控制工程基础ppt课件第六章 线性离散系统与Z变换

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1、9/3/20241第六章 线性离散系统与z z变换二、采样过程与采样定理三、Z变换与Z反变换四、脉冲传递函数五、离散系统的稳定性分析六、数字控制器与离散PID控制一一、概述七、小结9/3/20242第六章 线性离散系统与z变换一一、概述l 连续系统与离散系统连续系统与离散系统 连续控制系统系统中各部分传递的信号为随时间连续变化的信号。连续控制系统通常采用微分方程描述。 离散控制系统系统中某一处或多处的信号为脉冲序列或数字量传递的系统。离散控制系统通常采用差分方程描述。 9/3/20243第六章 线性离散系统与z变换l 离散控制系统的分类离散控制系统的分类 采样控制系统间断地对系统中某些变量进行

2、测量和控制。sa 受某一信号控制，使其短暂接通后立即断开。采样开关接通的时间间隔可以相等，亦可不等，相等时称为均匀采样。图中，sa为采样开关或采样器。G(s)H(s)xi(t)xo(t)sa (t)*p(t)9/3/20244第六章 线性离散系统与z变换连续信号 (t)经采样开关后成为离散信号*p(t)。该过程称为采样，相应离散控制系统称为采样控制系统。t (t)0t0*p(t)采样控制系统的特点：采样开关闭合时，系统处于闭环工作状态，断开时处于开环状态。9/3/20245第六章 线性离散系统与z变换采样控制最早出现于某些大惯性或具有较大滞后特性的对象控制中。例如，工业炉温度控制系统。工业炉可

3、以视为具有延迟时间 的惯性环节，其延迟时间可长达数秒甚至数十秒，惯性时间常数也相当大，采用常规控制无法解决控制精度与动态性能之间的矛盾，而采用采样控制将取得良好的控制效果：可以取较大的开环增益保证稳态精度，又可抑制系统调节过头产生大幅振荡。9/3/20246第六章 线性离散系统与z变换 数字控制系统系统中含有数字计算机或数字编码元件。图中，A/D：模拟信号至数字信号转换器； D/A：数字信号至模拟信号转换器。被控对象H(s)xi(t)xo(t) (t)*(t)A/D计算机D/A9/3/20247第六章 线性离散系统与z变换q A/D转换采样x(t)模拟信号取样信号s(t)0ts(t)xs(t)

4、量化编码数字信号x(n)0tx(t)0tx(nt)tt0qx(n)000001010011nx(nt)9/3/20248第六章 线性离散系统与z变换 D/A转换D/A转换器低通滤波器nx(n)tx(t)tx(t)x(n)x(t)x(t)9/3/20249第六章 线性离散系统与z变换被控对象H(s)xi(t)xo(t) (t)*(t)计算机保持器sam*(t)sbm(t)图中，sa 与sb同步开关。 保持器：实现信号复现。将离散信号恢 复为模拟信号。9/3/202410第六章 线性离散系统与z变换t (t)0t0*(t)t0m*(t)t0m(t)9/3/202411第六章 线性离散系统与z变换l

5、 离散控制系统的特点离散控制系统的特点 采样信号特别是数字信号可以有效抑制噪声， 从而提高系统抗干扰能力； 由计算机构成的数字控制器，控制规律由软 件实现，易于改变，控制灵活，且效果优于 连续式控制。 允许采用高灵敏度控制元件，提高控制精度。 可实现分时控制若干系统，提高设备利用率。 对大延迟系统可以引入采样方式稳定。 可以实现各种先进控制方式。9/3/202412第六章 线性离散系统与z变换l 离散控制系统的研究方法离散控制系统的研究方法 差分方程 z变换经过 z 变换处理后的离散系统，可以将连续系统的分析方法经过适当改变应用于离散系统的分析和设计。 状态空间虽然采样控制系统和数字控制系统的

6、构成及部件存在基本区别，但其分析和设计方法相同。9/3/202413第六章 线性离散系统与z变换二、采样过程与采样定理l 采样过程采样过程sax(t)x*p(t)t0x(t)t0t0T 2T 3T 4Tx*p(t)x*(t)设 sa 每隔时间T接通一次，接通时间为 ，并满足T 。 T 称为采样周期。其倒数称为采样频率。由于T ，故可近似认为在 时间间隔内，输出维持不变。9/3/202414第六章 线性离散系统与z变换从而：当 T，且远远小于离散系统连续部分的时间常数时，可近似认为 0。从而有：9/3/202415第六章 线性离散系统与z变换注意到：从而：9/3/202416第六章 线性离散系统

