《弹塑性力学》PPT课件

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1、弹塑性力学课程安排授课方式：讲座,讨论,练习考试方式：闭卷或开卷参考书目应用弹塑性力学，徐秉业、刘信声、著，北京：清华大学出版社，1995岩土塑性力学原理，郑颖人、沈珠江、龚晓南著，北京：中国建筑工业出版社，2002弹塑性力学引论，杨桂通编著，北京：清华大学出版社，2004弹性与塑性力学，陈惠发、A. F. 萨里普著，北京：建筑工业出版社，2004目录一、绪论二、矢量张量三、应力分析四、应变分析五、本构方程六、弹塑性力学问题七、能量原理及变分法八、塑性极限分析一、绪论1.1 基本概念1.2 弹塑性力学的发展历史1.3 塑性力学的主要内容1.4 塑性力学的研究方法1.5 与初等力学理论的联系1.

2、6 弹塑性力学的发展趋势1.1 基本概念弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门科学。应用于机械、土木、水利、冶金、采矿、建筑、造船、航空航天等广泛的工程领域。目的：（1）确定一般工程结构受外力作用时的弹塑性变形与内力的分布规律；（2）确定一般工程结构物的承载能力；（3）为进一步研究工程结构物的振动、强度、稳定性等力学问题打下必要的理论基础。 弹塑性力学的基本假设 （1）物体是连续的，其应力、应变、位移都可用连续函数表示。（2）变形是微小的，忽略变形引起的几何变化。即连续介质和小变形假设。弹性和塑性变形的特点弹性变形的特点: 应力应变之间具有一一对应的关系， 且

3、在许多情况下可以近似地按线性关系处理。塑性变形的特点： 应力应变关系不再一一对应， 且一般是非线性的单轴应力应变曲线弹性、塑性线性、非线性典型的塑性本构模型理想弹塑性模型强化弹塑性模型软化弹塑性模型弹塑性力学基本方程弹塑性力学的基本方程是： （1）平衡方程； （2）几何方程。 （3）本构方程。前两类方程与材料无关，塑性力学与弹性力学的主要区别在于第三类方程1.2 弹塑性力学发展历史1678年胡克（R. Hooke）提出弹性体的变形和所受外力成正比的定律。19世纪20年代，法国的纳维（C. I. M. H. Navier ）、柯西（A. I. Cauchy）和圣维南（A. J. C. B. de

4、 Saint Venant）等建立了弹性理论1864年特雷斯卡（H. Tresca）提出最大剪应力屈服条件。1871年列维（M. Levy）将塑性应力应变关系推广到三维情况。米赛斯（R. von Mises）提出形变能屈服条件。 普朗特（L. Prandtl）和罗伊斯（A. Reuss）提出塑性力学中的增量理论岩土塑性理论形成早期研究：1773年Coulomb提出土质破坏条件，其后推广为 Mohr- Coulomb准则；1857年Rankine研究半无限体的极限平衡，提出滑移面概念；1903年Ktter建立滑移线方法；1929年Fellenius提出极限平衡法；1943年Terzaghi发展了

5、Fellenius的极限平衡法；19521955年Drucker和Prager发展了极限分析方法；1965年Sokolovskii发展了滑移线方法。1.3 塑性力学的主要内容（1）建立屈服条件。对于给定的应力状态和加载历史，确定材料是否超出弹性界限而进入塑性状态，即材料是否屈服（2）判断加载、卸载。加载和卸载中的应力应变规律不同，需要建立准则进行判断。（3）描述加载（或变形）历史。 应变不仅取决应力状态，还取决于达到该状态的历史，在加载过程中必须对其历史进行记录。1.4 塑性力学的研究方法宏观塑性理论以若干宏观实验数据为基础，提出某些假设和公设，从而建立塑性力学的宏观理论。特点是：数学上力求简

6、单，力学上能反映试验结果的主要特性。实验数据加以公式化，并不深入研究塑性变形过程的物理化学本质。细微观塑性理论从细微观的层次来看，具有内部细微结构，如位错、微裂纹和微孔洞等。从细微结构的改变过程推求宏观塑性变形性质宏观塑性理论的求解方法精确解法。满足弹塑性力学中全部数学方程的解；近似解法。采用合理简化假设，获得近似结果。如差分法、有限元法、加权残值法等。实验方法。采用机电方法、光学方法、声学方法等来测定应力和应变的分布规律。精确解法对形状简单的物体比较有效，但对复杂形状的物体难以列出方程；有限元数值解法是近似方法，将列出方程的难度转移到复杂几何形状的模拟上。 1.5 与初等力学理论的联系材料力

7、学、结构力学从研究对象、基本任务来看，弹塑性力学与它们都是相同的；从处理问题的方法来看，都是从静力学、几何学、本构关系三个方面进行分析。区别研究问题的范围：材料力学仅研究杆状构件，结构力学主要研究杆状构件组成的结构系统，弹塑性力学涉及各种固体结构。研究问题的深度：材料力学和结构力学主要局限于弹性阶段，而弹塑性力学研究从弹性阶段到塑性阶段，直至最后破坏的整个过程。研究问题的简化程度：材料力学和结构力学除了采用与弹塑性力学相同的一些基本假定外，还要对杆件的应力分布和变形状态作一些附加的假定。如梁横力弯曲的平截面假定等，得到的结果比较近似。而弹塑性力学则不作该假定。总的来看，弹塑性力学的研究范围更加

8、广泛、研究问题更加深入，得到的结果更加精确。1.6 弹塑性力学的发展趋势由早期的精确解法占主导地位到如今的数值近似解法占主导地位。由线性问题向非线性问题不断扩展，并且研究开裂过程，多组分材料、多场耦合问题。由研究型的软件逐渐发展成商品化软件，如ANSYS、ADINA等。以后的趋势是功能更加完善，使用更加方便，与其它软件进行集成。二、矢量和张量2.1 基本概念2.2 矢量2.3 张量2.1 基本概念讨论应力、应变和本构方程时，通常采用矢量和张量符号。具有表达简洁的特点。坐标系规定：采用右手螺旋直角坐标系，熟悉记法为x轴、y轴、z轴，按规则记法为x1 轴、 x2轴、 x3轴。 2.2.1 矢量代数

