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1、一、二维随机变量一、二维随机变量在实际应用中，在实际应用中，有些随机现象需要同时用两个或以有些随机现象需要同时用两个或以上的随机变量来描述上的随机变量来描述.例如，例如， 研究某地区学龄前儿童研究某地区学龄前儿童前儿童的发育情况时，前儿童的发育情况时，就要同时抽查儿童的身高就要同时抽查儿童的身高、体重体重这里，这里， 和和是定义在同一样本空间是定义在同一样本空间某地区的全部学龄前儿童某地区的全部学龄前儿童两个随机变量两个随机变量.在这种情况下，在这种情况下， 我们不但要研究我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之而且还要研究它们之间的统计相依关系
2、，间的统计相依关系， 因而需考察它们的联合取值的统因而需考察它们的联合取值的统即多维随机变量的分布即多维随机变量的分布.由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，由于从二维推广到多维一般无实质性的困难， 故我们故我们二维随机变量二维随机变量由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，由于从二维推广到多维一般无实质性的困难， 故我们故我们二维随机变量二维随机变量由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，故我们故我们重点讨论二维随机变量重点讨论二维随机变量.定义定义设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为而而是定义在是定义在上的两个随机变量，上的两个随机变量，
3、称称为定义在为定义在上的上的二维随机变量二维随机变量或或二维随机向量二维随机向量.注注： 一般地，一般地，称称个随机变量的整体个随机变量的整体为为维随机变量维随机变量或或随机向量随机向量.完完二、二维随机变量的分布函数二、二维随机变量的分布函数二维随机变量二维随机变量的性质不仅与的性质不仅与及及有关，有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,将将作为一个整体进行研究作为一个整体进行研究.与一维情况类与一维情况类我们也借助我们也借助“分布函数分布函数”来研究二维随机变量来研究二维随机变量.定义定义 设设是二维随机变量，是二维随机变量， 对任意实数对任意实数二
4、元函数二元函数故需故需似似,记为记为称为二维随机变量称为二维随机变量的的分布函数分布函数或称为随或称为随二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数记为记为称为二维随机变量称为二维随机变量的的分布函数分布函数或称为随或称为随二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数记为记为称为二维随机变量称为二维随机变量的的分布函数分布函数或称为随机或称为随机变量变量和和的的联合分布函数联合分布函数.若将二维随机变量若将二维随机变量视为平面上随机点的坐视为平面上随机点的坐标，标， 则分布函数则分布函数就是随机点就是随机点落入区域落入区域二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数就是随机点就是随机点落入区域
5、落入区域二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数就是随机点就是随机点落入区域落入区域的概率的概率(如图如图1).由概率的加法法则，由概率的加法法则，随机点随机点落入矩形域落入矩形域的概率的概率 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数若已知若已知的分布函数的分布函数则可由则可由导出导出和和各自的分布函数各自的分布函数和和二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数若已知若已知的分布函数的分布函数则可由则可由导出导出和和各自的分布函数各自的分布函数和和二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数若已知若已知的分布函数的分布函数则可由则可由导出导
