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1、高等数学教学中的高等数学教学中的 一些问题一些问题乐经良乐经良上海交通大学上海交通大学 提纲提纲极限极限 需要充分的讲解极限的概念需要充分的讲解极限的概念 无穷小分析的思想贯串整个教学无穷小分析的思想贯串整个教学微分学微分学 线性近似线性近似 求导的链法则求导的链法则中值定理中值定理 对函数的多项式近似对函数的多项式近似 辅助函数的构造辅助函数的构造积分积分 典型例子：典型例子：由密度求质量，贯串积分教学由密度求质量，贯串积分教学 讲好微元法讲好微元法级数级数 还是无穷小分析还是无穷小分析微分方程微分方程 联系数学模型联系数学模型 适当定性分析适当定性分析高等数学高等数学 主要内容为微积分主要
2、内容为微积分 关于连续变量的数学基础关于连续变量的数学基础 内容经典、变化不大内容经典、变化不大 苏俄教学体系痕迹深刻苏俄教学体系痕迹深刻 似乎简单，实则似乎简单，实则“很深很深” 你能讲清楚这个概念或命题吗？你能讲清楚这个概念或命题吗？ 你能让学生听明白这个概念或命题吗？你能让学生听明白这个概念或命题吗？ 语言 几何(或其它背景) 思路 应用极限要讲极限要讲N 吗吗 需要比较充分地介绍极限概念需要比较充分地介绍极限概念 区别于初等数学的概念区别于初等数学的概念 函数变化的定量趋势函数变化的定量趋势 简洁确切的数学语言简洁确切的数学语言 定义的形成反映数学的发展定义的形成反映数学的发展 概念的
3、介绍概念的介绍 例子例子 描叙性语言描叙性语言 数学语言表达数学语言表达 几何解释几何解释 A R, 0 , N N+ ：当当n N 时时， 用有限表达无限用有限表达无限 与与N 的关系的关系 nN 是使是使 成立的一个充分条件成立的一个充分条件 极限是一个局部性概念极限是一个局部性概念无穷小无穷小 求极限的一个重要方法求极限的一个重要方法 等价无穷小替换等价无穷小替换那么那么 几个重要的等价无穷小几个重要的等价无穷小 在x 0 时， 更一般地更一般地 若在x 0 时，0例题例题 为什么当无穷小是代数和中一项时，为什么当无穷小是代数和中一项时， 一般不能用等价无穷小等换一般不能用等价无穷小等换
4、? ?另一例子 在主部相同时在主部相同时, ,相减被抵消相减被抵消, ,高阶无穷小高阶无穷小起起 作用作用 在主部相同时相减，替换就需要在主部相同时相减，替换就需要TaylorTaylor公式了公式了 在主部不发生抵消时，可以替换在主部不发生抵消时，可以替换 注意在教学的各部分提及和应用无穷小分析注意在教学的各部分提及和应用无穷小分析 导数与微分导数与微分 积分中的微元法积分中的微元法 级数的敛散性判别级数的敛散性判别导数与微分导数与微分 微分学的基本思想微分学的基本思想 局部线性化，略去高阶无穷小局部线性化，略去高阶无穷小 微分微分（Leibniz） y 的线性主部的线性主部主部 ydy =
5、 o (x) dy 在在x0时时是无穷小，是是无穷小，是y 的等价无穷小的等价无穷小 导数导数（Newton）在y 中略去了高阶无穷小 几何意义几何意义 注意注意 等式等式 ( (增量公式增量公式) )给出了给出了y与其线性主部间的定性关系与其线性主部间的定性关系在在x =0时无意义时无意义 ( (考虑到复合函数求导法考虑到复合函数求导法) ) 微分到底是什么样的量，是否为微分到底是什么样的量，是否为0？ 微分微分dy 由表达式由表达式确定是一个普通的函数确定是一个普通的函数它是自变量它是自变量x 的线性函数的线性函数在在x 定义范围内任何值时，它有确定的值与之对应定义范围内任何值时，它有确定