9、矢量既有大小又有方向，在坐标系中通常用箭头表示。对空间任一点，坐标是（v1， v， v），可以表示为矢量或。由单位矢量叠加有：或简洁写为：2.2.2 标量积矢量有两种乘法，即标量积（点积或内积）和矢量积（叉积）。矢量U和V的标量积定义为：|U|表示矢量U的绝对长度， 为矢量U和V的夹角。标量积的计算式为：两个垂直矢量的点积为零。一个矢量长度的平方由它与自身的点积得到。应用：力F作用在一运动速度为V的物体上，功率由点积（ ）求出。2.2.3 矢量积两矢量的积为垂直于两矢量平面且按右手螺旋法则确定的一个矢量，该矢量长度等于 。标记为：W的大小等于由U和V组成的平行四边形的面积。2.2.4 三重积三

10、重标量积：称为三重标量积或框积，是以U、V、W为边的平行六面体的体积或体积的负值。可用U，V，W来表示。2.2.5 标量场和矢量场函数 称为一个标量场，梯度构成矢量场， 垂直于 =常数的表面。矢量的散度：矢量的旋度：2.3 张量1.3.1 指标记法和求和约定1.3.2 符号（Kronecker符号）1.3.3 符号（交错张量）1.3.4 坐标变换1.3.5 笛卡尔张量1.3.6 张量性质2.3.1 指标记法和求和约定矢量V用指标记法为 ，指标可以自由挑选。规则1：如果在一个表达式或方程的一项中，一种下标只出现一次，称之为“自由指标”。规则2：如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次

11、，则称之为“哑标”，它表示从1到3进行求和。规则3：在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数多于两次，则是错误的。在下标中，用一个逗号表示微分，如：2.3.2 符号（Kronecker符号）克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的缩写形式，即由求和约定可得到由于所以，将 应用于 只是将j用i置换，因此 符号通常称为置换算子。2.3.3 符号（交错张量） 符号有33或27个元素，取值为1，-1，0。从下标为自然顺序1，2，3开始，如果交换次数为偶数，则元素为1，为奇数，则为-1，如果下标出现重复，则值为0。可从图解判断：叉积证明：对分量1，对于表达式 由于下标1，j，k必须互不相同，所以可能的组

12、合有1，j=2，k=3和1，j=3，k=2，因而同理可对其它分量计算，合并得证。三重标量积可写为对交错张量和克罗内尔符号，有下列关系式：可用指标方法证明：2.3.4 坐标变换假设 和 是共原点的两个笛卡尔右手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中的分量分别为 和 ，则有 称为方向余弦，即 与 轴夹角的余弦。方向余弦表新坐标轴老坐标轴注意 的元素不对称。由 的定义有：所以或该式隐含6个等式：两坐标系中的点的坐标变换为和i为新坐标轴，j为旧坐标轴。2.3.5 笛卡尔张量张量的名称起源于它与应力（张力）有关的历史。新坐标系中每一个新矢量的分量是原来分量的一个线性组合，这种变换很规则方便且有很多用途。根据线

13、性变换的思想来定义张量。标量不受坐标变换的影响，定义为零阶张量，分量数=30=1。满足 ，这些矢量称为一阶张量，分量数=31=3。满足 ，称为二阶张量，分量数= 32=9。满足 ，称为三阶张量，分量数=33=27。如此可以推广到更高阶张量。虽然所有的矢量都是张量，但并不是所有的矩阵都必定是张量，如工程应变分量不构成一个张量。2.3.6 张量性质相等当两个张量对应的分量相等时，则定义它们相等。相加两个同阶张量的和（或差）仍是一个同阶张量，其分量为两个张量对应分量的和（或差）。相乘一个张量与一个标量的乘积为一同阶的张量。张量相乘构成一个新张量，其阶数是原张量的阶数之和。如缩并将两个指标赋给相同的字

14、母，则张量进行缩并。如对三阶张量 ，有缩并后，这是对一阶张量的变换规则。对称与斜对称对张量 ，如果 ，则称之为对称张量；如果 ，则称之为斜对称张量。任何一个二阶张量都可唯一分解成一个对称张量与一个斜对称张量之和，即各向同性如果一个张量的分量在所有坐标系中都具有相同的值，则它是各向同性的。张量 都是各向同性的。商法则对于 ，如果在任一坐标系中对任何张量 ，有：c是一标量，则 是一个张量。证明：由于c是标量由于于是得到对任意矢量 有 ， 为一矢量；对任意张量 有 ， 为一张量；那么 为一张量。对任意矢量 有 ，c为一标量，那么 为一张量。例题2-1如果 是一个标量，试证明（a） 是一个一阶张量；（

15、b） 是一个二阶张量；（c） 是一个标量（零阶张量）；三、应力分析3.1 一点的应力状态3.2 主应力3.3 最大剪应力3.4 Mohr应力图3.5 偏应力张量3.6 八面体应力3.7 应力的几何表示3.8 平衡方程3.1 一点的应力状态材料质点 从宏观尺度上看它无限小； 但微观尺度上看它无限大，它包含大量稀疏分布的分子、原子； 材料质点的力学行为是这些大量分子、原子力学行为的统计平均。应力矢量T(n) = 定义应力张量zyzyxxyxz 微六面体 Cauchy公式（斜面应力公式） 已知三个互相垂直面上的应力矢量，求任意一斜面上的应力矢量， 由四面体平衡条件导出。 求在面上的法向正应力和切向剪

16、应力 解应力分量的坐标变换 exeyezl11l12l13l21l22l23l31l32l33 3.2 主应力在主平面上，无剪切应力在主平面上，无剪切应力 T( n) n 或 Tx l Ty m Tz n (x)l+yxm+zxn0 xy l+(y)m+zyn0 xzl+yzm+(z)n0 l2 + m2 + n2 = 1 非零解条件3.3 最大剪应力以应力主轴建立坐标系，在法线为n的斜截面上，应力矢量为 T( n)T(e1)l+T(e2)m+T(e3)nl1e1 + m2e2 + n3e3 lmnn0000100002 00003 0003.4 Mohr应力图每个截面上有正应力和剪应力，建立

17、平面坐标系 截面上的应力对应坐标系的一个点截面上的正应力和剪应力 (l1)2+( m2)2+( n3)2截面上的正应力 n = T( n)n=l21+ m22 + n23 l2+m2+n2=1以上三个式子联立求解方向余弦 平面应力Mohr圆消去 ，得用斜截面应力公式，得到法向应力和切向应力，并用倍角公式变形得3.5 偏应力张量静水压力状态偏应力状态定义平均应力 0 = (x +y +z) 3.6 八面体应力3.7 应力的几何表示将三个主应力作为坐标，某点的应力状态表示为三维应力空间中的一点。静水状态轴：过原点且与坐标轴有相等夹角的直线。偏平面：垂直于静水状态轴的平面。 平面：过原点的偏平面。3