6、出和和各自的分布函数各自的分布函数和和分别称分别称和和为为关于关于和和的的边缘分布函数边缘分布函数.联合分布函数的联合分布函数的性质性质完完联合分布函数的性质联合分布函数的性质随机变量随机变量的联合分布函数的联合分布函数联合分布函数的性质联合分布函数的性质：且且(1)注注：以上四个等式可从几何上进行说明以上四个等式可从几何上进行说明.（2）关于关于和和均为单调非减函数，均为单调非减函数， 即即对任意固定的对任意固定的对任意固定的对任意固定的联合分布函数的性质联合分布函数的性质注注：以上四个等式可从几何上进行说明以上四个等式可从几何上进行说明.（2）关于关于和和均为单调非减函数，均为单调非减函数
7、， 即即联合分布函数的性质联合分布函数的性质注注：以上四个等式可从几何上进行说明以上四个等式可从几何上进行说明.（2）关于关于和和均为单调非减函数，均为单调非减函数， 即即对任意固定的对任意固定的当当对任意固定的对任意固定的当当（3）关于关于和和均为右连续，均为右连续，即即完完例例1设二维随机变量设二维随机变量的分布函数为的分布函数为(1) 试确定常数试确定常数(2) 求事件求事件的概率的概率. .解解 (1)由二维随机变量的分布函数的性质由二维随机变量的分布函数的性质, ,可得可得由这三个等式中的第一个等式知由这三个等式中的第一个等式知例例1设二维随机变量设二维随机变量的分布函数为的分布函数
8、为(1) 试确定常数试确定常数(2) 求事件求事件的概率的概率. .解解 (1)由这三个等式中的第一个等式知由这三个等式中的第一个等式知例例1设二维随机变量设二维随机变量的分布函数为的分布函数为(1) 试确定常数试确定常数(2) 求事件求事件的概率的概率. .解解由这三个等式中的第一个等式知由这三个等式中的第一个等式知故由第二、三个等式知故由第二、三个等式知于是得于是得(1)(2)由由(1)式得式得故故的分布函数为的分布函数为完完三、二维离散型随机变量及其概率分布三、二维离散型随机变量及其概率分布若二维随机变量若二维随机变量只取有限个或可数个值，只取有限个或可数个值，称称为为二维离散型随机变量
9、二维离散型随机变量. 为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量均为离散型随机变量均为离散型随机变量. 定义定义 若二维离散型随机变量若二维离散型随机变量所有可能的取所有可能的取值为值为则称则称则则均为离均为离为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量的的概率分布概率分布(分布律分布律),或或与与的的联合概率分布联合概率分布(分布律分布律).二维离散型随机变量及其概率分布二维离散型随机变量及其概率分布或或与与的的联合概率分布联合概率分布(分布律分布律).二维离散型随机变量及其概率分布二维离散型随机变量及其概率分布或或与与的的联合概率分布联合概率分布(分布律分布律).易见，易见，满足下列性质：满足下
10、列性质：与一维情形类似，与一维情形类似， 有时也将联合概率分布用表格形有时也将联合概率分布用表格形式来表示，式来表示，并称之为并称之为联合概率分布表联合概率分布表由由和和的联合概率分布，的联合概率分布， 可求出可求出各自的概率各自的概率分布分布:二维离散型随机变量及其概率分布二维离散型随机变量及其概率分布分布分布:二维离散型随机变量及其概率分布二维离散型随机变量及其概率分布分布分布:分别称分别称和和为为关于关于和和的的边缘概率分布边缘概率分布. 注注：与与分别等于联合概率分布表的行分别等于联合概率分布表的行和与列和和与列和.完完联合概率分布表联合概率分布表与一维情形类似，与一维情形类似，有时也
11、将联合概率分布用表格形有时也将联合概率分布用表格形式来表示，式来表示， 并称为联合概率分布表：并称为联合概率分布表：联合概率分布表联合概率分布表联合概率分布表联合概率分布表对离散型随机变量而言，对离散型随机变量而言，联合概率分布不仅比联合联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观，分布函数更加直观， 而且能够更加方便地确定而且能够更加方便地确定取值于任何区域取值于任何区域上的概率上的概率. 设二维离散型随机变设二维离散型随机变量的概率分布为量的概率分布为则则特别地，特别地，由联合概率分布可以确定联合分布函数由联合概率分布可以确定联合分布函数:联合概率分布表联合概率分布表特别地，特别地，由联合概率分