7、与z变换令：sax(t)x*p(t)x*(t)可见，采样过程可理解为脉冲调制过程，即连续输入信号 x(t) 对周期的理想脉冲载波信号进行调制，调制后在nT 时刻的脉冲强度为x(nT)。注意到：因此，采样开关结构图可表示为：9/3/202417第六章 线性离散系统与z变换显然由 X*(s)可以直接看出x*(t)的时间响应。但须注意，由于 x*(t) 只描述了 x(t) 在采样瞬时的数值，故 X* (s)不能给出 x(t)在采样间隔之间的信息。此外也不能认为x*(t) 在采样间隔内数值为0。上述分析过程中，假设了：x(t)=0，t 0，该条件对实际控制系统通常都是满足的。对x*(t) = x(t)

8、T(t)进行拉氏变换：9/3/202418第六章 线性离散系统与z变换l 采样定理采样定理x*(t)只给出了x(t)在时域的部分信息，为了能从x*(t)不失真地恢复出原始的连续信号x(t)，采样间隔（采样频率）需要满足一定的条件。时域采样原始信号f = f0fs=8f0fs=4f0fs=2f09/3/202419第六章 线性离散系统与z变换由上述时域采样图形分析可见： 对单个连续正弦信号进行采样，采样频率不 能低于信号频率的两倍； 对多个正弦信号叠加组成的信号进行采样， 采样频率不能低于信号中最高频率的两倍。sin2f0tsin14f0tsin2f0t+sin14f0t时域采样：混叠fs= 8

9、f09/3/202420第六章 线性离散系统与z变换工程中的连续信号 x(t) 都可以通过傅立叶级数或傅立叶变换展开为多个或无穷个正弦信号分量的叠加，即信号的频域描述(频谱)。如对周期为T0的信号x(t)，其傅立叶级数展开为信号角频率。n为正整数。 其中：9/3/202421第六章 线性离散系统与z变换如非周期信号x(t)，其傅立叶变换对为9/3/202422第六章 线性离散系统与z变换根据前述时域采样的分析，若连续信号 x(t) 不包含任何大于 max 的频率分量(带限信号)，则为了能从采样信号x*(t)无失真地恢复出原始的连续信号x(t) ，采样频率s必须满足： s 2max（或：fs 2

10、fmax）此即为香农采样定理。实际采样时，fs常取为信号最高频率的34倍。 9/3/202423第六章 线性离散系统与z变换l 信号恢复信号恢复x(t)t0X()0max-maxAT(t)t0T 2T 3T4T5T 6T|T()|0s-sx*(t)t0T 2T3T4T5T 6T|X*()|0s-sA/T9/3/202424第六章 线性离散系统与z变换由图可见，采样信号x*(t)的频谱X*()是以采样角频率 s 为周期的无穷多个原连续信号x(t) 的频谱 X() 幅值变化了1/T 倍，并沿频率轴平移了ns后的和。n = 0处的频谱称为采样信号频谱的主分量， ns (n 0) 处的频谱为采样引起的

11、高频辅助分量。易见，若采样信号x*(t) 满足采样定理，则通过截止频率为s/2的理想低通滤波器可准确地恢复出原始信号x(t) 的频谱 X()，即恢复出x(t)。9/3/202425第六章 线性离散系统与z变换实际滤波器不可能具有理想的频率截止特性，即理想滤波器是不存在的。工程中通常通过保持器（低通滤波器）来恢复连续信号x(t)。 保持器数学描述从采样过程可知，在采样时刻上，脉冲序列的脉冲强度等于连续信号的幅值，但在两个相邻的采样时刻之间，连续信号的幅值未知，只能根据采样时刻的脉冲强度进行插值或外推。9/3/202426第六章 线性离散系统与z变换保持器就是实现外推功能的一种装置。能够物理实现的

12、保持器只能根据现在时刻和过去时刻的采样值完成外推，而不能根据将来时刻的采样值完成外推。保持器的外推规律通常用多项式关系描述：其中，0tT。系数 a0am 由过去m+1个采样值x*(n-m)T x*(nT)确定。 m称为保持器的阶次。9/3/202427第六章 线性离散系统与z变换 零阶保持器零阶保持器的外推公式为：即零阶保持器按常值外推，将前一采样时刻nT 的采样值 x*(nT)一直保持到下一采样时刻(n+1)T 到来之前，从而使离散采样信号 x*(t)变成阶梯连续信号xh(t)。9/3/202428第六章 线性离散系统与z变换txh(t) x(t)0T2T 3T4T5T 6T 7Tx(t)x