18、.8平衡方程 力矩平衡：绕z轴 (xydydz)dx(yxdxdz)dy=0 xyyx 绕x和y方向的形心轴取矩 yz=zy xz= zxxl+yxm+zxnxyl+ym+zynxzl+yzm+zn第4章 应变分析4.1 位移和应变 4.2 应变张量4.3 应变与位移的关系4.4 位移的分解4.5 主应变4.6 体积应变4.7 应变张量的分解4.8 应变协调方程4.1 位移和应变连续体内任意两点的相对位置改变时，此物体被称为有变形或有应变。物体发生位移，应变由位移得到。对物体中足够小的区域，认为该区域的应变是均匀的。位移应变 考察物体内任意一微小线段长度的相对改变 正（线）应变方向的相对改变

19、剪（角）应变4.2应变张量三个方向线元的应变决定该点的应变状态取与坐标轴相平行的三个方向 4.3 应变与位移的关系（几何方程）OA和OB两线元的长度分别为OA=dx，OB=dy。设O点的位移是u(x，y)和v(x，y)，A点的位移是u(x+dx，y)、v(x+dx，y)，B点的位移是u(x，y+dy)、v(x，y+dy)。，4.4位移的分解A点位移是：u(x、y、z)，v(x、y、z)，w(x、y、z)，B点位移是： u=u(x+dx、y+dy、z+dz) v=v(x+dx、y+dy、z+dz) w=w(x+dx、y+dy、z+dz) 4.5主应变将应力计算公式中的应力分量用应变分量替换，例如

20、求主应变的特征方程对于非零解条件行列式展开得主剪应变工程主剪应变最大值应变的Mohr圆图解表示4.6体积应变 (1+x+y+z)dxdydz x+y+z4.7 应变张量的分解 球形张量对应的应变状态只有体积等向膨胀或收缩，而没有形状畸变；偏应变张量对应的变形状态，只有形状畸变而没有体积改变 张量表示对偏应变张量 也可求主值，不变量：八面体应变八面体正应变八面体剪应变等效应变在材料不可压缩（ ）的情况下 ，单轴拉伸实验中就是单轴应变 4.8变形协调方程问题 根据几何方程去求位移分量，有多组位移解 表明物体发生裂缝或者相互嵌入，产生不连续。 因此，6个应变分量不能任意给定，必须满足一定的协调关系，

21、位移单值连续的必要条件，对单连通体，其充分条件是： ， 关于大变形应变定义无限多种但应满足两个条件 （1）物体只产生刚体位移是零 （2）在小变形时，与小变形的应变定义一致对数应变对小应变积分得到大应变：得到对数应变和工程应变之间的关系。5 5 本构关系本构关系5.15.1弹性应力应变关系弹性应力应变关系 应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关 x x= = x x( ( x x， y y， z z， xyxy， yzyz， zxzx) ) y y= = y y ( ( x x， y y， z z， xyxy， yzyz， zxzx) ) . .

22、 zxzx= = zxzx ( ( x x， y y， z z， xyxy， yzyz， zxzx) ) 5.1.1 5.1.1 一般表示一般表示5.1.2 材料对称性 弹性对称面 该面对称的两个方向具有相同的弹性关系 5.1.3 各向同性弹性体 广义Hooke定律 将x轴与z轴互换，或将y轴与z轴互换时，材料弹性关系不变， c11=c33， c12=c13， c55=c66=0.5(c11 c12) 于是，独立的弹性常数减少到2个 5.1.4 弹性常数的测定 静水压缩实验体积模量5.1.5 矩阵形式表达5.1.6 弹性应变能 一维情况 一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长量为

23、L，外力功为由于应力 x=P/S， x= L/L，上式可写成 5.2 屈服准则5.2.1 引言引言基本概念基本概念物体在外载荷作用下，随着载荷增大，逐步物体在外载荷作用下，随着载荷增大，逐步从弹性状态过渡到塑性状态，这种过渡称为从弹性状态过渡到塑性状态，这种过渡称为屈服屈服。物体内质点开始产生塑性变形时，应力或应物体内质点开始产生塑性变形时，应力或应变所必须满足的条件，叫变所必须满足的条件，叫屈服条件屈服条件。一般情。一般情况下，它是应力、应变、时间、温度等的函况下，它是应力、应变、时间、温度等的函数，但在不考虑时间效应和接近常温的情况数，但在不考虑时间效应和接近常温的情况下，屈服条件中不包含

24、时间和温度下，屈服条件中不包含时间和温度。屈服条件通常写为： 在应力空间中，屈服条件可以表示为屈服曲面。屈服面在平面上的迹线一般称为平面上的的屈服曲线，屈服面与子午平面的交线称为子午平面上的的屈服曲线。 平面上平面上屈服曲线的一般性质屈服曲线的一般性质1 1）屈服曲线是一条封闭的曲线；）屈服曲线是一条封闭的曲线；2 2）屈服曲线是外凸的；）屈服曲线是外凸的；3 3）屈服曲线所围成的区域是单连通的；）屈服曲线所围成的区域是单连通的；4 4）对于各向同性材料，屈服曲线对于）对于各向同性材料，屈服曲线对于 平面内平面内的三个坐标轴的三个坐标轴 是对称的。在是对称的。在 平面平面内的内的6 6个个60

25、60度扇形区屈服曲线具有相同的形状。度扇形区屈服曲线具有相同的形状。5.2.2 与静水压力无关的材料材料的屈服对静水压力不敏感，剪切应材料的屈服对静水压力不敏感，剪切应力控制着这些材料的屈服。力控制着这些材料的屈服。金属等晶体结构材料金属等晶体结构材料Tresca 条件：（1）单轴拉伸：屈服时1=s，2=3=0，代入屈服条件k=s/2（2）简单剪切：屈服时=s 1=s，2=0，3=s,代入屈服条件k=sMises 条件：sijeij=sijsij=J2 J2与弹性状态的形状改变能成正比J2 的物理意义 J2也与八面体上的剪应力成比例两种屈服条件比较 如假定单轴拉伸时两个屈服面重合，则Tresc

