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1、第第2 2章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第五节第五节 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布问题的提出问题的提出离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布小结小结 布置作业布置作业一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.求截面面积求截面面积 A= 的分布的分布.比如，已知圆轴截面直径比如，已知圆轴截面直径 d 的分布，的分布，在比如在比如 ，已知，已知 t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V 的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R ( R 为电
2、阻为电阻）的分布等的分布等. 设随机变量设随机变量 X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (设设g 是连续函数），如何由是连续函数），如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的的分布？分布？下面进行讨论下面进行讨论. 这个问题无论在实践中还是在理论上都是这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的重要的.二、离散型随机变量二、离散型随机变量函数的分布函数的分布解：解： 当当 X 取值取值 1，2，5 时时， Y 取对应值取对应值 5，7，13，而且而且X取某值与取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事取其对应值是两个同时发生的事件件，两者具有相同的概率，两者具有相同的概率.例例1设设X求求 Y
3、= 2X + 3 的概率函数的概率函数. 0.2 0.5 0.3pk1 2 5X故故Y 0.2 0.5 0.3pk5 7 13X如果如果g ( x k) 中有一些是相同的，把它们作适当中有一些是相同的，把它们作适当并项即可并项即可.一般地，若一般地，若X是离散型是离散型 r.v ，X 的分布律为的分布律为则则 Y=g(X)Xx1 x2 xnpkP1 p2 pn p1 p2 pn pkg(x1) g(x2) g(xn)X则则 Y=X2 的分布律为：的分布律为：X-1 0 1pk0.3 0.6 0.1 Y 0 1pk 0.6 0.4 三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布解解 设
4、设Y的分布函数为的分布函数为 FY(y)，例例2设设 X 求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y = P 2X+8 y =P X = FX( )于是于是Y 的密度函数的密度函数故故注意到注意到 0 x 4 时，时， 即即 8 y 0 时时, 注意到注意到 Y=X2 0 ，故当，故当 y 0 时，时， .解解 设设Y 和和 X 的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为： 求导可得求导可得若若 从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到，在求PYy 的过程中，的过程中，关键的一步是设法关键的一步是设法从从 g(X) y 中解
5、出中解出X, 从而得到与从而得到与 g(X) y 等价的等价的X 的不等式的不等式 .例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 用用 代替代替 X2 y 这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出的分布，从而求出相应的概率相应的概率.这是求这是求r.v的函数的分布的一种常用方法的函数的分布的一种常用方法.例例4 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求 Y = sinX 的概率密度的概率密度.当当 y 0 时时, 当当 y 1时时, 当当时时故故解解注意到注意到,解解 当当 0 y 1 时时, 例例4 设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为求求
6、Y = sinX 的概率密度的概率密度. =P0 1 , G (y) = 1;对对 y 0 , G (y) = 0;由于由于对对0y1,G(y)=PY y =PF(X) y=PX (y) =F( (y)= y即即Y的分布函数是的分布函数是求导得求导得Y的密度函数的密度函数可见可见, Y 在在0,1上服从的均匀分布上服从的均匀分布.本例的结论可应用在在计算机模拟中本例的结论可应用在在计算机模拟中 下面给出一个定理，在满下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度随机变量函数的概率密度 .其中其中，x=h (y) 是是 y=g (x) 的反函数的
7、反函数 .定理定理 设设 X是一个取值于区间是一个取值于区间a,b，具有概率密度具有概率密度 f(x)的连续型的连续型 r.v,又设又设y=g(x)处处可导，且对于任意处处可导，且对于任意x, 恒有恒有 或恒有或恒有 ，则，则Y=g(X)是一是一个个连续型连续型r.v，它的概率密度为它的概率密度为此定理的此定理的证明与前证明与前面的解题面的解题思路类似思路类似解解例例7 设随机变量设随机变量 服从正态分布，证明服从正态分布，证明 也也服从正态分布服从正态分布.四、小结四、小结 对于连续型随机变量对于连续型随机变量，在求在求 Y= g (X) 的分布的分布时，时，关键的一步是把事件关键的一步是把事件 g(X) y 转化为转化为X在一在一定范围内取值的形式定范围内取值的形式，从而可以利用，从而可以利用 X 的分布来的分布来求求 P g(X) y .这一节我们介绍了随机变量函数的分布这一节我们介绍了随机变量函数的分布.布置作业布置作业习题习题2-55 6 7 8
