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1、1通信原理2通信原理第第3章章 随机过程随机过程3第第3章章 随机过程随机过程l 3.3 高斯随机过程（正态随机过程）高斯随机过程（正态随机过程）n3.3.1 定定义n高斯过程(正态随机过程)：通信领域中最重要的一种过程，大多数噪声都是高斯型的。n如果随机过程 (t)的任意n维（n =1,2,.）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程，n维正态概率密度函数表示式为：式中 4式中 |B| 归一化协方差矩阵的行列式，即 |B|jk 行列式|B|中元素bjk的代数余因子 bjk 为归一化协方差函数，即 5n 3.3.2 重要性质重要性质u由高斯过程的定义式可知,高斯过程的n维分布只依赖各个随
2、机变量的均均值、方差和、方差和归一化一化协方差方差。因此，对于高斯过程，只需研究它的数字特征。u广义平稳的高斯过程也是严平稳的。 若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间起点无关，即也是严平稳的。所以，高斯过程若为广义平稳，则也严平稳。6u如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j k，有bjk =0，则其概率密度可以简化为 表明：如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。u高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。7n 3.3
3、.3 高斯随机变量高斯随机变量u定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为 式中a 均值 2 方差曲线如右图：8u性质pf (x)对称于直线 x = a，即p pa表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着 的减小而变高和变窄。当a = 0和 = 1时，称为标准化的正态分布：9不同概率密度函数曲线10u正正态分布函数分布函数 这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数，用查表的方法求出。p用误差函数表示正态分布函数：令 则有 及 式中 误差函数，可以查表求出其值。11p用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：式中
4、 当x 2时，12p用Q函数表示正态分布函数：Q函数定义：Q函数和erfc函数的关系：Q函数和分布函数F(x)的关系：Q函数值也可以从查表得到。13平稳随机过程通过线性系统l随机过程通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析基础之上的。是对确知信号分析的推广。l当一个系统的行为满足叠加原理时，这个系统称为线性系统。l线性时不变系统可由其单位冲激响应h(t)或其频率响应H(f)来表示。14确知信号通过线性系统确知信号通过线性系统n确知信号通确知信号通过线性系性系统 ：式中 vi 输入信号， vo 输出信号对应的傅里叶变换关系：n随机信号通随机信号通过线性系性系统：u假设：i(t)
5、 是平稳的输入随机过程， a 均值， Ri() 自相关函数， Pi() 功率谱密度；求输出过程o(t)的统计特性，即它的均值、自相关函数、功率谱以及概率分布。15 设线性系统的冲激响应为h(t)，输入随机过程为i(t)，则输出为o(t) ，则输入与输出可表示成卷积关系。 对线性系统，当输入i(t)是平稳过程时，输出响应o(t)，则对输入信号和输出信号的统计关系有以下主要结论：即线性系统响应等于输入信号与冲激响应的卷积。随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统1.输出过程的均值是一个常数。a是输入过程的均值，H(0)是线性系统在f=0时的频率响应，即直流增益。16u输出出过程程 o(t)的均的均
6、值 对上式两边取统计平均：得到设输入过程是平稳的 ，则有 式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出过程的均值是一个常数。172. 若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的系统的输出0(t)的自相关函数只与时间间隔有关，与时间起点无关。18u输出过程o(t)的自相关函数：根据自相关函数的定义根据输入过程的平稳性，有于是表明：输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，输出也是平稳的。 193. 线性系统输出平稳过程o(t)的功率谱密度Po(f)是输入平稳过程i(t)的功率谱密度Pi(f)与传递函数模的平方的乘积。H(f)为系统
7、的频率响应。20u输出过程o(t)的功率谱密度对下式进行傅里叶变换：得出令 = + - ，得到即结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。应用：由Po( f )的反傅里叶变换求Ro() 21u输出过程输出过程 o(t)的概率分布的概率分布p如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。 因为从积分原理看， 可以表示为： 由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得知，这个“和” 也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程
8、。注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。223.5 窄带随机过程 n什么是窄带随机过程？ 若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围f 内，即满足f fc的条件，且 fc 远离零频率，则称该(t)为窄带随机过程。 2323其频谱和样本如图其频谱和样本如图其频谱和样本如图其频谱和样本如图 （a a）2424窄带过程的频谱和波形示意窄带过程的频谱和波形示意25n窄带随机过程的表示式窄带随机过程的表示式式中，式中，a (t) 随机包络，随机包络， (t) 随机相位随机相位 c 中心角频率中心角频率显然，显然， a (t)和和 (t)的变化相对于载波的变化相对于载
9、波cos ct的变化要缓慢得多。的变化要缓慢得多。26n窄带随机过程表示式展开窄带随机过程表示式展开可以展开为可以展开为式中式中 (t)的的同相分量同相分量 (t)的的正交分量正交分量可以看出：可以看出： (t)的统计特性由的统计特性由a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的统计的统计特性确定。特性确定。27讨论讨论均值为零均值为零的的平稳平稳高斯窄带高斯窄带过程的统计特性过程的统计特性n3.5.1 c(t)和和 s(t)的统计特性的统计特性p数学期望：对下式求数学期望：数学期望：对下式求数学期望：得到得到 因为因为 (t)平稳且均值为零，故对于任意的时间平稳且均值为零，故对于任意
