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1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系内内 容容要要 求求A AB BC C直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系三年三年3 3考考 高考指数高考指数:1.1.直直线与与圆的位置关系的位置关系(1)(1)从方程的从方程的观念判念判别直直线与与圆的位置关系：即把的位置关系：即把圆的方程与直的方程与直线的方程的方程联立立组成方程成方程组，转化成一元二次方程，利用判化成一元二次方程，利用判别式式判判别位置关系位置关系. .0 0直直线与与圆_；0 0直直线与与圆_；0 0直直线与与圆_._.相交相交相切相切相离相离(2)(2)从几何的从几何的观念判念判别直直线与与圆的位置关系：即利用的位置
2、关系：即利用圆心到直心到直线的的间隔隔d d与半径与半径r r比比较大小来判大小来判别直直线与与圆的位置关系的位置关系. .ddr r直直线与与圆_；ddr r直直线与与圆_；ddr r直直线与与圆_._.相交相交相切相切相离相离【即【即时运用】运用】(1)“k=1(1)“k=1是是“直直线x-y+k=0x-y+k=0与与圆x2+y2=1x2+y2=1相交的相交的_条件条件. .(2)(2)知点知点M(x0,y0)M(x0,y0)是是圆x2+y2=r2(r0)x2+y2=r2(r0)内异于内异于圆心的一点，那么直心的一点，那么直线x0x+y0y=r2x0x+y0y=r2与此与此圆的位置关系是的
3、位置关系是_._.【解析】【解析】(1)(1)当当k=1k=1时，圆心到直心到直线的的间隔隔d d 此此时直直线与与圆相交；假相交；假设直直线与与圆相交，那么相交，那么解得解得 所以，所以，“k=1“k=1是是“直直线x-y+k=0x-y+k=0与与圆x2+y2=1x2+y2=1相交的充分不用要条件相交的充分不用要条件. .(2)(2)由于点由于点M(x0,y0)M(x0,y0)是是圆x2+y2=r2(r0)x2+y2=r2(r0)内的一点，所以内的一点，所以x02+y02r2x02+y02r1+r2 无解无解 外切外切 d=r1+r2一组实数解一组实数解 相交相交 |r1-r2|dr1+r2
4、两组不同的实数解两组不同的实数解 内切内切 d=|r1-r2|(r1r2)一组实数解一组实数解 内含内含 0d|r1-r2| (r1 r2)无解无解【即【即时运用】运用】(1)(1)思索：假思索：假设两两圆相交相交时，公共弦所在的直，公共弦所在的直线方程与两方程与两圆的方的方程有何关系？程有何关系？提示：两提示：两圆的方程作差，消去二次的方程作差，消去二次项得到关于得到关于x x、y y的二元一次的二元一次方程，就是公共弦所在的直方程，就是公共弦所在的直线方程方程. .(2)(2)判判别以下两以下两圆的位置关系的位置关系. .x2+y2-2x=0x2+y2-2x=0与与x2+y2+4y=0x2
5、+y2+4y=0的位置关系是的位置关系是_._.x2+y2+2x+4y+1=0x2+y2+2x+4y+1=0与与x2+y2-4x-4y-1=0x2+y2-4x-4y-1=0的位置关系是的位置关系是_._.x2+y2-4x+2y-4=0x2+y2-4x+2y-4=0与与x2+y2-4x-2y+4=0x2+y2-4x-2y+4=0的位置关系是的位置关系是_._.【解析】【解析】由于两由于两圆的方程可化的方程可化为：(x-1)2+y2=1(x-1)2+y2=1，x2+(y+2)2=4x2+(y+2)2=4，所以，两，所以，两圆圆心距心距 又两又两圆的半径的半径之和之和r1+r2=1+2=3r1+r2
