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1、第五节 二元函数的极值 主要内容：一、问题的提出二、二元函数的极值三、二元函数最值应用一、问题的提出两种鱼的产鱼总量函数为两种鱼的产鱼总量函数为: :即求总量函数（二元函数）的最大值即求总量函数（二元函数）的最大值. .二、多元函数的极值（峰）极大值点（峰）极大值点（谷）极小值点（谷）极小值点二元函数极值的定义二元函数极值的定义例例1（谷）极小值点（谷）极小值点提示与分析提示与分析:画出图形便可得到结论画出图形便可得到结论. .解解 该函数表示该函数表示 的曲面为椭圆抛的曲面为椭圆抛物面物面. .例例2提示与分析提示与分析:题中方程所表示的曲面为椭球面题中方程所表示的曲面为椭球面. .解解(0
2、,0,-4)极小值点极小值点(0,0,4)极大值点极大值点例例3解解(0,0,0)不是极值点不是极值点图画不出怎图画不出怎么求极值？么求极值？二元函数取得极值的条件二元函数取得极值的条件凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点的驻点. .驻点驻点极值点极值点注意：注意：驻点驻点极值点极值点注意：注意：实际问题求最值的方法：实际问题求最值的方法： 实际问题中，如果函数在实际问题中，如果函数在D内仅有一个驻点，内仅有一个驻点，那么该点即为所求的最值点那么该点即为所求的最值点. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值. .三、二元函数最值的应用例例4提示与分析提示与分析:本题即求表面积函数的最小值本题即求表面积函数的最小值. .解解 又由该实际问题的最小值一定存在，故而又由该实际问题的最小值一定存在，故而驻点是最小值点，此时高为驻点是最小值点，此时高为唯一驻点唯一驻点容积一定时，高是底面边容积一定时，高是底面边长的一半的长方体最省料长的一半的长方体最省料.例例5解解 两种鱼的产鱼总量函数为两种鱼的产鱼总量函数为: :唯一驻点唯一驻点科学放养可获得更科学放养可获得更大经济效益大经济效益
