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1、第六章第六章 极点配置与特征极点配置与特征结构配置结构配置 6.1 6.1 线性系统的常规控制律线性系统的常规控制律6.1.1 6.1.1 线性定常状态反馈控制律线性定常状态反馈控制律为干扰信号，为干扰信号， 线性定常系统线性定常系统 干扰输入矩阵。干扰输入矩阵。 线性定常状态反馈控制律线性定常状态反馈控制律 ：系统在状态反馈律系统在状态反馈律: : 作用下作用下的闭环系统为的闭环系统为: :命题命题6.1.16.1.1 状态反馈可以改变系统的极点状态反馈可以改变系统的极点集。集。其中其中: : 设设，且，且阵阵非奇异，非奇异，保持系保持系统统的的则状态反馈则状态反馈输入解耦零点，也即不能控振
2、型不变。输入解耦零点，也即不能控振型不变。 当当，且，且阵阵非奇异，非奇异，保持系保持系统统的能控的能控则状态反馈则状态反馈性不变。性不变。 状态反馈可以保持系统的输入解耦状态反馈可以保持系统的输入解耦零点和能控制性不变，不能保证系统的零点和能控制性不变，不能保证系统的输出解耦零点和能观性不变。输出解耦零点和能观性不变。例例6.1.1 已知系已知系统统容易容易验证该验证该系系统为统为完全能完全能观观的，从而不的，从而不存在存在输输出解耦零点或不能出解耦零点或不能观观振型。但当振型。但当取了状取了状态态反反馈馈律律得得闭环闭环系系统统容易容易验证验证它具有一个不能它具有一个不能观观振型振型从而从
3、而为为不能不能观观的。的。6.1.2 6.1.2 定常线性输出反馈控制律定常线性输出反馈控制律线性定常输出反馈控制律线性定常输出反馈控制律 ：当当 时系统在输出反馈律时系统在输出反馈律: : 作用下的闭环系统为作用下的闭环系统为: :其中其中: : 阵阵可逆可逆时时，其，其输输出出反反馈馈律保持其律保持其输输入解耦零点和入解耦零点和输输出解出解耦零点不耦零点不变变，从而保持其能控性和能，从而保持其能控性和能观观性不性不变变。 对于线性定常系统对于线性定常系统有以下有以下结论结论： 1.其其输输出反出反馈馈律律可以改可以改变变其极点集。其极点集。 2.当当，且，且6.1.3 6.1.3 线性定常
4、输出动态补偿器线性定常输出动态补偿器 输出反馈律不含动态环节为静态输出输出反馈律不含动态环节为静态输出反馈反馈,动态补偿器含有动态环节动态补偿器含有动态环节,称为动称为动态输出反馈。其一般形式为：态输出反馈。其一般形式为：其中其中: : 为动态补偿器的状态向量为动态补偿器的状态向量, , 称为动态补偿器的阶称为动态补偿器的阶, , 为外部输入信号为外部输入信号, , 为适当阶的参数矩阵。为适当阶的参数矩阵。当系统当系统 时，闭环系统的表达式时，闭环系统的表达式为为: :其中其中: :注：注：动态补偿器增加了系统的动态环节。动态补偿器增加了系统的动态环节。 线性定常系统线性定常系统（其中（其中）
5、在）在动态补偿动态补偿器下器下的控制作用等效于增广系统的控制作用等效于增广系统 在如下静态输出反馈下的控制作用：在如下静态输出反馈下的控制作用：6.2 6.2 极点配置问题及其解的存在性极点配置问题及其解的存在性6.2.1 6.2.1 极点配置问题的描述极点配置问题的描述 极点是定常线性系统所特有的概念；极点是定常线性系统所特有的概念； 极极点点配配置置问问题题也也称称为为特特征征值值配配置置问问题；题； 考考虑虑定定常常线线性性系系统统分分别别在在: :状状态态反反馈馈律律、输输出出反反馈馈律律、动动态态补补偿偿器器作作用用下下的极点配置问题。的极点配置问题。问题问题SPA 状态反馈极点配置
6、问题状态反馈极点配置问题 给定矩阵给定矩阵 及一组共轭及一组共轭封闭复数封闭复数 （不必互异），求（不必互异），求取矩阵取矩阵 ，使得：，使得：问题问题OPA 输出反馈极点配置问题输出反馈极点配置问题 给定矩阵给定矩阵 及一组共轭封闭复数及一组共轭封闭复数 （不必（不必互异），求取矩阵互异），求取矩阵 ，使得：，使得：问题问题DPA 动态补偿器极点配置问题动态补偿器极点配置问题 给定矩阵给定矩阵 及一组共轭封闭复数及一组共轭封闭复数 （不必（不必互异）和某正整数互异）和某正整数 ，求取矩阵，求取矩阵 ，使得：，使得：6.2.2 6.2.2 状态反馈极点配置问题的解的存在状态反馈极点配置问题的解