6、=1+2=3，两，两圆的半径之差的半径之差r2-r1=2-1=1r2-r1=2-1=1，所以所以r2-r1|O1O2|r1+r2r2-r1|O1O2|r1+r2，即两，即两圆相交相交. .由于两由于两圆的方程可化的方程可化为：(x+1)2+(y+2)2=4(x+1)2+(y+2)2=4，(x-2)2+(x-2)2+(y-2)2=9(y-2)2=9，所以，两，所以，两圆圆心距心距又两又两圆的半径之和的半径之和r1+r2=2+3=5r1+r2=2+3=5，|O1O2|=r1+r2|O1O2|=r1+r2，即两，即两圆外切外切. .由于两由于两圆的方程可化的方程可化为：(x-2)2+(y+1)2=9
7、(x-2)2+(y+1)2=9，(x-2)2+(x-2)2+(y-1)2=1(y-1)2=1，所以，两，所以，两圆圆心距心距 又两又两圆的半径之差的半径之差r1-r2=3-1=2r1-r2=3-1=2，|O1O2|=r1-r2|O1O2|=r1-r2，即两，即两圆内切内切. .答案：答案：相交相交 外切外切 内切内切 直直线与与圆的位置关系的位置关系【方法点睛】【方法点睛】代数法判代数法判别直直线与与圆的位置关系的步的位置关系的步骤第一步：将直第一步：将直线方程与方程与圆的方程的方程联立，消去立，消去x(x(或或y)y)得到关于得到关于y y( (或或x)x)的一元二次方程；的一元二次方程；第
8、二步：求上述方程的判第二步：求上述方程的判别式，并判式，并判别其符号；其符号；第三步：得出第三步：得出结论. .2.2.几何法判几何法判别直直线与与圆的位置关系的步的位置关系的步骤第一步：求出第一步：求出圆心到直心到直线的的间隔隔d d；第二步：判第二步：判别d d与半径的大小关系；与半径的大小关系；第三步：得出第三步：得出结论. .【提示】有些【提示】有些标题用以上方法无法用以上方法无法处理或理或处理起来比理起来比较困困难时，也可思索直也可思索直线所所过定点与定点与圆心的心的间隔之隔之间的关系的关系. . 【例【例1 1】(1)(1)直直线l l：y-1=k(x-1)y-1=k(x-1)和和
9、圆x2+y2-2y=0x2+y2-2y=0的位置关系是的位置关系是_；(2)(2)假假设经过点点A(4,0)A(4,0)的直的直线l l与与圆(x-2)2+y2=1(x-2)2+y2=1有公共点，那么有公共点，那么直直线l l的斜率的取的斜率的取值范范围为_._.【解【解题指南】指南】(1)(1)判判别直直线与与圆的位置关系，可比的位置关系，可比较圆心到直心到直线的的间隔与隔与圆的半径的大小；的半径的大小；(2)(2)直直线与与圆有公共点，即直有公共点，即直线与与圆相交或相切，利用相交或相切，利用圆心到直心到直线的的间隔小于等于半径即可隔小于等于半径即可. .【规范解答】【规范解答】(1)(1
10、)由于圆由于圆x2+y2-2y=0x2+y2-2y=0的圆心坐标为的圆心坐标为O1(0,1),O1(0,1),半径半径r=1r=1，所以，圆心到直线，所以，圆心到直线l l：y-1=k(x-1)y-1=k(x-1)的间隔的间隔 因此，直线与圆相交因此，直线与圆相交. .答案：相交答案：相交(2)(2)由题可设直线方程为由题可设直线方程为y=k(x-4)y=k(x-4)，即：，即：kx-y-4k=0kx-y-4k=0，由于直线，由于直线与圆有公共点，所以，圆心到直线的间隔小于或等于半径，与圆有公共点，所以，圆心到直线的间隔小于或等于半径，即：即：解得：解得：答案：答案： 【反思【反思感悟】直感悟
11、】直线与与圆位置关系的判位置关系的判别，普通有以下两种方法：，普通有以下两种方法：方法一：几何法方法一：几何法: :利用利用圆心到直心到直线的的间隔与隔与圆的半径之的半径之间的大小的大小关系求解；关系求解；方法二：代数法方法二：代数法: :联立直立直线方程与方程与圆的方程，利用方程的方程，利用方程组的解来的解来处理理. . 与圆有关的弦长、中点问题与圆有关的弦长、中点问题【方法点睛】【方法点睛】直线被圆截得弦长的求法直线被圆截得弦长的求法(1)(1)代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于x x的的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦
