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1、第四节第四节 无穷大与无穷小无穷大与无穷小一、无穷大一、无穷大二、无穷小二、无穷小三、无穷大与无穷小的关系三、无穷大与无穷小的关系四、小结、思考题四、小结、思考题一、无穷小一、无穷小1、定义、定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.例如例如,注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性意义意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);3、无穷小的运算
2、性质、无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍是无穷小是无穷小.证证注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无
3、限增大的变量称为无穷大无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是但是无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.不是无穷大不是无穷大无界，无界，三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的
4、讨论小的讨论.四、无穷小的比较四、无穷小的比较例如例如,极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限定义定义: :例如，例如，例例1 1解解证证必要性必要性充分性充分性意义意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如例如,常用等价无穷小常用等价无穷小: :例例解解例例解解若若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原
5、式的极限五、等价无穷小代换五、等价无穷小代换定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) )证证例例4 4解解若若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换对于代数和中各无穷小不能分别代换. .注意注意例例5 5解解例例6 6解解解解错错例例7 7解解
6、六、小结六、小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.3、无穷小的比较、无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.4、等价无穷小的代换、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的无穷小的阶阶.思考题思考题思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例有有一、填空题一、填空题: :练练 习习 题题练习题答案练习题答案