26、a六边形内接于Mises圆； 如假定简单剪切时两个屈服面重合，则Tresca六边形外切于Mises圆 5.2.3 与静水压力有关的材料岩石、混凝土、土等摩阻材料岩石、混凝土、土等摩阻材料在受拉状态下一般表现为脆性而几乎不产生在受拉状态下一般表现为脆性而几乎不产生塑性变形。塑性变形。只有在受压状态，由于微裂纹的扩展或闭合，只有在受压状态，由于微裂纹的扩展或闭合，裂纹表面的相对滑动，才可能产生类似于金裂纹表面的相对滑动，才可能产生类似于金属的塑性变形。属的塑性变形。 拉伸和压缩的力学性能差别很大 产生应变软化现象 产生塑性体积膨胀变形 与静水压力有关 具有弹塑性耦合 Rankine条件187618

27、76年年RankineRankine（朗金）提出最大拉应力（朗金）提出最大拉应力准则，用于确定脆性材料的拉伸破坏。准则，用于确定脆性材料的拉伸破坏。还可表达为还可表达为Mohr-Coulomb条件：当123时，Mohr-Coulomb屈服条件可写成Drucker-Prager条件：偏平面上DP条件的屈服曲线Zienkiewicz-Pande条件：为单轴抗压强度广义双剪应力屈服准则（俞茂鋐，1982）两种著名的帽子模型Druker提出的帽子模型剑桥模型（Cam-Clay模型）例：例5-2：一薄壁圆管，平均半径为R，壁厚为t，受内压p作用，讨论下列两种情况：（1）管的两端是自由的；（2）管的两端是

28、封闭的；分别使用Mises和Tresca屈服条件，讨论p多大时管子开始屈服（规定纯剪时两种屈服条件重合）对于Mises屈服条件:J2=s2对于Tresca屈服条件:13=k=2sp=2st/R（2）管段的两端是封闭的：应力状态为，z=pR/2t，=pR/t，r=0，zr=r=z=0J2=(zr)2+(r)2+(z)2+6()=(pR/t)213=pR/t对于Mises屈服条件： p = 2st/R对于Tresca屈服条件： p = 2st/R对管的两端为固定的情况，屈服压力又如何？5.3 塑性应力应变关系5.3.1 加载条件5.3.2 流动法则5.3.3 强化法则5.3.4 增量理论5.3.5

29、 全量理论5.3.6 稳定公设5.3.7 典型例题5.3.1 加载条件在塑性变形阶段，应力和应变关系是非线性的。应变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。 加载条件和加载面 在单轴试验中，当应力超过初始屈服应力后发生塑性变形，卸载后重新加载其屈服应力将提高（强化）或减小（软化）。推广到三维情况下，在空间应力条件下这就相当于是加载面的移动、扩大或缩小，加卸载准则 在应力空间上的屈服面确定了当前弹性区的边界。 若应力状态改变时材料中有新的塑性变形产生，这种应力变化称加载（loading）；而当应力变化时材料回到弹性状态，不产生新的塑性变形，这种应力变化称卸载（unloading）。 上述情况下

30、应力应变关系是不同的。因此，要确定应力应变关系还需建立一个加载准则。对单轴受力的情况，加卸载准则可表为： 对于理想弹塑性材料，加卸载条件为对于硬化材料在强化阶段，加卸载条件为：对于硬化材料在软化阶段，加卸载条件在应力空间无法体现。5.3.2 流动法则 塑性位势理论：Mises将弹性位势理论推广到塑性理论，提出塑性流动方向（塑性应变增量矢量的方向）与塑性势函数的梯度方向一致：关联流动法则 非关联流动法则Mises形式的塑性势能函数由流动法则得不会产生塑性体积变化：塑性应变增量是一个偏量 展开为考虑弹性应变，得到：这就是Prandtl-Reuss方程。在大塑性流动中，忽略弹性变形，得到Levy-M

31、ises方程：相对弹性力学问题，增加了d未知数，也增加了一个方程（屈服条件）理想弹塑性问题，考虑平衡方程几何方程物理方程屈服条件应变Lode参数Tresca形式的塑性势能函数在应力状态位于塑性势能面顶点或奇异点，塑性应变增量必须位于六边形两相邻边的法线方向之间。当应力点位于f1=0上当应力点位于f2=0上=(0d1d1)=(d20d2)当应力点在f1=0和f2=0的交点上可在f1=0的法线n1与f2=0的法线n2之间变化，这个变化区域称之为尖点应变锥一般地，在几个光滑势能面相交的奇异点处，塑性应变增量表示成在该点相交的各面的法线方向所确定的增量的线性组合：5.3.3 强化法则 1）强化法则的概

32、念 在加载过程中，屈服面不断改变它的形状以使应力点总是位于它上面，从某一个屈服面如何进入后继屈服面的准则就是强化法则，也就是控制加载面发展的规则。 单轴拉伸下的强化随加载，屈服极限会不断提高，称为强化或硬化新的屈服极限： (s)new = Max()后继屈服条件（也称加载条件）(s)new处于屈服状态0，dt0）此时，可由增量理论推导出全量理论此时，可由增量理论推导出全量理论在平面上，该加载路径是一条=const的射线，deij=dsij+dsij （Mises准则）dkk=dkkeij=sijkk=kk积分得积分得令H=1/2G+得： eij=Hsijeijeij=H2sijsij 得：如何

33、保证物体的每一个微小单元都处在简单（比例）加载情况，Ilusion给出了一组充分条件。（1）小变形；（2）材料不可压缩；（3）外荷载按比例单调增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件；（4）材料的曲线具有幂指数硬化形式：这是一组苛刻的条件（不可压缩材料不多，这是一组苛刻的条件（不可压缩材料不多，幂次型有效应力和应变关系也难满足），揭幂次型有效应力和应变关系也难满足），揭示出全量方法在应用上的极大局限性。示出全量方法在应用上的极大局限性。在工程实际应用中，许多实例是偏离简单加在工程实际应用中，许多实例是偏离简单加载定理的，只能满足条件（载定理的，只能满足条件（1）、（）、（3），但），但结果