12、长一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长 (2)(2)几何法：设圆的半径为几何法：设圆的半径为r r，弦心距为，弦心距为d d，弦长为，弦长为l l，那么有：，那么有：【例【例2 2】(2021(2021淮安模淮安模拟) )如下如下图，知知圆E E：x2+(y-1)2=4x2+(y-1)2=4交交x x轴分分别于于A A，B B两点，交两点，交y y轴的的负半半轴于点于点M M，过点点M M作作圆E E的弦的弦MN.MN.(1)(1)假假设弦弦MNMN所在直所在直线的斜率的斜率为2 2，求弦，求弦MNMN的的长；(2)(2)假假设弦弦MNMN的中点恰好落在的中点恰好落在x x轴上，求弦上，
13、求弦MNMN所在直所在直线的方程的方程; ;(3)(3)设弦弦MNMN上一点上一点P(P(不含端点不含端点) )满足足PAPA，POPO，PBPB成等比数列成等比数列( (其中其中O O为坐坐标原点原点) )，试探求探求 的取的取值范范围. .【解【解题指南】指南】(1)(1)求求M M点的坐点的坐标，求，求MNMN所在直所在直线的方程，的方程，计算算圆心心E E到直到直线MNMN的的间隔隔d,d,得得 (2)(2)利用中点坐利用中点坐标公式及公式及圆的方程求的方程求N N的坐的坐标，由两点式得弦，由两点式得弦MNMN所在直所在直线的方程的方程; ;(3)(3)由由PO2=PAPBPO2=PA
14、PB建立建立动点点P(x,y)P(x,y)的等量关系，的等量关系，结合点合点P P在在圆内求内求 的取的取值范范围. .【规范解答】范解答】(1)(1)在在圆E E的方程中令的方程中令x=0,x=0,得得M(0,-1),M(0,-1),又又kMN=2,kMN=2,所以弦所以弦MNMN所在直所在直线的方程的方程为y+1=2x,y+1=2x,即即2x-y-1=0.2x-y-1=0.圆心到直心到直线MNMN的的间隔隔为 且且r=2,r=2, (2)(2)由于由于yM+yN=0yM+yN=0，所以，所以yN=1yN=1，代入，代入圆E E的方程中得的方程中得N(2,1).N(2,1).由由M(0,-1
15、),N(2,1)M(0,-1),N(2,1)得直得直线MNMN的方程的方程为x-y-1=0x-y-1=0或或x+y+1=0.x+y+1=0.(3)(3)易得易得A(- A(- ，0)0)，B( B( ，0)0)，设P(x,y),P(x,y),那么由那么由PAPB=PO2PAPB=PO2，得，得 化化简得得x2=y2+ x2=y2+ 由由题意知点意知点P P在在圆E E内，所以内，所以x2+(y-1)2x2+(y-1)24 4，结合合，得，得4y2-4y-34y2-4y-30 0，解得，解得 从而从而【反思【反思感悟】感悟】1.1.此此题第第(1)(1)问求弦求弦长，求解的关，求解的关键是利用是
16、利用圆的几的几何性何性质，因此需求求，因此需求求圆心到弦的心到弦的间隔隔. .2.2.弦弦MNMN的中点恰好落在的中点恰好落在x x轴上，弦上，弦MNMN并不一定垂直于并不一定垂直于x x轴，而只，而只能运用中点坐能运用中点坐标公式探公式探寻N N点的坐点的坐标. .3.3.在求解在求解(3)(3)时，务必留意条件必留意条件“弦弦MNMN上一点上一点P(P(不含端点不含端点) )，其，其隐含着点含着点P P在在圆内运内运动，可借助此来限定，可借助此来限定变量量x x、y y的范的范围. . 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系【方法点睛】【方法点睛】1.1.两圆公切线的条数两圆公切线的条数位置关系