12、布可以确定联合分布函数由联合概率分布可以确定联合分布函数:联合概率分布表联合概率分布表特别地，特别地，由联合概率分布可以确定联合分布函数由联合概率分布可以确定联合分布函数:由由和和的联合概率分布，的联合概率分布， 可求出可求出各自的概率各自的概率分布：分布：分别称分别称和和为为关于关于联合概率分布表联合概率分布表由由和和的联合概率分布，的联合概率分布， 可求出可求出各自的概率各自的概率分布：分布：分别称分别称和和为为关于关于联合概率分布表联合概率分布表由由和和的联合概率分布，的联合概率分布， 可求出可求出各自的概率各自的概率分布：分布：分别称分别称和和为为关于关于和和的的边缘概率分布边缘概率分
13、布.注注： 和和分别等于联合概率分布表的行和与列和分别等于联合概率分布表的行和与列和.完完例例2 设随机变量设随机变量在在1,2,3,4四个整数中等可能地取四个整数中等可能地取一个值一个值, , 另一个随机变量另一个随机变量在在中等可能地取中等可能地取一整数值一整数值, , 试求试求的分布律的分布律. .解解 由乘法公式容易求得由乘法公式容易求得的分布律的分布律. .易知易知的取值情况是的取值情况是: :大于大于 的正整数的正整数, , 且且于是于是的分布律为的分布律为取不取不例例2 设随机变量设随机变量在在1,2,3,4四个整数中等可能地取四个整数中等可能地取一个值一个值, , 另一个随机变
14、量另一个随机变量在在中等可能地取中等可能地取一整数值一整数值, , 试求试求的分布律的分布律. .解解于是于是的分布律为的分布律为例例2 设随机变量设随机变量在在1,2,3,4四个整数中等可能地取四个整数中等可能地取一个值一个值, , 另一个随机变量另一个随机变量在在中等可能地取中等可能地取一整数值一整数值, , 试求试求的分布律的分布律. .解解于是于是的分布律为的分布律为123412341/4 1/8 1/121/161/8 1/121/121/161/161/16000000. .完完例例3 把一枚均匀硬币抛掷三次把一枚均匀硬币抛掷三次, , 设设为三次抛掷为三次抛掷中正面出现的次数中正
15、面出现的次数, , 而而为正面出现次数与反面为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值出现次数之差的绝对值, , 求求的概率分布及的概率分布及关于关于的边缘分布的边缘分布. .解解可取值可取值 (0,3),(1,1),(2,1),(3,3)故故的概率分布如右表的概率分布如右表. .1300 1/813/8023/80301/8例例3 把一枚均匀硬币抛掷三次把一枚均匀硬币抛掷三次, , 设设为三次抛掷为三次抛掷中正面出现的次数中正面出现的次数, , 而而为正面出现次数与反面为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值出现次数之差的绝对值, , 求求的概率分布及的概率分布及关于关于的边缘分布的边缘分布.
16、 .解解例例3 把一枚均匀硬币抛掷三次把一枚均匀硬币抛掷三次, , 设设为三次抛掷为三次抛掷中正面出现的次数中正面出现的次数, , 而而为正面出现次数与反面为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值出现次数之差的绝对值, , 求求的概率分布及的概率分布及关于关于的边缘分布的边缘分布. .解解从概率分布表不难求得从概率分布表不难求得关于关于的边的边缘分布缘分布. .从而得右表从而得右表13012303/83/806/81/8001/82/81/83/83/81/81完完例例4 设二维随机变量的联合概率分布为设二维随机变量的联合概率分布为-201-1120.30.050.20.10.200.100.
17、05求求及及解解例例4 设二维随机变量的联合概率分布为设二维随机变量的联合概率分布为-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求求及及解解例例4 设二维随机变量的联合概率分布为设二维随机变量的联合概率分布为-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求求及及解解完完例例5 设设的概率分布由下表给出的概率分布由下表给出, ,求求-1020120.10.30.150.20.05000.10.1解解完完例例6 一整数一整数等可能地在等可能地在十个值中取十个值中取一个值一个值. .设设是能整除是能整除的正整数的个数的正整数的个数,是能整除是能整除的素数的个