34、还比较满意，说明在一个较大范围内可结果还比较满意，说明在一个较大范围内可以采用全量理论，计算结果再用实验复核。以采用全量理论，计算结果再用实验复核。5.3.6 稳定公设（1）稳定材料：应力增加，应变随之增加，即0，（2）不稳定材料：应变增加，应力减少，称之为应变软化，0材料处于加载，反之材料处于卸载。例5-5：已知处于平面应变状态（z=0）中的一个材料单元，它的应力分量是x=，y=0，且x，y，z均为应力的主方向。若材料为理想塑性，Poisson比1/2，单轴拉伸屈服极限为s，试利用Mises屈服条件求出该材料单元达到屈服时的值。记屈服时的值为0，屈服后加载使得x=0+d，求z方向的应力增量d

35、z。Mises屈服条件 0=（2）在施加dx=d时材料处于加载状态，对于理想弹塑性则要求 dij=0 sxdx+ sydy+szdz=0由于dy=0，最后得：板分成以下三种类型：薄板：（1/801/100）t/b（1/51/8）；薄膜：t/b（1/51/8）。薄板弯曲板所承受的荷载： 作用于中面的面内载荷。弹性力学平面问题 垂直于中面的横向荷载。板将产生弯曲，板的中面将变形成为一个曲面，垂直于中面的位移称为挠度w。小挠度弯曲问题 薄膜： 其抗弯的能力很低，可认为其抗弯刚度为零，横向荷载由板面内的轴向力和板面内的剪切力来承担；必须考虑大变形的影响。 厚板： 其内部任意点的应力状态与三维物体类似，

36、难以进行简化，应按照三维问题处理；对于厚度比较小的薄板。 薄板的基本假定：（1）板中面法线变形前是直线，变形后仍保持直线，且与变形后的中面保持垂直；（2）中面法线变形后既不伸长也不缩短；（3）中面各点没有平行于中面的位移。由假定（2）（与梁弯曲问题的互不挤压假定相似）z=0w=w(x,y)由假定（1）（与梁弯曲问题的平面假定相似）zx=zy=0， 积分得使用假定（3），z=0时，u,v=0，得：f1(x,y)=0，f2(x,y)=0薄板的应变x=Kxz yKyz xy2Kxyzz =yz = zx 0于是应变全部给出于是应变全部给出两个曲率和一个扭率两个曲率和一个扭率 薄板的应力分量 (x、y

37、、xy）通过平面问题的物理方程由应变求出(z、zx、zy）则必须由三个平衡微分方程求解给出应力分量（z、zx、zy）尽管相对面内应力分量（x、y、xy）很小，它们对应的应变分量z、zx、zy可略去不计，但它们本身由于是平衡所必须的而不能忽略不计。特点：均沿厚度呈线性分布，在中面处为零，在板的上、下板面达到最大。应力分量（x、y、xy）考虑平衡微分方程 ，有其中，体力简化为面荷载。 考虑薄板上、下板面的边界条件 利用z方向的平衡条件求z将z方向所有力作用等效移置到板面上，板上、下表面的边界条件变成z沿板厚度方向呈三次方变化最大值发生在板面为q，最小值在板底为0。利用板下面的边界条件，f(x,y)

38、=0利用板上面的边界条件，得：D是板的弯曲刚度，板厚的三次方成正比，与弹模成正比，与梁的弯曲刚度类似 薄板的平衡微分方程 薄板横截面上的内力 剪应力互等定理xy=yx，Mxy=Myx正负规定：在z为正，若应力分量为正，则由此合成的内力为正。内力是作用在每单位宽度上的力，例如：弯矩和扭矩的量纲应是力，而不是通常的力/长度。 内力由挠度表示 将应力的表达式代入积分得到（x，y，xy）qb2/t2（xz，yz）qb/t zq 应力与内力的关系 由内力表示的平衡微分方程 (1)(2)(3)将（2）和（3）代入（1），得D4w=q侧边边界条件由圣维南原理满足将分布剪力和分布扭矩合成为分布剪力用挠度表示可

39、用2个大小相等为Myx，方向相反，相距dx的垂直力代替可用2个大小相等为，方向相反，相距dx的垂直力代替，广义剪力此外，还有两端未抵消的集中剪力RA(Myx)A，RB(Myx)B最终角点B出现未抵消的的集中力应是RB(Myx)B(Mxy)B2(Myx)B及两端的集中力RB(Mxy)B，RC(Mxy)C 同样有（1）自由边弯矩和合成剪力为零，因此，在x=a上， Mx=0，Vx0，在y=b上，My=0，Vy0，（2）简支边在y=0的简支边界上，挠度和弯矩应为零，即(w) y=0=0，(My) y=0由于(w) y=0=0表示沿x轴，w无变化，必然有，所以，简支边的边界条件可写成(w) y=0=0（

40、3）固定边在x0的固定边上，挠度和转角为零，故边界条件可写成(w) x=0=0（4）角点条件板边的分布扭矩代换为分布剪力后，在角点将出现一个集中力，这个集中力就是支座对板角点的集中反力。在求得挠度后，这个集中力可由RB表达式求得；对于无支座支撑的角点，例如图中的两自由边界的交点B，则要求 RB=2(Myx)x=a, y=b=0，即：例6-8：受均匀分布荷载四边简支板的Navier解解：设挠度为三角级数形式 它能满足所有的边界条件，即(w) x=a=0(w) y=0=0(w) y=b=0(w) x=0=0利用三角级数的正交性，求得代入方程22w=q积分项为挠度为在板的中心x=a/2，y=b/2处

41、，弯矩Mx和My最大，而Mxy为零；在板边界Mx和My为零，而Mxy最大。内力表达式的级数收敛较慢。例6-9：假定矩形扳支承与承受荷载如图，试写出挠度表示的各边边界条件解：1) 固定边OA的边界条件是：2）简支边OC的边界条件是：(w)y=0=0(My)y=03）自由边BC：(Mx)x=a=0(Vx)x=a=04）两自由边的交点B(w)x=a,y=b=0(2Mxy) x=a,y=b=RB是B点支座的被动反力。自由边AB：(My)y=b=0(Vy)y=b =q6 弹塑性力学问题的微分提法和基本解法6.1 弹性力学的基本方程 平衡方程几何方程本构方程x=2Gx +xy=Gxyy=2Gy +yz=