6、的值与之对应 ydy = o (x) 并非表明这个差总比并非表明这个差总比 x 小，但在小，但在x 小到某程度小到某程度这个差会远比这个差会远比 x 小小 微分微分dy 在在x0时时是无穷小，是是无穷小，是y 的等价无穷小的等价无穷小 复合函数的求导的链法则复合函数的求导的链法则 求导的过程反映了函数复合的链结构求导的过程反映了函数复合的链结构 多元函数求偏导数，链法则依然关键多元函数求偏导数，链法则依然关键 关键是弄清复合函数关键是弄清复合函数z 作为作为 x,y 的函数的复合过程，的函数的复合过程，“链链” 反反映了这个复合过程映了这个复合过程z: fuvxy1 1）设函数）设函数 u =
7、 f(x,y,z)可微，而可微，而 x=x(t),y=y(t),z=z(t) 均可导，试求复合函数均可导，试求复合函数u=f (x(t),y(t),z(t)的导数的导数 例子例子2 2）设函数）设函数 z=f (x,y,u,v), 而而 u=u(x,y),v=v(x,y)有有一阶一阶 偏导数，求函数偏导数，求函数z=f(x,y,u(x,y),v(x,y)对x,y的偏导的偏导 数数3 3）设）设，求求 隐函数的导数或偏导数隐函数的导数或偏导数 多数教材这部分内容值得商榷多数教材这部分内容值得商榷 学生可能不了解定理说什么，更不了解为什么学生可能不了解定理说什么，更不了解为什么 利用链法则可以解决
8、求导的问题利用链法则可以解决求导的问题 Thomas 微积分的处理可以借鉴微积分的处理可以借鉴 在任何一种求导过程中，链法则都是重要的，首在任何一种求导过程中，链法则都是重要的，首 先需要先需要明确明确 变量中哪些是自变量，哪些是函数变量中哪些是自变量，哪些是函数 对某一自变量求偏导数，其他自变量视为常量对某一自变量求偏导数，其他自变量视为常量1 1） 设设z=z(x,y)是由方程是由方程 2 2） 设函数设函数 u=u(x,y),v=v(x,y) 由方程组由方程组确定确定，试求试求ux, uy, vx, vy 注意注意 在需要求出问题中函数的所有一阶偏导数时，在需要求出问题中函数的所有一阶偏
9、导数时，利用一阶微分形式不变性往往是有效的利用一阶微分形式不变性往往是有效的所确定的隐函数所确定的隐函数, , 求求zx, zy微分中值定理微分中值定理 对函数改变量的无穷小分析对函数改变量的无穷小分析 Rolle定理定理Lagrange定理定理Cauchy定理定理 由特殊到一般由特殊到一般 Taylor 公式，更好的近似公式，更好的近似 由局部到区间，讨论函数在区间上的性质由局部到区间，讨论函数在区间上的性质右端是否一个函数的导数在点右端是否一个函数的导数在点 的值的值? ? 辅助函数的构造辅助函数的构造 Lagrange 定理的辅助函数定理的辅助函数 几何分析几何分析 形式分析形式分析 C
10、auchy定理的辅助函数定理的辅助函数形式分析形式分析 （为什么不移项）（为什么不移项）右端是否一个函数的导数在点右端是否一个函数的导数在点 的值的值? ? Taylor 定理辅助函数的构造定理辅助函数的构造 Peano余项余项 改变结论形式改变结论形式结论结论改变形式改变形式其中其中 构造构造辅助函数的例子辅助函数的例子 Lhospital 法则法则 在求极限时重要且使用广泛的方法在求极限时重要且使用广泛的方法 使用时结合等价无穷小替换极其必要使用时结合等价无穷小替换极其必要积分积分 定积分的概念定积分的概念 例子例子 以由密度求质量作为贯串积分教学的例子以由密度求质量作为贯串积分教学的例子
11、 分割、求和、求极限分割、求和、求极限 微元法微元法 求在区间求在区间 a, b 上的不均匀分布的量上的不均匀分布的量 积分的技巧积分的技巧 应适当淡化应适当淡化 关于微元法关于微元法 某个量分布在区间某个量分布在区间a,b上上，如果有如果有问题是：我们怎样得到问题是：我们怎样得到 f (x) ? 分析在小区间分析在小区间 x, x+dx 分布的部分量分布的部分量 F的线性主部的线性主部 来得到来得到 dF =f(x)dx F与与dF的差是高阶无穷小的差是高阶无穷小o (x) 例子例子 曲边梯形面积曲边梯形面积 在小区间在小区间 x, x+dx上上视为矩形视为矩形分析这是否分析这是否 dA看一
