从从“群〞群〞谈起起辛辛 林林Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 一一 、、“群〞的来源群〞的来源1、法国数学家，近代代数学的开、法国数学家，近代代数学的开创人人----伽伽罗瓦瓦 (E. Galois，，1811-1832)方程的根式求解方程的根式求解一元一次方程一元一次方程: 一元二次方程：一元二次方程：一元三次方程：一元三次方程：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 一元三次方程一元三次方程经过适当的适当的变量交量交换后化后化为如下方程：如下方程：三个根是三个根是:(意大利数学家卡意大利数学家卡尔达达诺<大大术>1545年年)其中 是3次单位根，Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 一元四次方程：一元四次方程：移移项：：两两边加上：加上： 得：得： 令右令右边的判的判别式式为零，求得零，求得 y 的一个三次方程，求其根，的一个三次方程，求其根，代入上式，求得根代入上式，求得根 x . (卡卡尔达达诺学生学生----费拉里拉里发现，，记载于于<大大术>中中)Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 普通一元普通一元n次方程能否有次方程能否有类似的根式解？似的根式解？高斯高斯(Gauss C.F. 德国数学家，德国数学家，1777-1855)于于1799年年哥丁根大学完成的博士哥丁根大学完成的博士论文文证明了代数根本定理：明了代数根本定理：每一个次数大于等于每一个次数大于等于1的的n次复系数多次复系数多项式恰有式恰有n个根个根法国数学家：拉格朗日法国数学家：拉格朗日(1736-1813)(预解式解式)，，德国数学家：高斯德国数学家：高斯(分分圆方程方程 )挪威数学家：阿挪威数学家：阿贝尔(1802-1829)Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 伽伽罗瓦的最主要功瓦的最主要功绩：：首先提出根的置首先提出根的置换概念，每一个方程都可以与一个概念，每一个方程都可以与一个置置换群群联络，从而用群，从而用群论方法方法彻底底处理的方程根式理的方程根式解解问题，更重要的是，群，更重要的是，群论的引入，的引入，为现代代数学代代数学的开展奠定了根底。
的开展奠定了根底方程与群的方程与群的联络：：给定多定多项式式 f(x), 伽伽罗瓦群瓦群 ,其元素是其元素是 的一切置的一切置换称称为 f 的分裂域，的分裂域，Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 2、、笼统群：群： 来源来源较多，多，难以准确以准确阐明，有克莱因明，有克莱因笼统群群说，，也有也有凯莱莱笼统群群说等Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 二、群的其它运用二、群的其它运用1、化学分子、化学分子对称群〔分子称群〔分子对称群称群仅有有32种〕种〕研研讨分子的分子的对称性加深人称性加深人们对物物质性性质的的认识氨分子：氨分子：(1个氮原子个氮原子N和和3个个氢原子原子H)AabcNHHHEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 试比比较分子构造分子构造图与正四面体与正四面体图的的对称称变换区区别：：1)、、A为不不动点点 2)、a,b,c在一个平面上为正三角形，作它们的对称变换 3)、习惯上记氨的分子对称群记为 ，由6个元素组成。
Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 水分子水分子对称群：水分子称群：水分子OHH水分子水分子对称群称群习惯记为 ,由由4个元素个元素组成：成： 1)、恒等、恒等变换2)、、过O的的轴的旋的旋转180o 3)、分子所在平面HOH的反射4)、、过O且垂直于且垂直于H联线的平面的反射的平面的反射Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 2、晶体分、晶体分类 各种晶体中原子陈列模型阐明，这是一个有一定规那么的多面体，可以利用空间格点加以表述例例: 氯化化纳(NaCl)晶体原子晶体原子陈列模型：列模型：白：白：钠原子原子氯：：氯原子原子Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 19世世纪后半叶，科学家后半叶，科学家发现：：1、晶体外形的全部、晶体外形的全部对称方式，称称方式，称为对称点群，共称点群，共32种。
种2、晶体内部构造一切能、晶体内部构造一切能够的的对称方式，称称方式，称为空空间群，群，230种 晶体分晶体分类的数学的数学实际是由俄国数学家是由俄国数学家E.C.E.C.费多多罗夫运用夫运用群的构造群的构造实际于于18911891年年创建19121912年德国物理学家年德国物理学家冯. .劳厄利厄利用用X X射射线的衍射的衍射实验证明了晶体明了晶体对称群的存在性，称群的存在性，为此，他此，他获得得19141914年度的年度的诺贝尔物理物理奖 随后英国科学家布拉格父子利用劳厄方法和空间群的计算，给出了晶体中原子的固有陈列外形，为此获得1915年诺贝尔物理学奖Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 3、科学、科学计算的重要方法算的重要方法例例 设有一有一块正六正六边形的瓷形的瓷砖，在六个，在六个顶点上分点上分别染染成三个白色和三个黑色，成三个白色和三个黑色，问有几种瓷有几种瓷砖图案？案？图示如下：示如下：计算算结果：果：4种种Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 它它们是：是：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 如何如何计算？算？Burnside定理：定理：设有限群有限群G作用于有限集合作用于有限集合M上，上，对G中每一个元素中每一个元素g，，记g的不的不动元的集合元的集合为Fg, 那么那么M在在G作用下的作用下的轨道数是道数是Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 4、、编码实际编码在数字通在数字通讯、、计算机和数据算机和数据处置等科学技置等科学技术中有中有广泛运用。