42、Gyzz=2Gz +zx=Gzx6.2 弹性力学问题分类按边界条件分类静力边界问题 位移边界问题混合边界问题圆筒受内外水压力作用（静力边界问题）静力边界条件 xl+ yxm+ zxn xyl+ ym+ zyn xzl+ yzm+ zn重力坝受水压力作用（混合边界问题）6.3 基本解法 应力平衡微分方程静力边界条件 变形(位移与应变)变形协调方程(或位移单值连续)位移边界条件物理方程求解物理量位移解法以位移作为未知数几何方程求应变物理方程求应力其中 是Lplace算子，静力边界条件使用位移表示位移边界条件拉梅-纳维方程应力解法满足平衡微分方程和静力边界条件它给出的变形应满足协调条件，不计体力时拜

43、尔特米拉-密乞尔方程6.4 解的性质存在性：可从物理现象上理解唯一性：假设两组不同的解，比较它们的差别可证明。假设在同一条件下存在两组不同的解 和考虑两组解的差值：将它们对应的平衡方程、静力边界条件和位移条件也相减，得到：6.5 圣维南原理（1）局部作用原理 作用在物体局部表面的自平衡力系，仅对局部范围产生显著影响。（2）静力等效原理：静力等效的两套力系，物体应力只在力作用附近有显著差别6.6 叠加原理两组荷载共同作用时产生的应力场、应变场和位移场，等于各自单独作用时引起的相应场之和。 是由基本方程与边界条件的线性性质所决定，适用于线弹性和小变形情况。对大变形，弹性稳定问题和弹塑性力学问题不适

44、用。例 题 6-1半无限体（密度为半无限体（密度为 ）受均布力）受均布力q作用，求应力场。作用，求应力场。根据问题的对称性，位移应只是z的函数 w=w(z)体积应变是代入拉梅-纳维方程应力是x=y=g(z+A)z=g(z+A)xy=yz=zx=0应用边界条件求待定常数L=m=0,n=-1-zz=0=q边界条件是：A=q/g解得：B代表刚度位移，应由位移边界条件确定极坐标解平面问题 必要性： 对于特殊几何形状和受力分布，使求解简单特点：方程形式将改变，但物理本质应不变方法：通过张量分量的坐标变换；使用物理定律，直接推导；曲线坐标特点： 局部坐标，基矢量每点变化 尺度因子不为1 平衡微分方程 径向

45、平衡环向平衡平衡微分方程仅产生径向位移应变位移关系（几何方程）各点的位移为仅产生环向位移 各点的位移为得到几何方程物理方程形式不变，为什么 220变形协调方程用应力函数表示应力分量为例6-5：如图所示，楔形体两边受均匀分布的切向荷载作用，求其中的应力分布。解：（1）根据因次分析选择并求解代入协调方程通解是：f( )=Asin2 +Bcos2 C +D=2Asin2 2Bcos22C+2D2(Asin2+Bcos2C+D)= 2Acos2 + 2Bsin2 C根据力边界条件求出常数A、B、C、D()= = 0 ， (r) =q ，(r) = qA=0， C=0， 例6-6：圆筒内半径为a，外半径

46、为b，内壁作用均匀压力为qa，外壁作用均布压力qb，求应力分布。解：这是一个轴对称问题。当弹性体的几何形状和外荷载为轴对称时，应力与应变也都应是轴对称的，它们仅是r的函数，而与无关。应力函数： = (r)r=r=0协调方程简化为 协调方程的通解是： =Alnr + Br2lnr + Cr2 + D力边界条件：(r)r=a = qa (r)r=b = qb(r)r=a = 0 (r)r=b = 0前面两个边界条件可求出A、C，后两个条件自然满足。 使用位移单值条件求常数B 例6-7：半无限体上受集中力作用，该集中力与水平方向夹角为，求应力分量。解：应用因次分析方法来设应力函数。 应力分量的因次是

47、力/长度-2， 集中力的因次是力/长度-1（对空间而言，它是沿厚度方向分布的力），而是无因次的，因此应力分量的表达式应取下面的形式=(P, r, )=f()=rf()f()=Acos+Bsin(Ccos+Dsin)(r,)=Arcos+Brsin(Crcos+Drsin)代入变形协调方程Arcos+Brsin =Ax+By是线性项，不产生应力 边界条件 (r)r0, =/2=0 (r)r0, =/2=0自然满足厚壁圆筒问题例6-6用位移法求解。为一个轴对称平面应变问题，径向位移和环向位移为零。几何方程化简为：平面问题几何形状；一个方向的尺度与另外两个方向的尺度相差很大。作用外力；在一个平面内

48、空间问题 平面问题平面问题分类：平面应力和平面应变平面应变物体是一柱体，轴向方向很长 所有外力都平行于横截面作用，且沿轴线大小不变 平面应变特点（1）位移 u=u(x,y)v=v(x,y)w =0（2）应变平面内，x、y、xy0，均为x、y的函数；平面外，z=xz=yz=0；（3）应力z=(x+y) 平面应变的物理方程导出其中平面应力沿z方向的厚度t均匀且很小所有外力均作用在板的周边和板内，平行于板面作用。平面应力特点（2）应变（1）应力在z=的面上各点没有任何与z向有关的应力z=zx=zy=0在面内：x、y、xy0xz=yz=0 （1）位移 u=u(x,y)v=v(x,y)w 0平面问题平衡

49、微分方程将 z = zx = zy=0（平面应力） z= z (x,y)， zx = zy=0（平面应变）代入空间问题的平衡方程式，得 平面问题几何方程z=Ax+By+C （A、B、C为常数） x+y=ax+by+c （a、b、c为常数）线性条件 对于厚度很小的薄板，即使是线性条件不能满足，也可近似地按平面应力状态来处理 应力表示的变形协调方程使用平衡微分方程在应变表示的变形协调方程中使用平衡微分方程体积力为常数时,变形协调条件为2(x+y)=0此为莱维方程，加上平衡微分方程即可求解两类平面问题的平衡微分方程相同，几何方程也相同，弹性常数替换后，本构方程也相同，故可以统一求解。但对弹塑性问题则

50、不能统一，因为屈服条件表达不一样。2(x+y)=0（2）边界条件静力边界条件：由于侧边界法线与z轴垂直n=0，且0，边界条件式的第三式自然满足，而其它两个式子变成xl+yxmxyl+ym使用应力解法求解平面问题（1）方程特解通解+选取特解为x Xxy =Yy xy =0或者可取为其它形式，如 x 0，y =0，xy =XyYx 求平衡微分方程的通解由剪应力双生互等定理：将称为Airy应力函数，于是求齐次方程形式上的通解有： 平面问题求解问题归结为 220 + 边界条件或220代入莱维方程得逆解法求解： 根据具体问题的边界条件和受力特点，凑出一部分应力分量的函数形式或者是应力函数的形式，它们中包