10、的时间t，都有，都有E (t) = 0 ，所以，所以 28p (t)的自相关函数：的自相关函数：由自相关函数的定义式由自相关函数的定义式式中式中因为因为 (t)是平稳的，故有是平稳的，故有这就要求上式的右端与时间这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与无关，而仅与 有关。有关。 因此，若令因此，若令 t = 0，上式仍应成立，它变为，上式仍应成立，它变为29第第3章章 随机过程随机过程因与时间因与时间t无关，以下二式自然成立无关，以下二式自然成立所以，上式变为所以，上式变为再令再令 t = /2 c，同理可以求得，同理可以求得由以上分析可知，由以上分析可知，若窄带过程若窄带过程 (t)是平稳的，
11、则是平稳的，则 c(t)和和 s(t)也必然是平稳的。也必然是平稳的。30p进一步分析，下两式进一步分析，下两式应同时成立，故有应同时成立，故有上式表明，上式表明，同相分量同相分量 c(t) 和正交分量和正交分量 s(t)具有相同的自相关函数。具有相同的自相关函数。根据互相关函数的性质，应有根据互相关函数的性质，应有代入上式，得到代入上式，得到上式表明上式表明Rsc( )是是 的奇函数，所以的奇函数，所以同理可证同理可证 31第第3章章 随机过程随机过程将将代入下两式代入下两式得到得到即即上式表明上式表明 (t) 、 c(t)和和 s(t)具有相同的平均功率或方差。具有相同的平均功率或方差。
12、32p根据平稳性，故由式根据平稳性，故由式 得到得到因为因为 (t)是高斯过程是高斯过程，所以，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯随机一定是高斯随机变量，从而变量，从而 c(t) 、 s(t)也是高斯过程也是高斯过程。p根据根据可知，可知， c(t) 与与 s(t)在在 = 0处互不相关，又由于它们是高斯处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此型的，因此 c(t) 与与 s(t)也是统计独立的也是统计独立的。 33u结论：结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程一个均值为零的窄带平稳高斯过程 (t) ，它的同相分量它的同相分量 c(t)和正交分量和正交分量 s(t)同样是平稳高斯同样是平稳高
13、斯过程，而且均值为零，方差也相同。过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同此外，在同一时刻上得到的一时刻上得到的 c和和 s是互不相关的或统计独立的。是互不相关的或统计独立的。343.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 l正弦波加窄带高斯噪声是通信中常遇到的一种情况：比正弦波加窄带高斯噪声是通信中常遇到的一种情况：比如从带通滤波器输出正弦波已调信号与窄带高斯噪声信如从带通滤波器输出正弦波已调信号与窄带高斯噪声信号的混合。号的混合。l混合信号的数学形式混合信号的数学形式n(t)为窄带高斯噪声，均值为为窄带高斯噪声，均值为0。35l正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程f(t)是确知
14、信号，是确知信号，n(t)是随机高是随机高斯噪声信号：斯噪声信号： 其中：其中：36l可以证明，正弦波加窄带高斯过程的包络的概率密可以证明，正弦波加窄带高斯过程的包络的概率密度函数为度函数为 该概率密度函数称为广义瑞利分布，又称该概率密度函数称为广义瑞利分布，又称Rice（莱斯）（莱斯）密度函数。式中为零阶修正贝塞尔函数。密度函数。式中为零阶修正贝塞尔函数。 37（1）当）当A=0时，只有噪声时，只有噪声n(t) ，即为瑞利分布；，即为瑞利分布；（2）当）当A远大于远大于n(t)时，即大信噪比时时，即大信噪比时 为高斯分布。为高斯分布。r(t)的相位的概率密度函数为的相位的概率密度函数为 当当
15、信信噪噪比比很很大大时时，相相位位分分布布集集中中于于正正弦弦信信号号本本身身的的相位附近；在信噪比很小时，接近于均匀分布。相位附近；在信噪比很小时，接近于均匀分布。383.7 高斯白噪声和带限白噪声n白噪声白噪声n (t)u定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即即 双边功率谱密度双边功率谱密度或或 单边功率谱密度单边功率谱密度式中式中 n0 正常数正常数u白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关函数：叶反变换，得到相关函数：39u白噪声和其自相关函数的曲线：白噪声和其自相关函数的
16、曲线：40u白噪声的功率白噪声的功率由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即或或p因此，真正因此，真正“白白”的噪声是不存在的，它只是构造的一的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。种理想化的噪声形式。 p实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。p如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高高斯白噪声斯白噪声。p高斯白噪声在任意两个不同
17、时刻上的随机变量之间，不高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。仅是互不相关的，而且还是统计独立的。 41n低通白噪声低通白噪声u定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声低通白噪声。 u功率谱密度功率谱密度p由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在| f | fH内，内，通常把这样的噪声也称为通常把这样的噪声也称为带限白噪声带限白噪声。 u自相关函数自相关函数42u功率谱密度和自相关函数曲线功率谱密度和
18、自相关函数曲线p由曲线看出，这种带限白噪声只有在由曲线看出，这种带限白噪声只有在上得到的随机变量才不相关。上得到的随机变量才不相关。 43n带通白噪声带通白噪声u定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声带通白噪声。 u功率谱密度功率谱密度设理想带通滤波器的传输特性为设理想带通滤波器的传输特性为式中式中fc 中心频率，中心频率，B 通带宽度通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为则其输出噪声的功率谱密度为44u自相关函数自相关函数45u带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线46n窄带高斯白噪声窄带高斯白噪声u通常，带通滤波器的通常，带通滤波器的 B fc ，因此称窄带滤波器，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声窄带高斯白噪声。u平均功率平均功率 4748l作作业 3.3 3.9
