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1、2.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 我们知道，电能是现代生活不可缺少的能源，我们知道，电能是现代生活不可缺少的能源，目前我国主要靠火力发电，而火力发电主要是在目前我国主要靠火力发电，而火力发电主要是在火力发电厂中进行，火力发电厂简称火力发电厂中进行，火力发电厂简称“火电厂火电厂”，其形状就像照片中其形状就像照片中“粗烟囱粗烟囱”. .那么这些那么这些“粗烟囱粗烟囱”是怎样建成的呢？是怎样建成的呢？冷却通风塔冷却通风塔如果你是设计师你将如何设计？如果你是设计师你将如何设计？1.1.会熟练画出一些简单双曲线的图象，并认真观察会熟练画出一些简单双曲线的图象，并认真观察
2、其图象有何几何特征其图象有何几何特征. .( (重点重点) )2.2.会类比椭圆几何性质的研究方法，自己尝试获取会类比椭圆几何性质的研究方法，自己尝试获取 双曲线的简单几何性质，并能初步应用双曲线的简单几何性质，并能初步应用. .（难点）（难点）探究点探究点1 1 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质回忆一下双曲线的标准方程：回忆一下双曲线的标准方程： 如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法来如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法来研究双曲线，那么双曲线将会具有什么样的几何性研究双曲线，那么双曲线将会具有什么样的几何性质呢？质呢？1.1.范围范围xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,
3、y)(x,-y)2.2.对称性对称性 以以-x-x代代x x方程不变，故图象关于方程不变，故图象关于 轴对称；轴对称；以以-y-y代代y y方程不变，故图象关于方程不变，故图象关于 轴对称；轴对称；以以-x-x代代x x且以且以-y-y代代y y方程不变，故图象关于方程不变，故图象关于 对称对称y yx x原点原点3.3.顶点顶点（1 1）令）令y=0y=0，得，得x=a,x=a,则双曲线与则双曲线与x x轴的两个交点为轴的两个交点为A A1 1(-a,0),A(-a,0),A2 2(a,0)(a,0)，我们把这两个点叫，我们把这两个点叫双曲线的顶点双曲线的顶点; ; 令令x=0,x=0,得得
4、y y2 2=-b=-b2 2, ,这个方程没有实数根，说明双曲这个方程没有实数根，说明双曲线与线与y y轴没有交点，但我们也把轴没有交点，但我们也把B B1 1(0,-b),B(0,-b),B2 2(0,b)(0,b)画在画在y y轴上轴上. .（2 2）如图，线段）如图，线段A A1 1A A2 2叫做叫做双曲双曲线的实轴线的实轴，它的长为，它的长为2a,a2a,a叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的实半轴长；线段B B1 1B B2 2叫做叫做双曲线的虚轴双曲线的虚轴，它的长，它的长为为2b,b2b,b叫做双曲线的虚半轴长叫做双曲线的虚半轴长. .xyoF F2 2F F1 1a ab
5、 b4.4.渐近线渐近线 下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时，与直线逐渐靠拢时，与直线逐渐靠拢.方案方案2 2：考查同横坐标的两点间：考查同横坐标的两点间的距离的距离 .方案方案1 1：考查点到直线的距离：考查点到直线的距离 . .yB2A1A2 B1 xOb aM NQ 由双曲线的对称性知，由双曲线的对称性知，我们只需证明第一象限的部我们只需证明第一象限的部分即可分即可.XMYOQN(x,y)(x,Y)注：注：渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双曲线张口的开阔与否曲线张口的开阔与否.实轴和虚轴等长
6、的双曲线叫做实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线.5.5.离心率：离心率：思考：思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？离心率刻画双曲线的什么几何特征？ 因此，因此，e越大，渐近线斜率越大，倾斜角越大，越大，渐近线斜率越大，倾斜角越大，张角越大，张口越开阔，张角越大，张口越开阔，e越小，渐近线斜率越小，越小，渐近线斜率越小，倾斜角越小，张角越小，张口越扁狭倾斜角越小，张角越小，张口越扁狭. 所以双曲线的离心率是反应双曲线开口大小的几所以双曲线的离心率是反应双曲线开口大小的几何量何量.或或或或关于关于坐标坐标轴和
7、轴和原点原点都对都对称称性性质质双双曲曲线线范围范围对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线离心离心 率率图象图象【提升总结提升总结】双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质. .x xy yx xy y【例例】求双曲线求双曲线9y9y2 2-16x-16x2 2=144=144的半实轴长和半虚轴的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程长、焦点坐标、离心率、渐近线方程解：解：把方程把方程9y9y2 2-16x-16x2 2=144=144化为标准方程化为标准方程由此可知，半实轴长由此可知，半实轴长a=4,a=4,半虚轴长半虚轴长b=3;b=3;焦点坐标是焦点坐标是(0,-5),(0,
8、5);(0,-5),(0,5);渐近近线上，上，则C C的方程的方程为（ ）1.1.（20122012湖南高考）已知双曲湖南高考）已知双曲线C C： (a0,b0)(a0,b0)的焦距的焦距为10 10 ，点，点P P（2,12,1）在）在C C的的2 2双曲双曲线3 3x x2 2y y2 23 3的的渐近近线方程方程是是 ( () )A Ay y3x3x B By y x xC Cy y x x D Dy y x xC C3 3与双曲与双曲线 有共同的有共同的渐近近线，且，且过点点(2(2，2)2)的双曲的双曲线的的标准方程是准方程是 4 4求中心在原点，求中心在原点，对称称轴为坐坐标轴且
9、且经过点点P P(1(1，3)3)，离心率，离心率为 的双曲的双曲线的的标准方程准方程解析：解析：因为离心率为因为离心率为 ，所以所以e e2 2 即即a ab b，所以双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准所以双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准 方程为方程为x x2 2y y2 2(0)(0)，又点又点P(1P(1，3)3)在双曲线上，则在双曲线上，则1 19 98 8，所以所求双曲线的标准方程为所以所求双曲线的标准方程为xyo或或关于关于坐标坐标轴和轴和原点原点都对都对称称性性质质双双曲曲线线范围范围对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线离心离心 率率图象图象x xy yx xy y 人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的。流出来后，海绵才能吸收新的源泉。