51、含有待定的函数或常数。 然后通过满足应力函数表示的协调方程和所有的边界条件，确定这些待定的函数或常数。若不满足，则修改原来所设的函数形式，直到它们满足 例6-2 用应力函数=dxy3+bxy 求解悬臂梁一端受集中力作用下问题的应力解（不考虑体积力）。解： （1）满足变形协调方程 （2）满足静力边界条件由应力函数求应力分量 边界条件： 在x=0的边界（l = 1，m = 0）上，力边界条件要求 应用圣维南原理近似满足 其中这与材料力学结果完全一致。当自由端的剪力按抛物线分布，固定端的轴力按线性分布，为精确解。例6-3：图示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次式的应力函数求解设应力函

52、数为=ax3+bx2y+cxy2+dy3 满足协调方程 求应力满足边界条件在y=0上， y=0 xy=0在斜面 y =xtan，l=sin，m =cosx(sin)+xycos=0xy(sin)+ycos=0代入边界条件得常数a、b、c和d分别是a=0，b=0， c = gctan， d = g ctan2将上面的常数代入应力分量的表达式，得应力解。例6-4：图示挡水墙，其容重p=g（为墙的密度），厚度为h，水容重为，试求应力分量。 求应力函数 设 y=xf(y) 代入协调方程 得经积分得：f(y)=Ay3+By2+Cy +Df2(y)=Ey3+Fy 2+Gy +H因此 求应力分量 利用边界条

53、件求待定常数 在x=0的面上，边界条件要求xy=0，x=0，但都不能精确满足，因此，需应用圣维南原理求近似满足七、泛函与变分7.1.1 泛函的概念7.1.2 泛函的极值和泛函的变分7.1.3 泛函取极值的必要条件7.1.4 求泛函极值的直接方法7.1.1 泛函的概念许多定解问题，由于方程复杂或者边界性质不规则，无法精确求解。采用某种方法求满足要求的近似解具有重要的现实意义。变分法就是其中最有力的方法之一。泛函是函数概念的推广。泛函是依赖于自变函数的变量，或者称为函数的函数。记为决定通常函数的值的因素是自变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函数的取形。7.1.2 泛函的极值和泛函的变分随着泛函的

54、自变量函数在某个邻域变化时，泛函取得极小值或极大值，统称为泛函的极值。如光学中的费马原理，分析力学中的哈密顿原理等。与泛函极值有关的问题称为变分问题。求泛函极值问题的数学方法称为变分法。又分为直接法和间接法。函数的变分对一个连续函数略微变形：则称增量部分为函数的一阶变分，简称函数的变分，记为：此时函数 相应变形为于是这表明，对于一个给定函数，变分和微分两种运算可以互换次序。复合函数的变分：泛函的变分对于积分形式泛函：变化量其中的线性主部称为泛函的第一次变分，简称泛函的变分，记为：7.1.3 泛函取极值的必要条件与函数极值的判别法则类似，泛函取极值的必要条件为泛函的一阶变分等于零，即对积分式中第

55、二项应用分部积分法：在简单变分问题中，端点是固定的，故合并后有上式对任意的a,b和任意的 都成立，故因此泛函取极值的条件可表示为微分方程，这称为泛函极值的欧拉方程。较复杂的泛函的欧拉方程可仿照上述方法导出。例7-1：最速落径问题用欧拉解法求解，结果为摆线的参数方程：7.1.4 求泛函极值的直接方法将变分问题转化为求解微分方程，只能在不多的情况下能积分为有限形式。能否不经过微分方程直接求解呢？里兹（Ritz）法是比较典型的直接方法。取某种完备函数系用其中的一部分的组合来表示变分问题的解，形式为七、变分原理和有限元法7.1 变分法7.2 虚功原理7.3 最小势能原理7.4 变分原理应用7.5 有限

56、元法7.1 变分法材料质点（微单元体）静力平衡变形几何物理关系偏微分方程变分法整个变形体的能量积分方程（能量的变分为零）变分法是有限元方法的基础变分法与微分方程的描述，两者可以转化 静力可能状态 物体Q，在内部受体力(X，Y，Z)作用， 在静力边界S上受面力( ， ， )作用 外力与内力(应力）处处（物体内和边界上）满足平衡。在物体内满足平衡微分方程在静力边界上满足静力边界条件在位移边界上，其反力由上式给出在物体内位移与应变满足几何方程ud= vd= wd= 在位移边界Su上，满足位移边界条件变形可能状态 静力可能状态（s）和变形可能状态（d）是同一物体的两种不同的受力状态和变形状态，两者可以

57、彼此完全独立而没有任何关系 静力可能状态的应力所给出的变形一般不满足变形协调 变形可能状态给出的应力一般不满足平衡微分方程7.2 虚功原理 外力（体力和面力，包括反力）在变形可能的位移上所做功 内力（应力）在变形可能的应变上所做功 证明:散度定理：虚功方程还可用增量和变化率方式表达真实状态（静力可能状态）虚位移状态（变形可能状态）虚功方程的增量形式外力虚功内力虚功（1）虚功原理没有涉及到物理方程，即没有规定应力与应变之间的具体关系，因此，对弹性、塑性情况均适用。（2）给出一个连续位移场，虚功（位移）原理完全等价于平衡微分方程和力边界条件。 使用位移法求解，应力、应变等都通过几何方程和物理方程看

58、作是位移的函数。若位移及与之相应的应力与应变满足：（1）单值连续（由它给出的应变满足变形协调条件），（2）位移边界条件，（3）平衡微分方程，（4）静力边界条件，则该位移就是问题的解，即为真实位移。 7.3 最小势能原理内力虚功 物体是弹性的，则单位体积内的内力虚功对于整个弹性体内力虚功应变能因虚位移而引起的改变 外力虚功 如果作用的外力是保守力，大小和方向都不变，只是作用点的位置改变 外力虚功外力势能因虚位移而引起的改变 称为弹性体的总势能，它是应变能与外力势能之和将上述结果代入虚功原理，得位移变分原理（1）虚位移原理无论是弹性、还是塑性情况下都成立， 但位移变分方程式仅对弹性保守系统有效。（