13、h(t)若将上述阶梯信号xh(t)的中点连接起来，即可得到与连续信号 x(t)形状一致但滞后半个采样周期的响应x(t -T/2)。注意到：9/3/202429第六章 线性离散系统与z变换若考虑保持器串接于采样器之后，并考虑保持器的输入为x*(t)，即将采样器中的考虑到保持器中去：sax(t)x*p(t)x*(t)零阶保持器xh(t)9/3/202430第六章 线性离散系统与z变换从而由：可得结合后零阶保持器的传递函数：因此，分析采样控制系统时，若保持器的传递函数表示为上述形式，则采样信号将直接表示为x*(t)，而不必考虑 的影响。9/3/202431第六章 线性离散系统与z变换T0-22/T4

14、/T6/T|Gh(j)|Gh(j)零阶保持器的频率特性：9/3/202432第六章 线性离散系统与z变换零阶保持器的特点：q 非理想的低通滤波器。允许部分高频分量 通过，导致恢复出的连续信号存在纹波。q 时间延迟特性。延迟时间为 T/2 ，使系统 相角滞后加大，对稳定性不利。相位滞后是各阶保持器的共性，与一阶及高阶保持器相比，零阶保持器具有最小的相位滞后，且结构简单，易于实现，因此，实际系统普遍采用零阶保持器。9/3/202433第六章 线性离散系统与z变换l Z变换变换三、Z变换与Z反变换考虑连续信号x(t) (x(t)=0，t0)的z变换。解解：根据定义求得的z变换为无穷级数形式，对于常用

15、函数z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。9/3/202438第六章 线性离散系统与z变换z变换的无穷级数形式具有明显的物理意义：z-n (n = 0, 1, 2, )的系数直接表示连续时间函数在各采样时刻上的采样值，而指数n表示从t = 0开始，以采样周期T为间隔的各个采样时刻nT。因此，z变换含有时间的概念，可由连续函数z变换的无穷级数形式清楚地看出其在各采样时刻上的采样序列的分布情况。9/3/202439第六章 线性离散系统与z变换q 部分分式法步骤： 求已知连续时间函数x(t)的拉氏变换X(s)； 将X(s) 展开为部分分式形式，使每一部分 分式对应简单的时间函数，求得其相应的 z

16、变换；将各部分的z 变换相加获得x(t)的z变换。9/3/202440第六章 线性离散系统与z变换例4 已知连续函数的拉氏变换： 求相应的z变换。解解：9/3/202441第六章 线性离散系统与z变换例5 求 x(t) = sint 的z变换。解解：9/3/202442第六章 线性离散系统与z变换q 留数计算法若已知：则：9/3/202443第六章 线性离散系统与z变换例6 求单位速度函数x(t) = t (t 0)的z变换。解解：p1 = 0，r1 = 29/3/202444第六章 线性离散系统与z变换q 其它方法例7 求 x(t) = cost 的z变换。解解：9/3/202445第六章

17、线性离散系统与z变换例8 求单位阶跃函数的z变换。解解：由于9/3/202446第六章 线性离散系统与z变换 z变换的性质q 线性性 Zax1(t)+bx2(t) = aZx1(t)+bZx2(t) 其中a、b为常数。q 时域位移定理其中k为正整数。滞后定理超前定理9/3/202447第六章 线性离散系统与z变换证明证明：当m0时，x(mT)=09/3/202448第六章 线性离散系统与z变换9/3/202449第六章 线性离散系统与z变换q 复域位移定理q 初值定理q 终值定理若x(nT) (n = 0, 1, 2, ) 均为有限值，则：x(nT) (n = 0, 1, 2, ) 均为有限值

18、也可表述为：(z-1)X(z)的全部极点位于z平面的单位圆内。9/3/202450第六章 线性离散系统与z变换证明证明：又由时域位移定理：即：因此：9/3/202451第六章 线性离散系统与z变换注意到：所以：9/3/202452第六章 线性离散系统与z变换q 卷积定理x(nT)与y(nT)离散卷积定义为：则：9/3/202453第六章 线性离散系统与z变换证明证明：时域位移定理9/3/202454第六章 线性离散系统与z变换l Z反反变换变换x(nT) = Z-1X(z)Z反变换的信号序列仍是单边的，即当n0后，该极点消失。当n=0时：9/3/202466第六章 线性离散系统与z变换9/3/