17、位置关系内内 含含内内 切切相相 交交外外 切切外外 离离公切线条数公切线条数0 01 12 23 34 42.2.判判别两两圆位置关系的方法位置关系的方法判判别两两圆的位置关系，可根据的位置关系，可根据圆心距与两心距与两圆半径的和与差的半径的和与差的绝对值之之间的关系求解的关系求解. .【提示】利用两【提示】利用两圆所所组成的方程成的方程组的解的个数，不能判的解的个数，不能判别内切内切与外切、相离与内含与外切、相离与内含. . 【例【例3 3】知两】知两圆x2+y2-2x-6y-1=0x2+y2-2x-6y-1=0和和x2+y2-10x-12y+m=0.x2+y2-10x-12y+m=0.(
18、1)m(1)m取何取何值时两两圆外切；外切；(2)m(2)m取何取何值时两两圆内切，此内切，此时公切公切线方程是什么？方程是什么？(3)(3)求求m=45m=45时两两圆的公共弦所在直的公共弦所在直线的方程和公共弦的的方程和公共弦的长. .【解【解题指南】指南】(1)(1)两两圆外切那么有两外切那么有两圆圆心距等于两心距等于两圆半径之和；半径之和；(2)(2)两两圆内切那么有两内切那么有两圆圆心距等于两心距等于两圆半径之差的半径之差的绝对值，公，公切切线为两两圆的方程之差所得的直的方程之差所得的直线方程；方程；(3)(3)两两圆公共弦所在直公共弦所在直线方程方程为两两圆的方程之差所得直的方程之
19、差所得直线方程，弦方程，弦长可用几何法求解可用几何法求解. .【规范解答】两圆的规范方程为：【规范解答】两圆的规范方程为：(x-1)2+(y-3)2=11(x-1)2+(y-3)2=11，(x-5)2+(y-6)2=61-m(x-5)2+(y-6)2=61-m，圆心分别为，圆心分别为M(1,3)M(1,3)、N(5,6)N(5,6)，半径分，半径分别为别为 (1)(1)当两圆外切时，当两圆外切时，解得：解得：m=25+10 .m=25+10 .(2)(2)当两圆内切时，因定圆的半径当两圆内切时，因定圆的半径 小于两圆的圆心距小于两圆的圆心距5 5，因此，有因此，有 解得：解得：m=25-10
20、m=25-10 ；由于由于 所以两圆公切线的斜率一定为所以两圆公切线的斜率一定为 ，设切线，设切线方程为方程为 那么有那么有解得：解得：容易验证当容易验证当 时，直线与后一圆相交，故所求公切线时，直线与后一圆相交，故所求公切线方程为方程为即即4x+3y+5 -13=0.4x+3y+5 -13=0.(3)(3)两圆的公共弦所在直线的方程为：两圆的公共弦所在直线的方程为：(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即即4x+3y-23=0,4x+3y-23=0,所以公共弦长为：所以公共弦长为：【
21、反思【反思感悟】感悟】1.1.处理此理此题主要是利用两主要是利用两圆的不同位置关系所的不同位置关系所满足足的的圆心距与半径的几何关系求解心距与半径的几何关系求解. .2.2.当两当两圆相交相交时，其公共弦方程可利用两，其公共弦方程可利用两圆的普通方程相减得到的普通方程相减得到. .【创新探求】直新探求】直线与与圆的位置关系的的位置关系的创新命新命题【典例】【典例】(2021(2021江江苏高考高考) )集合集合A=(x,y)|A=(x,y)|x,yR, B=(x,y)|2mx+y2m+1,x,yR,x,yR, B=(x,y)|2mx+y2m+1,x,yR,假假设AB,AB,那么那么实数数m m
22、的取的取值范范围是是_._.【解【解题指南】此指南】此题调查的是直的是直线与与圆的位置关系，解的位置关系，解题的关的关键是找出集合所代表的几何意是找出集合所代表的几何意义，然后，然后结合直合直线与与圆的位置关系，的位置关系，求得求得实数数m m的取的取值范范围【规范解答】范解答】AB,A,m2AB,A,m2m m 或或m0.m0.显然然B.B.要使要使AB,AB,只需只需圆(x-2)2+y2=m2(m0)(x-2)2+y2=m2(m0)与与x+y=2mx+y=2m或或x+y=2m+1x+y=2m+1有交点，即有交点，即 或或又又m m 或或m0,m0, m m当当m=0m=0时，(2(2，0)