59、2）变分与微分在数学上的意义类同 都是指微小的变化，因此运算方法相同，但它们的运算对象不同： 微分运算中，自变量一般是坐标等变量，因变量是函数 变分运算中，自变量是函数，因变量是函数的函数，即数学上所谓的泛函。 总势能是位移函数的泛函。对泛函求极值的问题，数学上称之为变分法。将求解弹性力学中偏微分方程的问题转化为求解势能变分问题7.4 变分原理应用例7-2:简支梁受分布荷载作用，不计自重时，导出以轴线挠度表示的平衡微分方程和两端的静力边界条件。解：用w表示轴线挠度，不考虑剪切作用，则梁的应变能可近似地表示为而外荷载q形成的外力势为 使用变分原理使用分部积分合并后，根据变分的任意性，其中每一部分

60、的值都为0，由于在支承点x=0，x=l上的虚位移为零，即w=0，于是 任意，则是用挠度表示的平衡方程 支承点上弯矩为零的力边界条件 例题7-3:用变分方法求简支梁在均布荷载作用下的挠度解： （1）设位移函数为（Ritz法） w(x)=c1x(lx) 显然，该挠度函数满足位移边界w(0)= 0，w(l)=0。（2）求总势能 （3）求总势能的极值7.5 有限元法变分法近似求解： 整个物体（求解区域）构造近似位移函数， 对于复杂的几何形状，这往往比较困难。有限元法基本思想：把整个求解区域分成许多个有限小区域，这些小区域称之为单元。在每个单元上构造近似位移函数，即进行所谓的分片插值。在每一个单元上应用

61、虚功原理表示平衡条件。用总体平衡条件求解单元节点位移。下面就以平面三角形单元阐明有限元的基本概念 位移函数假设各三角形单元内位移是线性变化的，其内部任意一点的位移分量假设可由三个节点的相应位移分量插值表示为式中ue是三个节点的位移列阵：ue=N被称之为形函数矩阵，为N其中Ni称为形函数关于单元内位移变化的假设通常称之为位移模式。应变根据上面的位移函数，应用几何方程可求得应变，用矩阵形式表达为=Bue 其中B=N为应变-位移矩阵应力由物理方程求应力，使用矩阵形式表示为=D=DBueD是物理矩阵。 考虑任意的变形协调组 、 ，可以用结点的虚位移表示：应用虚功方程：由于结点虚位移为任意的，于是其中K

62、是单元刚度矩阵。内力虚功可写成ueTPe 外力虚功可写成ueTFe Pe 可看作是内应力积分在节点上的等效节点力Fe 可看作是外荷载（包括面积力和体积力）作用在节点上的等效节点力。Pe =Fe 数据输入(前处理)求解计算结果整理与输出(后处理)统计结果：第1阶段所用时间最长，第3阶段次之，第2阶段相对较少。有限元程序三大模块数据输入(前处理)单元几何:单元编号;节点坐标材料性质边界条件(约束)荷载(体积力,面积力)求解计算单元刚度矩阵(形函数矩阵，B矩阵，D矩阵，高斯积分)单元荷载列阵组集整体刚度矩阵和整体荷载列阵方程组求解结果整理（后处理）等值线矢量图变形网格图编程基本原则结构化，模块化可读

63、性强变量命名简单直观，适当注释程序条理清楚，逻辑性强节约内存，计算效率优化整体刚度矩阵的形成单元数据定位XL（NDM,NEN)单元内节点坐标数组UL(NDM,NEN)单元内节点位移数组LD(NDF*NEN)方程编号单元数组的计算Ly = rUa = y八、结构塑性极限分析8.1 极限状态性质8.2 塑性极限分析定理8.3 梁的极限分析8.1极限状态性质塑性极限载荷是表征结构承载能力的最大值。采用弹塑性分析方法，需要了解整个加载过程。采用塑性极限分析，结果一样，而分析大为简化。塑性极限分析可以得到：（1）结构的塑性极限荷载；（2）塑性极限状态时的应力分布；（3）塑性极限状态时的破坏机构；性质变形

64、体处于极限状态时，应力场和变形许可场仍然满足虚功方程。变形体处于极限状态时，外部荷载做正功。变形体的极限状态的解答是唯一的。理想塑性材料极限状态的解答和材料在屈服前的弹性性质没有关系。8.2 塑性极限分析定理采取如下假设：（1）材料是理想刚塑性的。（2）小变形，极限状态前保持稳定；（3）所有外荷载按比例增加。极限状态满足条件（1）平衡条件；（2）破坏机构条件；（3）极限条件。目前还不能提出寻找极限状态控制方程的完全解的较一般的分析方法。常对极限荷载作出一定的估计，即关于极限荷载的下限定理和上限定理。下限定理任何一个静力容许的内力场所对应的荷载是极限荷载的下限：证明：不考虑体力，设极限状态时的荷

65、载系数为 ，应力场为 ，位移速率为 ，应变速率为 ；静力容许的应力场为 ，荷载系数为 ，有：根据Drucker公设，左端非负，右端的面力做功为正值，因此：即静力荷载系数为极限荷载系数的下限。上限定理任何一个机动容许的位移场所对应的荷载是极限荷载的上限：证明：设机动容许场位移速率为 ，应变速率为 ，应力场为 ，荷载系数为 ：根据Drucker公设，左端非负，右端选择位移场上使面力做正功，因此：即机动容许荷载系数为极限荷载系数的上限。由上下限定理知：当取等式时，载荷系数既满足静力许可场，又满足机构运动场，故正好为极限载荷系数，即完全解。求解方法静力法：（1）建立静力容许的应力场；（2）由静力容许应力场求对应荷载，为极限荷载下限 ；（3）从若干下限值中取最大值 ，检查是否为完全解。8.3 梁的极限分析矩形梁截面上应力的屈服条件为随着弯距的增加，截面的应力分布为相应的弯距为：弯距MP称为截面的塑性极限弯距在静定梁中仅需要一个截面达到全塑性状态，该梁就可成为破坏机构。如受集中载荷的简支梁，令其最大弯矩值等于 ，就可得到极限荷载的完全解：同理可求均布荷载作用下的极限值，弹塑性区的交界为一双曲线。对拱坝可划分为拱梁系统，利用上下限定理求极限荷载，或者将某种荷载的乘子作为安全系数。同样，采用有限元方法，可对重力坝、岩石边坡等求取极限荷载或安全系数。