19、202467第六章 线性离散系统与z变换所以：9/3/202468第六章 线性离散系统与z变换 Z变换及反变换只反映X(z)与x*(t)间的关系；l 关于Z变换与反变换的说明对于连续时间函数而言，Z变换及Z 反变换都不是唯一的。 为了全面描述 Z 反变换后x*(t)的函数特性， 可以令采样周期T0。9/3/202469第六章 线性离散系统与z变换l 采样系统的数学模型差分方程 微分与差分tx(t)0t t+dtdx(t)nx(n)0n-1 n n+1x(n)x(n)微分：dx(t) = x (t)dt一阶前向差分：x(n) = x(n+1) - x(n)一阶后向差分：x(n) = x(n) -

20、 x(n-1)省略采样周期T9/3/202470第六章 线性离散系统与z变换 高阶差分二阶前向差分： 2x(n) = x(n) = x(n+1) - x(n) = x(n+2) - 2x(n+1) + x(n)二阶后向差分： 2x(n) = x(n) = x(n) - x(n-1) = x(n) - 2x(n-1) + x(n-2)k阶前向差分： kx(n) = k-1x(n+1) - k-1x(n)k阶后向差分： kx(n) = k-1x(n) - k-1x(n-1)9/3/202471第六章 线性离散系统与z变换q 前向差分 差分的Z变换Zx(n) = Zx(n+1) - x(n) = (

21、z - 1)X(z) - zx(0)Z2x(n) = (z - 1)2X(z) - z(z - 1)x(0) - zx(0)其中：Z变换中因子(z - 1)与拉氏变换中s的作用相同。9/3/202472第六章 线性离散系统与z变换q 后向差分9/3/202473第六章 线性离散系统与z变换l 采样系统的数学模型差分方程 微分与差分tx(t)0t t+dtdx(t)nx(n)0n-1 n n+1x(n)x(n)微分：dx(t) = x (t)dt一阶前向差分：x(n) = x(n+1) - x(n)一阶后向差分：x(n) = x(n) - x(n-1)省略采样周期T9/3/202474第六章 线

22、性离散系统与z变换 高阶差分二阶前向差分： 2x(n) = x(n) = x(n+1) - x(n) = x(n+2) - 2x(n+1) + x(n)二阶后向差分： 2x(n) = x(n) = x(n) - x(n-1) = x(n) - 2x(n-1) + x(n-2)k阶前向差分： kx(n) = k-1x(n+1) - k-1x(n)k阶后向差分： kx(n) = k-1x(n) - k-1x(n-1)9/3/202475第六章 线性离散系统与z变换q 前向差分 差分的Z变换Zx(n) = Zx(n+1) - x(n) = (z - 1)X(z) - zx(0)Z2x(n) = (z

23、 - 1)2X(z) - z(z - 1)x(0) - zx(0)其中：Z变换中因子(z - 1)与拉氏变换中s的作用相同。9/3/202476第六章 线性离散系统与z变换q 后向差分9/3/202477第六章 线性离散系统与z变换 差分方程例：微分方程的离散化差分方程9/3/202478第六章 线性离散系统与z变换一般，n阶离散系统的前向差分方程为：初始条件为：y(i) = yi (i = 0 n-1) x(i) = xi (i = 0 m-1)n阶离散系统的后向差分方程为：初始条件为： y(k) = x(k) = 0 (k0)。9/3/202479第六章 线性离散系统与z变换 差分方程的求

24、解q 迭代法根据给定的初值，利用差分方程的递推关系，迭代求出输出序列。例1 已知差分方程 y(k) 5y(k-1) + 6y(k-2) = x(k)输入序列x(k)1，初始条件为y(k) = 0 ( k 0)，求输出y(k) (k05)。9/3/202480第六章 线性离散系统与z变换解解：y(k) x(k) + 5y(k-1) - 6y(k-2)y(0) x(0) + 5y(-1) - 6y(-2) = 1y(1) x(1) + 5y(0) - 6y(-1) = 6y(2) x(2) + 5y(1) - 6y(0) = 25y(3) x(3) + 5y(2) - 6y(1) = 90y(4)

