同理同理EGFBDC，EFGBCD. 例例3如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求下列中，求下列异面直线所成的角异面直线所成的角 (1)AA1与与BC； (2)A1B与与AC. 自主解答自主解答(1)AA1BB1， B1BC是异面直线是异面直线A1A与与BC所成的角所成的角 又又B1BC90， 异
14、面直线异面直线AA1与与BC所成的角为所成的角为90.(2)连接连接A1C1，AA1C1C为平行四边形，为平行四边形，ACA1C1，BA1C1是异面直线是异面直线A1B与与AC所成的角所成的角连接连接BC1，A1BC1是正三角形，是正三角形，BA1C160，异面直线异面直线A1B与与AC所成的角为所成的角为60. 求异面直线所成角的基本步骤求异面直线所成角的基本步骤 (1)作作即据定义作平行线，作出异面直线所成的角，即据定义作平行线，作出异面直线所成的角，作平行线时，若遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直作平行线时，若遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直接对异面直线平
15、移有困难时，可利线依附于某几何体，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线 (2)证证证明这个角或其补角即为所求的角证明这个角或其补角即为所求的角 (3)求求转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角求出所找的角所以异面直线所以异面直线AD，BC所成的角为所成的角为EMF的补角，的补角，即异面直线即异面直线AD，BC所成的角为所成的角为60. 分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是 () A相交相交 B异面异面 C
16、平行平行 D相交或异面相交或异面 错解错解根据条件可知两条直线的位置关系如图所示，根据条件可知两条直线的位置关系如图所示，故选故选B. 错因错因本题中没有限制交点本题中没有限制交点的个数，解答时只考虑到有四个交的个数，解答时只考虑到有四个交点的情形，没有想象到有三个交点的情形，如图示点的情形，没有想象到有三个交点的情形，如图示 正解正解如图如图(1)(2)也可以利用长方体模型：如图也可以利用长方体模型：如图(3)长长方体方体ABCDABCD中，画出面对角线中，画出面对角线BA和体对角线和体对角线BD，BB和和AD异面，直线异面，直线BA和和BD都与这两条异面直线相交，都与这两条异面直线相交，显然显然BA和和BD相交；直线相交；直线AB和和BD都与这两条异面直线相都与这两条异面直线相交，而交，而AB和和BD异面异面 答案答案D