23、0)不在不在0x+y10x+y1内内. .综上所述，上所述，满足条件的足条件的m m的取的取值范范围为答案：答案：【阅卷人点拨】经过对此题的深化研讨，我们可以得到以下创【阅卷人点拨】经过对此题的深化研讨，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：新点拨和备考建议：创创新新点点拨拨本题有以下两处创新点：本题有以下两处创新点：(1)(1)考查形式的创新，以集合的形式给出了几何图形，且考查形式的创新，以集合的形式给出了几何图形，且两几何图形常见但不落俗套；两几何图形常见但不落俗套；(2)(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线与圆的位置考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线与圆的位置关系的方式，而是借助于
24、参数考查直线与圆、直线与圆环关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆、直线与圆环的位置关系；同时还考查分类讨论思想的应用的位置关系；同时还考查分类讨论思想的应用. . 备备考考建建议议 解决直线与圆的位置关系问题时，要注意以下几点：解决直线与圆的位置关系问题时，要注意以下几点：(1)(1)根据题设条件，合理选择利用代数方法还是利用几何根据题设条件，合理选择利用代数方法还是利用几何方法判断其位置关系；方法判断其位置关系；(2)(2)凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对位置凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对位置关系的影响，以便确定是否分类讨论关系的影响，以便确定是否分类讨论. .1.(
25、20211.(2021泰州模泰州模拟) )假假设直直线ax+by=1ax+by=1过点点A(b,a)A(b,a)，那么以坐，那么以坐标原点原点O O为圆心，心，OAOA长为半径的半径的圆的面的面积的最小的最小值是是_._.【解析】由【解析】由题意可知意可知ab+ba=1,ab+ba=1,即即2ab=1,2ab=1,又又 故所求故所求圆的面的面积S=(a2+b2),S2ab=.S=(a2+b2),S2ab=.答案：答案：2.(20212.(2021盐城模城模拟) )与直与直线x=3x=3相切，且与相切，且与圆(x+1)2+(y+1)2=1(x+1)2+(y+1)2=1相内切的半径最小的相内切的半
26、径最小的圆的方程是的方程是_._.【解析】如下【解析】如下图，要使与直，要使与直线x=3x=3相相切，且与切，且与圆(x+1)2+(y+1)2=1(x+1)2+(y+1)2=1相内切的相内切的圆的半径最小，那么点的半径最小，那么点P P、Q Q、R R、S S四点四点共共线，易知点，易知点P(-2,-1),R( ,-1),P(-2,-1),R( ,-1),又又PR= PR= ，故所求故所求圆的方程的方程为(x- )2+(y+1)2= .(x- )2+(y+1)2= .答案：答案： (x- )2+(y+1)2= (x- )2+(y+1)2= 3.(20213.(2021江西高考改江西高考改编)
27、)假假设曲曲线C1:x2+y2-2x=0C1:x2+y2-2x=0与曲与曲线C2:y(y-mx-m)=0C2:y(y-mx-m)=0有四个不同的交点，那么有四个不同的交点，那么实数数m m的取的取值范范围是是_._.【解析】如【解析】如图,C1:(x-1)2+y2=1.,C1:(x-1)2+y2=1.C2:y=0C2:y=0或或y=mx+m=m(x+1).y=mx+m=m(x+1).当当m=0m=0时，C2:y=0,C2:y=0,此此时C1C1与与C2C2显然只需两个交点然只需两个交点, , 当当m0m0时，要，要满足足题意，需意，需圆(x-1)2+y2=1(x-1)2+y2=1与直与直线y=m(x+1)y=m(x+1)有两有两交点，当交点，当圆与直与直线相切相切时，m= m= 即直即直线处于两切于两切线之之间时满足足题意，那么意，那么答案：答案：(- ,0)(0, )(- ,0)(0, )