18、数的素数的个数(注意注意1不是素不是素试写出试写出和和的联合分布律的联合分布律, , 并求分布律并求分布律.解解 将试验的样本空间及将试验的样本空间及取值的情况列表如下取值的情况列表如下:数数),所有可能取值为所有可能取值为1,2,3,4;所有可能取值为所有可能取值为0,1,2. .容易得到容易得到取取的概的概率率, ,可得可得和和的联合分布律及边缘分布律如下表的联合分布律及边缘分布律如下表:例例6 一整数一整数等可能地在等可能地在十个值中取十个值中取一个值一个值. .设设是能整除是能整除的正整数的个数的正整数的个数,是能整除是能整除的素数的个数的素数的个数(注意注意1不是素不是素试写出试写出
19、和和的联合分布律的联合分布律, , 并求分布律并求分布律.解解数数),可得可得和和的联合分布律及边缘分布律如下表的联合分布律及边缘分布律如下表:例例6 一整数一整数等可能地在等可能地在十个值中取十个值中取一个值一个值. .设设是能整除是能整除的正整数的个数的正整数的个数,是能整除是能整除的素数的个数的素数的个数(注意注意1不是素不是素试写出试写出和和的联合分布律的联合分布律, , 并求分布律并求分布律.解解数数),可得可得和和的联合分布律及边缘分布律如下表的联合分布律及边缘分布律如下表:即有边缘分布律即有边缘分布律完完四、二维连续型随机变量及其概率密度四、二维连续型随机变量及其概率密度定义定义
20、设设为二维随机变量，为二维随机变量，为其分布函为其分布函数，数， 若存在一个非负可积的二元函数若存在一个非负可积的二元函数任意实数任意实数有有则称则称为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量，并称并称为为的的概率密度概率密度(密度函数密度函数)，密度密度(联合密度函数联合密度函数).使得对使得对或或与与的的联合概率联合概率概率密度函数概率密度函数的性质：的性质：(1)连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度概率密度函数概率密度函数的性质：的性质：(1)连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度概率密度函数概率密度函数的性质：的性质：(1)(3) 设设是是平面上的区域，平面
21、上的区域， 点点落入落入 内内的概率为的概率为特别地，特别地， 边缘分布函数边缘分布函数(2)连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度特别地，特别地， 边缘分布函数边缘分布函数连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度特别地，特别地， 边缘分布函数边缘分布函数上式表明，上式表明，是连续型随机变量，是连续型随机变量， 且其密度函数为且其密度函数为:同理，同理，是连续型随机变量，是连续型随机变量， 且其密度函数为：且其密度函数为：分别称分别称和和为为关于关于和和 的的边缘密边缘密连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度分别称分别称和和为为关于关于和和 的的边缘密边
22、缘密连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度分别称分别称和和为为关于关于和和 的的边缘密边缘密度函数度函数.(4) 若若在点在点连续，连续，则有则有进一步，进一步，根据偏导数的定义，根据偏导数的定义， 可推得：可推得：当当很很有有小时，小时，即，即，落在小区间落在小区间上的上的概率概率近似等于近似等于完完例例7 设二维随机变量设二维随机变量具有概率密度具有概率密度(1) 求分布函数求分布函数(2) 求概率求概率解解 (1)即有即有例例7 设二维随机变量设二维随机变量具有概率密度具有概率密度(1) 求分布函数求分布函数(2) 求概率求概率解解 (2)将将看作是平面上随机点的坐标看作是
23、平面上随机点的坐标, ,即有即有其中其中为为平面上直线平面上直线及其下方的部分及其下方的部分, ,如图如图. .于是于是例例7 设二维随机变量设二维随机变量具有概率密度具有概率密度(1) 求分布函数求分布函数(2) 求概率求概率解解于是于是(2)例例7 设二维随机变量设二维随机变量具有概率密度具有概率密度(1) 求分布函数求分布函数(2) 求概率求概率解解于是于是(2)例例7 设二维随机变量设二维随机变量具有概率密度具有概率密度(1) 求分布函数求分布函数(2) 求概率求概率解解于是于是(2)完完例例8 设设的概率密度是的概率密度是其它其它求求 (1)的值的值; ;(2) 两个边缘密度两个边缘