12、看误差是多少看一看误差是多少? ?Oxyabx( (只要f 有界) )考虑考虑 ,+d 上的面积上的面积 视为扇形视为扇形 极坐标下曲边扇形面积极坐标下曲边扇形面积 O( (只要r 有界) )能否不作这样的无穷小分析？能否不作这样的无穷小分析？ 已知截面积的几何体体积已知截面积的几何体体积Oxabx考虑考虑 x,x+dx 上的体积上的体积视为柱体视为柱体考虑当考虑当 x0 0时，误差的那一圈状体积相比于时，误差的那一圈状体积相比于 x的情况的情况 旋转体的侧面积旋转体的侧面积Oxybax考虑考虑 x,x+dx 上所对应的侧面积上所对应的侧面积能不能看成圆柱侧面？能不能看成圆柱侧面？并非线并非线
13、性主部性主部能否看成圆台侧面？事实上这关系这侧面积的定义能否看成圆台侧面？事实上这关系这侧面积的定义级数级数 收敛级数的一般项收敛级数的一般项 un0, 是无穷小量，因此正项级数敛散性判别事实上是一种无是无穷小量，因此正项级数敛散性判别事实上是一种无穷小分析穷小分析 比值判别法比值判别法 N N+ ：当当n N 时时，类等比级数类等比级数 立刻导出立刻导出l1.l1敛散性的结论，敛散性的结论， 而对于而对于l =1,可举例说可举例说明无法断定明无法断定 根值判别法是类似的根值判别法是类似的 比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式 需要与一个已知敛散性的级数比较，与谁比较？需要与一个已知敛散性
14、的级数比较，与谁比较？ P 级数级数 若以若以作为作为“标准标准”无穷小，判别无穷小，判别是否收敛就是是否收敛就是要分析要分析u un 的阶的阶例子例子 讨论级数的敛散性讨论级数的敛散性 进一步的讨论进一步的讨论 比值比值( (根值根值) )判别法不如比较判别法精细判别法不如比较判别法精细指数阶指数阶an的无穷小比任何幂函数的无穷小比任何幂函数(1/n)p的无穷小更高阶的无穷小更高阶 那么那么p 级数当级数当p =1=1时是否一个分界线呢？时是否一个分界线呢？ 是否一般项是否一般项un比比(1/(1/n) )高阶的级数就收敛？高阶的级数就收敛？回答这个问题就可以采用积分判别法了回答这个问题就可
15、以采用积分判别法了微分方程微分方程 与数学建模有密切联系与数学建模有密切联系 其本身的发展与物理等应用邻域相关其本身的发展与物理等应用邻域相关 至今仍然有众多来自实际的生动模型至今仍然有众多来自实际的生动模型 对微分方程的定性分析在教学中欠缺对微分方程的定性分析在教学中欠缺 了解研究对象的发展趋势了解研究对象的发展趋势 在方程无法求解的情况下获知信息在方程无法求解的情况下获知信息 选择适当的例子选择适当的例子 人口增长模型人口增长模型 从从MalthusMalthus模型到模型到LogisticLogistic模型模型 假画的鉴定问题假画的鉴定问题 核废料的处理核废料的处理 不依赖数值方法能求解吗？不依赖数值方法能求解吗？ 最速降线最速降线 历史故事历史故事 JohnnJohnn Bernoulli Bernoulli 的挑战的挑战 行星轨道问题行星轨道问题 铅笔尖上的行星铅笔尖上的行星 振动问题振动问题 学习学习 Thomas 微积分微积分 从实际生活中提炼出例子从实际生活中提炼出例子作为数学课程的严密性作为数学课程的严密性 注重概念、思想与方法注重概念、思想与方法 讲清思路讲清思路 选择地讲解证明选择地讲解证明 典型典型 有用有用 能听懂能听懂
