函数单调性的证明

《函数单调性的证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数单调性的证明（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、3. 函数的单调性（函数的单调性（2）函数单调性的证明函数单调性的证明学习目标学习目标1.掌握定义法证明函数的单调性的一般掌握定义法证明函数的单调性的一般步骤；步骤；2.体会数形结合思想在解决函数问题中体会数形结合思想在解决函数问题中的作用。的作用。复习回顾复习回顾1、函数单调性的概念、函数单调性的概念2、判断函数单调性的一般方法、判断函数单调性的一般方法3、常见的几类函数的单调区间和单调、常见的几类函数的单调区间和单调性性在函数在函数y=f(x)的定义域内的一个区间的定义域内的一个区间A上上,如果对于如果对于任意任意两个两个数数x1,x2A, 图像特征图像特征：从左往右看：从左往右看图像上升

2、图像上升当当x1x2时时,都有都有f(x1)f(x2),那么那么,就称函数就称函数y=f(x)在区间在区间A上上是是增加增加的的,有时也称函数有时也称函数y=f(x)在在区间区间A上是上是递增递增的的.区间区间A为函数为函数的的增区间增区间 当当x1f(x2),那么那么,就称函数就称函数y=f(x)在区间在区间A上是上是减少减少的的,有时也称函数有时也称函数y=f(x)在区间在区间A上是上是递减递减的的.区区间间A为函数的为函数的减区间减区间 从左往右看从左往右看图像下降图像下降2.判断函数单调性的一般方法判断函数单调性的一般方法根据函数图象的上升和下降，找出单调区间根据函数图象的上升和下降，

3、找出单调区间-6,-5 , -2,1 , 3,4.5 , 7,8上是增加的-5,-2 , 1,3 , 4.5,7 , 8,9上是减少的3.常见的几类函数的单调性常见的几类函数的单调性思路思路：（：（1）分类讨论：系数（）分类讨论：系数（a、k）大于）大于0和小于和小于0；（；（2）借助函数图像来分析。）借助函数图像来分析。思考：如何从逻辑推理的角度来证明思考：如何从逻辑推理的角度来证明函数的单调性？函数的单调性？从定义（概念）出发从定义（概念）出发例1 判断函数f(x)=3x+2的单调性,并加以证明.解 作出f(x)=3x+2的图像.由图看出,函数的图在R上是上升的,函数是R上的增函数.所以

4、f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2),O 1 2 x21543yy=3x+2任取x1,x2R,设x1x2,取值作差变形定号即 f(x1)f(x2)所以，函数f(x)=3x+2是R上的增函数.证明:下结论用定义证明函数的单调性的步骤用定义证明函数的单调性的步骤:(1). 任任取取某个某个单调区间单调区间上任意二上任意二值值，并并设设x1x2;(2). 作差作差 f(x1)f(x2) ;(3). 判判断断 f(x1)f(x2) 的的符符号号:(4). 作作结论结论.方法小结方法小结例2 说出函数 的单调区间,并指明在该区间上的单调性.函数 是减函数吗?解 (-

5、,0)和(0,+)都是函数的单调区间,在这两个区间上函数 减少.不是,当x1=-1,x2=1时，有f(x1)f(x2)例例3：证明函数f(x)= x3在R上是增函数. 证明证明：设x1,x2是R上任意两个 实数， 且x1x2,则 f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 ) = (x1-x2)(x1+ x2) 2 + x22 因为 x1x2 ，则 x1-x2 0 所以 f(x1)-f(x2)0 即 f(x1)f(x2) 所以f(x)= x3在R上是增函数.判断判断f(x1)f(x2) 的符号的一般方法的符号的一般方法方法小结方法小结将和（差）的形式转化为积（商）的形式将和（差）的形式转化为积（商）的形式具体方法：因式分解、配方、提取公因式、具体方法：因式分解、配方、提取公因式、分子有理化分子有理化抽象函数单调性的判断用定义证明函数的单调性的步骤用定义证明函数的单调性的步骤:(1). 任任取取某个某个单调区间上任意二单调区间上任意二值值，并并设设x1x2;(2). 作差作差 f(x1)f(x2) ;(3). 判判断断 f(x1)f(x2) 的符的符号号:(4). 作作结论结论. 分解因式分解因式, 得出因式得出因式(x1x2 ） 配成非负实数和。配成非负实数和。小结小结有理化。有理化。