广泛运用信源编码器信道译码器信宿干扰源Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 将信源的信息将信源的信息转化化为数字信息数字信息传送送给收信者称收信者称为数字通数字通讯.工程上最易工程上最易实现的是二元数字信息的的是二元数字信息的传送，二元数字信送，二元数字信息就是有限息就是有限长的二元的二元n元数元数组(c1,…,cn ),其中每一个其中每一个ciZ2.二元二元n元数元数组可以表达可以表达2n种不同的符号，因此英文字母、种不同的符号，因此英文字母、数字及有关号数字及有关号码可用适当的二元可用适当的二元n元数元数组表示之为处理数字理数字传输过程中能程中能够出出现的干的干扰，除采用各种，除采用各种技技术处置外，常采用抗干置外，常采用抗干扰编码的方法Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 设Z2n是信息源的原始数字信息集合。
取自然数是信息源的原始数字信息集合取自然数m>n, 作作单射射E: Z2n Z2m. ImE称称为码，，ImE中元素称中元素称为码字，字，m 称称为码长，，码字的分量称字的分量称为码元显然然 Z2m 是域是域Z2上的向量空上的向量空间，假，假设ImE是是Z2m的子的子空空间, 称称ImE是二元是二元线性性码，由于，由于(Z2m,+)的子群与子的子群与子空空间一致，因此二元一致，因此二元线性性码也称也称为群群码特别地，当地，当对某些特殊的某些特殊的编码函数函数E : Z2n Z2m,可以使可以使E成成为群同群同态比如，E : Z2n Z2m使使E(X)=XG, 其中其中G是一个是一个nm矩矩阵数字通数字通讯 群的群的问题Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 三、高中数学新三、高中数学新课程程“对称与群〞称与群〞选修修课杂谈 1、起点：初中毕业 2、开课学期：高中阶段的恣意一个学期3、合、合计18学学时 4、教学目的： (1) 学会用数学思想察看世界，落实到这一专题，应使学生了解群是研讨和察看对称景象的一种数学方法。
并可以运用群的方法对平面上根本图形的对称性进展察看Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. (2) 掌握掌握轴对称，中心称，中心对称的称的变换方式以及正确的表方式以及正确的表达方法达方法(反射与旋反射与旋转)(3) 掌握置掌握置换群的运算，特群的运算，特别是是为什么什么这些运算有些运算有别于数的运算于数的运算4) 了解一些数学史，特了解一些数学史，特别是近代代数学是如何开展是近代代数学是如何开展起来的Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 5、难点：置换表达(2) 置换运算(合成)Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. (1) 察看各种察看各种对称景象，引称景象，引导对称性的正确表述，如称性的正确表述，如轴对称，中心称，中心对称等。
利用称等利用间隔隔进展一些必要的展一些必要的计算算以加深以加深对称的了解称的了解6、、 18学学时安排参考：安排参考：(2) 熟熟习平面根本平面根本图形：等形：等边三角形，正方形，正五三角形，正方形，正五边形等的形等的对称称轴，，对称中心并学会如何用符号称中心并学会如何用符号标志它志它们，，特特别是是对称称轴过顶点点时，，应如何如何标志才是正确如：志才是正确如： abcdl对称称轴l用用ab表示有什么表示有什么问题？？Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. (3) 平面平面刚体运体运动，利用平面，利用平面刚体运体运动重新重新认识轴对称称与中心与中心对称4) 平面平面刚体运体运动的根本性的根本性质：直：直线变直直线，，线段段变线段，射段，射线变射射线如何了解平面如何了解平面刚体运体运动将平面上将平面上恣意正恣意正n边形依然形依然变为外形和大小外形和大小坚持不持不变的正的正n边形5) 有不有不动点的平面点的平面刚体运体运动----仅一点不一点不动的的为旋旋转，，仅不断不断线不不动的的为反射。
反射6) 平面平面图形形K的的对称称变换，找出等，找出等边三角形，正方三角形，正方形，正五形，正五边形等根本形等根本图形的形的对称称变换Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. (7) 对称称变换的运算的运算----合成合成(8) 进一步熟一步熟习变换合成：合成：变换表示，恒等表示，恒等变换，逆，逆变换 (9) 合成的结合律，但普通情况下，没有交换律，用集合方式表达图形K上的一切对称变换，并引入乘法表10) 写出平面上常写出平面上常见图形的形的对称群，以及乘法表写出某称群，以及乘法表写出某些化学分子些化学分子对称群11) n个文字上的一一个文字上的一一对应表达方式，表达方式，结合前面平面合前面平面图形形进展教学Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. (12) 置置换合成运算，写出用置合成运算，写出用置换表达的平面表达的平面图形形K上上对称称群的乘法表。
群的乘法表13) n个文字个文字对称群称群 与平面与平面图形形对称群的关系称群的关系14) 多元多多元多项式的表达，式的表达，变元置元置换方法15) 对称多称多项式的表达、性式的表达、性质如何找多元多如何找多元多项式的式的对称称变换16) 笼统群的引群的引见17) 讲故事故事----近代代数学的来源近代代数学的来源18) 安排一次研安排一次研讨性学性学习，并，并进展学展学习总结报告Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 谢谢大家！Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 。