7、的存在性性定义定义6.2.16.2.1 如果对于任何给定的一组共轭如果对于任何给定的一组共轭封闭复数封闭复数，前述，前述问题问题SPA可用状可用状态态反反馈馈任意配置极点。任意配置极点。 均有解，则称线性系统均有解，则称线性系统定理定理 定常线性系统定常线性系统可用状可用状态态反反馈馈任意配置极点的充要条件任意配置极点的充要条件是是该该系系统统完全能控。完全能控。称称为为循循环环的，当且的，当且仅仅当其特征多当其特征多项项式等式等同于其最小多同于其最小多项项式，或其式，或其Jordan标标准型准型中相中相应应于每个不同的特征于每个不同的特征值仅值仅有一个有一个Jordan块块。 定义定义6.2
8、.26.2.2 设设，则则矩矩阵阵，矩，矩阵阵则则几乎几乎对对于任意的于任意的具有互异特征具有互异特征值值，从而，从而为为循循环环矩矩阵阵。引理引理6.2.26.2.2 设设且且，且，且 能控能控引理引理6.2.16.2.1 已知已知为为循循环环的，的，则对则对几乎任意的几乎任意的 ，且，且 能控能控有有能控。能控。例例6.2.1 考考虑虑下述既完全能控又完全能下述既完全能控又完全能观观的系的系统统它在它在输输出反出反馈馈律律下的下的闭环闭环系系统为统为其其闭环闭环特征多特征多项项式式为为。从而当。从而当的的值变值变化化时时，闭环闭环系系统统的极点只能在复平的极点只能在复平面的面的实轴实轴和虚
9、和虚轴轴上上变变化，不能任意配置。化，不能任意配置。6.2.3 6.2.3 输出反馈极点配置问题的解的存在性输出反馈极点配置问题的解的存在性 静静态态输输出出反反馈馈亦亦称称之之为为部部分分状状态态反反馈馈，但但较较状状态态反反馈馈包包含含了了较较少少的的信信息息，对对于于输输出出反反馈馈的的情情况况，即即使使系系统统完完全全能能控控和和完完全全能能观观，闭闭环环系系统统的的极极点点也也不不可可能能被被任任意意配配置。置。定理定理 设设“几乎几乎”总总可以用静可以用静态输态输出反出反馈馈任意接近任意接近地配置地配置则则系系统统个极点。个极点。 推论推论 设设“几乎几乎”总总可以用静可以用静态输
10、态输出反出反馈馈任意配置极点。任意配置极点。推论推论 设设则则“几乎几乎”总总存在存在 阶动态补偿阶动态补偿器，使得器，使得该该系系统统在在该补偿该补偿器作用器作用下的下的闭环闭环系系统统极点可以任意配置。极点可以任意配置。且且，则则系系统统定理定理 记记分分别为别为系系统统的能控性指数和能的能控性指数和能观观性指数，性指数，则则存在存在 阶阶动动态态补补偿偿器器使使得得该该系系统统在在动动态态补补偿偿器器作作用下的用下的闭环闭环系系统统的极点可以任意配置。的极点可以任意配置。 使得系统闭环极点可任意配置的动态补使得系统闭环极点可任意配置的动态补偿器的最小阶数是多少？到目前还是一个悬偿器的最小
11、阶数是多少？到目前还是一个悬而未决的问题。而未决的问题。 6.3 6.3 状态反馈极点配置问题的求解方法状态反馈极点配置问题的求解方法6.3.1 6.3.1 单输入系统的情形单输入系统的情形算法算法 单输入系统的极点配置设计单输入系统的极点配置设计第一步：计算第一步：计算 的特征多项式，即的特征多项式，即第二步：计算由第二步：计算由 所决定所决定的多项式，即的多项式，即第三步：计算第三步：计算第四步第四步:计算变换阵计算变换阵第五步第五步:求求第六步第六步:所求的增益阵所求的增益阵 给给定定单输单输入入线线性定常性定常为为再再给给定期望的一定期望的一组闭环组闭环特征特征值为值为易知系易知系统为