24、密度. .解解 (1) 由由确定确定例例8 设设的概率密度是的概率密度是其它其它求求 (1)的值的值; ;(2) 两个边缘密度两个边缘密度. .解解 (2)例例8 设设的概率密度是的概率密度是其它其它求求 (1)的值的值; ;(2) 两个边缘密度两个边缘密度. .解解 (2)例例8 设设的概率密度是的概率密度是其它其它求求 (1)的值的值; ;(2) 两个边缘密度两个边缘密度. .解解 (2)即即例例8 设设的概率密度是的概率密度是其它其它求求 (1)的值的值; ;(2) 两个边缘密度两个边缘密度. .解解 (2)即即完完例例9 设随机变量设随机变量和和具有联合概率密度具有联合概率密度求边缘概
25、率密度求边缘概率密度解解例例9 设随机变量设随机变量和和具有联合概率密度具有联合概率密度求边缘概率密度求边缘概率密度解解例例9 设随机变量设随机变量和和具有联合概率密度具有联合概率密度求边缘概率密度求边缘概率密度解解完完二维均匀分布二维均匀分布设设是平面上的有界区域，是平面上的有界区域， 其面积为其面积为若二维随机若二维随机变量变量具有概率密度函数具有概率密度函数其它其它则称则称在在上服从上服从均匀分布均匀分布.注注：若若在在上服从均匀分布上服从均匀分布,则其概率密度函则其概率密度函几何上为定义在几何上为定义在面内区域面内区域上的空间的一块平上的空间的一块平面面.应用举例应用举例：二维均匀分布
26、二维均匀分布应用举例应用举例：二维均匀分布二维均匀分布应用举例应用举例：的概率与小区域的的概率与小区域的则质点的坐标则质点的坐标在在 上服从上服从均匀均匀而与而与的位置无关，的位置无关，向平面上有界区域向平面上有界区域内任一小区域内任一小区域落在落在上任投一质点，上任投一质点， 若质点若质点面积成正比面积成正比,分布分布.注注：关于服从矩形域上的均匀分布的一个结论关于服从矩形域上的均匀分布的一个结论.完完矩形域上的均匀分布矩形域上的均匀分布容易得到服从矩形区域容易得到服从矩形区域上的均匀上的均匀分布分布的两个边缘分布的两个边缘分布且分别为且分别为其它其它其它其它仍为均匀分布，仍为均匀分布，但对
27、其它形状的区域但对其它形状的区域不一定有上述结论不一定有上述结论.完完例例10 设设服从单位圆域服从单位圆域上的均匀上的均匀分布分布, , 求求和和的边缘概率密度的边缘概率密度. .解解当当或或时时, ,从而从而当当时时, ,于是我们得到于是我们得到的边缘概率密度的边缘概率密度例例10 设设服从单位圆域服从单位圆域上的均匀上的均匀分布分布, , 求求和和的边缘概率密度的边缘概率密度. .解解于是我们得到于是我们得到的边缘概率密度的边缘概率密度例例10 设设服从单位圆域服从单位圆域上的均匀上的均匀分布分布, , 求求和和的边缘概率密度的边缘概率密度. .解解 于是我们得到于是我们得到的边缘概率密
28、度的边缘概率密度由由和和在问题中地位的对称性在问题中地位的对称性, ,将上式中的将上式中的改改就得到就得到的边缘概率密度的边缘概率密度成成完完二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量具有概率具有概率 密度密度其中其中均为常数均为常数 ，则称则称服从参数为服从参数为且且的的二维正态分布二维正态分布. 记为记为注注：(1)如右图如右图.服从二维正态分布的概率密度函数的典型服从二维正态分布的概率密度函数的典型二维正态分布二维正态分布注注：(1)如右图如右图.服从二维正态分布的概率密度函数的典型服从二维正态分布的概率密度函数的典型二维正态分布二维正态分布注注：(1)如右图如右图.服从二维正
29、态分布的概率密度函数的典型服从二维正态分布的概率密度函数的典型(2) 二维正态分布的两个边缘二维正态分布的两个边缘即即密度仍是正态分布，密度仍是正态分布，完完推导推导 二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布事实上，事实上， 因为因为而且而且于是于是令令则有则有令令则有则有令令则有则有同理同理注注：上述结果表明，上述结果表明， 二维正态随机变量的两个边原缘二维正态随机变量的两个边原缘分布都是一维正态分布，分布都是一维正态分布， 且都不依赖于参数且都不依赖于参数亦即亦即注注：上述结果表明，上述结果表明， 二维正态随机变量的两个边原缘二维正态随机变量的两个边原缘
