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1、第第5 5章章 直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置5.1 5.1 直线与平面、平面与平面平行直线与平面、平面与平面平行5.2 5.2 直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交5.3 5.3 直线与平面、平面与平面垂直直线与平面、平面与平面垂直5.4 5.4 综合问题解题方法综合问题解题方法v 直线与平面、两平面之间的相对位置直线与平面、两平面之间的相对位置： 平行、相交平行、相交（特殊情况是垂直垂直相交） v 本章重点讨论的两个问题：本章重点讨论的两个问题：如何绘制及判断直线与平面和两平面的平行问题;如何求直线与平面及两平面的交点或交线。5.1 5.1
2、 5.1 5.1 直线与平面、平面与平面平行直线与平面、平面与平面平行直线与平面、平面与平面平行直线与平面、平面与平面平行 一、直线与平面平行一、直线与平面平行 v 直线与平面平行的几何条件是：直线与平面平行的几何条件是：v 反之：反之：若直线平行于平面,通过平面上的任一点必能在该平面上作一直线平行于已知直线 abca ac cb bd ddmm mnn n平行的投影特性：平行的投影特性：例1 过已知点K 作一水平线平行于已知平面ABCEF 即为所求例2 试判断已知直线AB 是否平行于平面CDE答案：不平行二、平面与平面平行二、平面与平面平行例例3 3 试过点K作一平面平行于已知平面ABCD
3、1、过K先作直线 EF平 行 于AB(CD)2、 在 平 面ABCD内 作 与AB(CD)相交的一直线如连接AC3、过K再作直线GH平行于AC。5.2 5.2 5.2 5.2 直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交 直线与平面、平面与平面不平行，必然相交。一、解决问题一、解决问题v 问题问题：公有部分求出直线与平面的交点交点两平面的交线交线交点的性质 直线与平面相交的交点交点是直线与平面的公有点公有点 交点是直线可见与不可见的分界点分界点 情况：直线与平面相交情况：直线与平面相交情况：平面与平面相交情况：平面与平面相交交线的性质
4、 两平面相交的交线是两平面的公有线公有线 实质：是求两平面的两个公有点两个公有点或一个公有点和交线的方向 交线是平面可见与不可见的分界线分界线 v 问题问题：判断可见性(即空间遮挡)，以提高投影图的表现力。平面均看成不透明且有连贯性将可见的直线或平面画成粗实线将被平面遮住的直线或另一平面的轮廓画成虚线。 二、特殊情况下的相交问题二、特殊情况下的相交问题k情况情况1 1：一般位置直线与投影面垂直面相交：一般位置直线与投影面垂直面相交总结：交点是总结：交点是“一眼可见一眼可见”v 求求交交点点分分析析及及作作图图：由于投影面垂直面的投影有积聚性，交点的一个投影可直接求出，利用交点也是直线上的点求出
5、其另一投影。情况情况2 2：投影面垂直线与一般位置平面相交：投影面垂直线与一般位置平面相交v分分析析：正垂线V面投影积聚成一点，即为交点K的V面投影k ； 同时点K也是平面上的点，因此，可以利用在平面上取点的方法，求出交点K的投影k 总结：求交点转化为总结：求交点转化为“面上定点面上定点”v可可见见性性判判断断：DE的可见性，可利用两交叉直线（如AC、DE）的重影点来判断。v结果：结果： ek可见，k2不可见，画为虚线。v求交线求交线：用直接法v判断可见性判断可见性：交线是可见与不可见分界线 （二）平面与平面相交（二）平面与平面相交情况情况1 1：两垂直面相交：两垂直面相交 v 可可见见性性判
6、判断断：由H面投影直接判断可见性，DKL在平面ABC之前 v 分分析析：ABC是铅垂面，DEF是一般位置平面，在水平投影上，两平面的共有部分kl就是所求交线的水平投影,由kl可直接求出k l情况情况2 2：投影面垂直面与一般位置平面相交：投影面垂直面与一般位置平面相交 VHDABcafFKNLdbEFeklLKv 作图作图： v 可见性判断可见性判断： 一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直 v 直线与平面垂直的几何条件是直线与平面垂直的几何条件是：直线垂直于平面上任意两相交直线，则直线垂直于该平面。5.3 5.3 5.3 5.3 直线与平面、平面与平面垂直直线与平面、平面与平面垂直直线与平面、
7、平面与平面垂直直线与平面、平面与平面垂直 L反之：反之：如果直线垂直于平面，则直线垂直于平面上的所有直线 垂直特性：两定理定理：定理：若一直线垂直于一平面，则该直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。aadcbdcblklkVPALKDCBH定理定理2 2：若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。特殊情况下：直线与投影面垂直面垂直特殊情况下：直线与投影面垂直面垂直例例1 1： 试过定点K作平面 ABC的垂线。二、平面与平面垂直二、平面与平面垂直反之：
8、反之：两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。一、概述一、概述v综合问题：综合问题：主要指需要运用多个基本作图方法和知识点才能解决的问题。v求解综合问题的思路：求解综合问题的思路：运用点、直线、平面间的平行、相交、垂直等相对几何关系及画法几何中的一些基本作图方法，寻找满足空间几何约束条件的投影作图方法。5.4 5.4 5.4 5.4 综合问题解题方法综合问题解题方法综合问题解题方法综合问题解题方法v求解综合问题的基础求解综合问题的基础：要求熟悉有关几何定理和空间几何元素间相对几何关系的基本作图。v 解综合问题的关键：解综合问题的关键：善于分析题目中给出
9、的已知条件和空间元素间的几何约束关系，并从中找出解决问题的思路。v 解综合问题的最终目标解综合问题的最终目标：将所分析的求解思路转化为画法几何的解题过程。v解综合问题的一般方法步骤为：解综合问题的一般方法步骤为：分析题意分析题意：明确已知条件和所要求的最终结果，由已知条件分析题中所给出的几何条件和几何约束关系。明确具体的解题步骤明确具体的解题步骤：由分析得出的几何条件和几何约束关系，确定可运用的画法几何基本作图方法，明确具体的解题步骤。完成投影作图过程完成投影作图过程：按照确定的解题步骤，完成投影作图过程。例2：试过K点作一直线平行于已知平面CDE，并与直线AB相交 。BP空间分析空间分析：过K点平行于平面CDE的直线有无穷解，其解集（轨迹）为过点K且平行于CED平面的平面P，该平面P与直线AB相交有交点S，连接KS即为所求。DECAKS例2：试过K点作一直线平行于已知平面CDE，并与直线AB相交 。例2：试过K点作一直线平行于已知平面CDE，并与直线AB相交 。