12、统为完全能控，故完全能控，故满满足足闭环闭环极点可极点可任意配置条件。任意配置条件。现计现计算系算系统统的特征多的特征多项项式式再由指定再由指定闭环闭环极点可得到希望的极点可得到希望的闭环闭环特征特征多多项项式式为为于是可求得于是可求得再来再来计计算算变换阵变换阵并求出其逆并求出其逆从而所要确定的反从而所要确定的反馈馈增益增益阵阵即即为为6.3.2 6.3.2 多输入系统的情形多输入系统的情形1. 1.化为单变量系统的极点配置设计化为单变量系统的极点配置设计2. 2. 利用能控标准型的设计利用能控标准型的设计示例示例 设设某某5维输维输入的入的9阶阶系系统统的的Wonham第二能控第二能控规规
13、范型具有下述形式范型具有下述形式即即，且，且 。此。此时时在算在算法的第二步中可以将期望法的第二步中可以将期望闭环闭环特征特征值值 分分为为三三组组，且，且计计算它算它们对应们对应的多的多项项式式为为在算法的第三步中，我们可以取在算法的第三步中，我们可以取此此时时易易见见且且示例示例6.3.2 设设某某3维输维输入的入的9阶阶系系统统的的Luenberger第二能控第二能控规规范型具有下述形式范型具有下述形式即即 此此时时算法的第二步同示例。在算法的算法的第二步同示例。在算法的第三步中可取第三步中可取且由此即可导出且由此即可导出6.4 6.4 状态反馈特征结构配置状态反馈特征结构配置v状态反馈
14、极点配置问题的解不惟一。状态反馈极点配置问题的解不惟一。v特征结构配置是给确定所有这样的控制特征结构配置是给确定所有这样的控制律，使得闭环系统具有希望的特征值和律，使得闭环系统具有希望的特征值和重数，同时确定闭环系统对应的特征向重数，同时确定闭环系统对应的特征向量和广义特征向量。量和广义特征向量。6.4.1 6.4.1 问题的描述问题的描述状态反馈特征结构配置问题描述如下状态反馈特征结构配置问题描述如下 : :6.4.2 6.4.2 特征结构配置问题与特征结构配置问题与Sylvester Sylvester 方程方程6.4.3 6.4.3 问题的求解问题的求解定理定理 设设 能控，则问题能控，
15、则问题ESASESAS的一切的一切解可由式解可由式 和公式和公式 迭代迭代给给出，或由式出，或由式和公式和公式 显显示示给给出，其中出，其中为为任何任何满满足：足：约约束束 为满足为满足的右互质的右互质 多项式矩阵。多项式矩阵。约约束束 的参数向量；的参数向量； 而而 满足满足的幺模阵的幺模阵 为为一一组组共共轭轭封封闭闭复数（不复数（不必互异），必互异），则满则满足关系足关系推论推论6.4.16.4.1 设系统设系统的矩的矩阵阵由以下公式由以下公式 其中，其中，为满为满足足约约束且束且的任何一的任何一组组参向量；而参向量；而为满为满足右既足右既约约分解分解式式的右互的右互质质多多项项式矩式矩
16、阵阵。例例6.4.1 考考虑虑具有下述参数的完全能控系具有下述参数的完全能控系统统由算法易得由算法易得下面我下面我们们考考虑虑几种不同的几种不同的闭环闭环特征特征结结构配置。构配置。情形情形在在这这种情形下，矩种情形下，矩阵阵和和的一般表达式的一般表达式为为如特如特别选别选取取则则得得从而从而对应对应得状得状态态反反馈馈增益增益阵为阵为情形情形在在这这种情形下矩种情形下矩阵阵和和得一般表达式得一般表达式为为如特如特别选别选取取则则得得从而从而对应对应的状的状态态反反馈馈增益增益阵为阵为情形情形 在在这这种情形下，矩种情形下，矩阵阵和的一般表达式和的一般表达式为为如特如特别选别选取取则则得得从而
17、从而对应对应的状的状态态反反馈馈增益增益阵为阵为情形情形在在这这种情况下，矩种情况下，矩阵阵和的一般表达式和的一般表达式为为如果特如果特别别取取可得一可得一组组特解特解为为从而从而对应对应的状的状态态反反馈馈增益增益阵为阵为约束约束 6.5 6.5 输出反馈特征结构配置输出反馈特征结构配置6.5.1 6.5.1 配置闭环右特征向量的求解方法配置闭环右特征向量的求解方法引理引理6.5.16.5.1 设设则满则满足矩足矩阵阵方程方程6.5.2 6.5.2 配置闭环左特征向量的求解方法配置闭环左特征向量的求解方法或或给给出。其中出。其中 的多的多项项式；式；为满为满足下式的幺模足下式的幺模阵阵 为满为满足右既足右既约约分解分解为为自由自由选选取的一取的一组组参向量。参向量。约约束束 ，约约束束 约约束束6.5.4 约约束束6.5.5 其中其中约约束束