30、分布都是一维正态分布，分布都是一维正态分布， 且都不依赖于参数且都不依赖于参数亦即亦即注注：上述结果表明，上述结果表明， 二维正态随机变量的两个边原缘二维正态随机变量的两个边原缘分布都是一维正态分布，分布都是一维正态分布， 且都不依赖于参数且都不依赖于参数亦即亦即对给定的对给定的不同的不同的对应不同的二维正对应不同的二维正态分布，态分布， 但它们的边缘分布都是相同的但它们的边缘分布都是相同的,和关于和关于的边缘分布的边缘分布, 一般来说是不能确定二维随一般来说是不能确定二维随因此仅由关于因此仅由关于机变量机变量的联合分布的的联合分布的.完完例例11 设二维随机变量设二维随机变量的概率密度的概率
31、密度试求关于试求关于的边缘概率密度函数的边缘概率密度函数. .解解 利用利用函数及奇偶函数的积分性质得函数及奇偶函数的积分性质得注注: : 此例说明此例说明, , 边缘分布均为正态分布的二维随机边缘分布均为正态分布的二维随机变量变量, ,其联合分布不一定是二维正态分布其联合分布不一定是二维正态分布. .完完课堂练习课堂练习1. 将两封信随意地投入将两封信随意地投入3个邮筒个邮筒, ,设设分别表示分别表示投入第投入第1, ,2号邮筒中信的数目号邮筒中信的数目, , 求求和和的联合概率的联合概率分布及边缘概率分布分布及边缘概率分布. .2. 设向量设向量的密度函数的密度函数为为其它其它, ,求求(
32、1)参数参数的值的值; ;(2)的边缘密度的边缘密度. .完完练习解答练习解答1. 将两封信随意地投入将两封信随意地投入3个邮筒个邮筒, ,设设分别表示分别表示投入第投入第1, ,2号邮筒中信的数目号邮筒中信的数目, , 求求和和的联合概率的联合概率分布及边缘概率分布分布及边缘概率分布. .解解各自的可能取值显然均为各自的可能取值显然均为由题设知由题设知, ,取取均不可能均不可能, ,因而相应的概率因而相应的概率均为均为0, ,我们将其标在联合概率分布表中相应位置我们将其标在联合概率分布表中相应位置. .取其它值的概率可由古典概型计算取其它值的概率可由古典概型计算, , 由于对由于对称性称性,
33、 ,我们实际上只需计算下列概率我们实际上只需计算下列概率:练习解答练习解答解解练习解答练习解答解解边缘概率分布可直接在联合概率分布表中计算边缘概率分布可直接在联合概率分布表中计算, ,其中其中的概率分布由行和产生的概率分布由行和产生, , 的概率分布由的概率分布由列和产生列和产生 (见下表见下表). .练习解答练习解答解解边缘概率分布可直接在联合概率分布表中计算边缘概率分布可直接在联合概率分布表中计算, ,其中其中的概率分布由行和产生的概率分布由行和产生, , 的概率分布由的概率分布由列和产生列和产生 (见下表见下表). .练习解答练习解答解解边缘概率分布可直接在联合概率分布表中计算边缘概率分
34、布可直接在联合概率分布表中计算, ,其中其中的概率分布由行和产生的概率分布由行和产生, , 的概率分布由的概率分布由列和产生列和产生 (见下表见下表). .0 1 20121/92/91/94/92/94/92/9 01/91/9 0 04/94/91/9完完课堂练习课堂练习2. 设向量设向量的密度函数的密度函数为为其它其它, ,求求(1)参数参数的值的值; ;(2)的边缘密度的边缘密度. .解解 (1)由密度函数的性质由密度函数的性质, ,有有由此易得由此易得从而从而其它其它; ;(2)记记的边缘密度函数分别为的边缘密度函数分别为课堂练习课堂练习解解(2)记记的边缘密度函数分别为的边缘密度函
35、数分别为课堂练习课堂练习解解(2)记记的边缘密度函数分别为的边缘密度函数分别为则当则当时时, ,当当时时, ,或或即即其它其它, ,根据对称性根据对称性, ,有有其它其它. .完完内容小结内容小结1. 与一维情形相对应与一维情形相对应, , 本书引入了多维随机本书引入了多维随机变量的概念变量的概念二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数随机向量联合分布函数的性质随机向量联合分布函数的性质离散型随机向量及其概率分布离散型随机向量及其概率分布离散型随机向量的联合分布函数离散型随机向量的联合分布函数连续型随机向量的概率密度连续型随机向量的概率密度连续型随机向量的概率密度的性质连续型随机向量的概率密度的性质2. 注意联合分布和边缘分布的关系注意联合分布和边缘分布的关系:内容小结内容小结2. 注意联合分布和边缘分布的关系注意联合分布和边缘分布的关系:内容小结内容小结2. 注意联合分布和边缘分布的关系注意联合分布和边缘分布的关系:由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布; ;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布. .完完