25、 x(4) + 5y(3) - 6y(2) = 301y(5) x(5) + 5y(4) - 6y(3) = 9669/3/202481第六章 线性离散系统与z变换q Z变换法对差分方程两端取Z变换，利用时域位移定理，得到关于z 的代数方程，求得Y(z)后，通过Z反变换得到输出序列y(k)。例2 已知差分方程 y(k) 5y(k-1) + 6y(k-2) = x(k)输入序列x(k)1，初始条件为y(k) = 0 ( k 0)，求输出y(k) 。9/3/202482第六章 线性离散系统与z变换解解：对方程两端进行Z变换：Zy(k) 5y(k-1) + 6y(k-2) = Zx(k)Y(z) 5

26、z-1Y(z) + 6z-2Y(z) = X(z)9/3/202483第六章 线性离散系统与z变换例3 已知差分方程 y(k+2) 5y(k +1) + 6y(k) = 0初始条件为y(0) = 0，y(1) = 1，求输出y(k)。解解：对方程两端进行Z变换：Zy(k+2) 5y(k +1) + 6y(k) = 09/3/202484第六章 线性离散系统与z变换四、脉冲传递函数l 脉冲传递函数的定义G(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)s1和s2为同步采样器。脉冲传递函数：零初始条件下，输出采样信号xo*(t)的z变换与输入采样信号xi*(t)的z变换之比。记为

27、：9/3/202485第六章 线性离散系统与z变换零初始条件：xo(t) = xi(t) = 0 (t0) 或：xo(kT) = xi(kT) = 0 (k0)实际系统的输出往往是连续信号，即采样开关s2不存在，此时，可以在输出端虚设一采样开关，并使其与输入采样开关s1同步，以考察连续输出在各采样时刻的状态。G(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)9/3/202486第六章 线性离散系统与z变换l 脉冲传递函数的意义前述已知，对线性连续系统，输出y(t)与输入x(t)之间满足：式中，当t 0时，g(t) = x(t) = 0。 g(t)L-1G(s)为系统的脉冲响应

28、函数。9/3/202487第六章 线性离散系统与z变换对图示采样系统，直接作用于系统连续部分的信号为：G(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)从而：9/3/202488第六章 线性离散系统与z变换因此，输出量在采样时刻的值为：即：g(t)=0, if t09/3/202489第六章 线性离散系统与z变换即脉冲传递函数为系统单位脉冲响应序列g(kT)的z变换。通常简记为：从而：G(z) = Zg(t) = ZL-1G(s) = ZG(s)需注意：9/3/202490第六章 线性离散系统与z变换若系统差分方程为：则当y(k)=x(k)=0 (k0)时，两端进行z变换可得

29、：由于：即xo(kT)为不同时刻的输入脉冲通过g(k-n)T加权后的和，因此，g(kT)通常称为加权序列。9/3/202491第六章 线性离散系统与z变换若系统差分方程为：当y(0) = y(1) = = y(n-1) = 0， x(0) = x(1) = = x(m-1) = 0时，两端进行z变换可得：9/3/202492第六章 线性离散系统与z变换l 环节串联时的脉冲传递函数离散系统中环节相互串联时，由于采样开关的位置和数目不同，求得的等效脉冲传递函数也不相同。 串联环节之间有采样器G1(s)x1(t)x1*(t)xo(t)xo*(t)s1s3G(z)G2(s)s2x2(t)x2*(t)s

30、1、s2、s3为同步采样器。9/3/202493第六章 线性离散系统与z变换因此：即当两环节之间存在采样开关时，等效脉冲传递函数等于两环节脉冲传递函数的乘积。同理： n 个环节相串联时，若相邻环节间均存在同步采样器，则等效脉冲传递函数等于 n 个环节脉冲传递函数的乘积。9/3/202494第六章 线性离散系统与z变换 串联环节之间无采样器G1(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)G2(s)s1、s2为同步采样器。 与G1(z)G2(z)相区别即当两环节之间无采样开关时，等效脉冲传递函数等于两环节传递函数相乘后相应的脉冲响应函数的z变换。9/3/202495第六章 线

31、性离散系统与z变换G1(s)x1(t)x1*(t)xo(t)xo*(t)s1s3G(z)G2(s)s2x2(t)x2*(t)s1、s2、s3为同步采样器。例1 已知采样系统方框图如下：其中：比较有s2与无s2时，系统的脉冲传递函数。9/3/202496第六章 线性离散系统与z变换解解：1）有s2时9/3/202497第六章 线性离散系统与z变换2）无s2时显然，G1(z)G2(z) G1G2(z)。尽管如此，易见采样开关只影响脉冲传递函数的零点。9/3/202498第六章 线性离散系统与z变换例2 已知采样系统方框图如下：其中：求系统的脉冲传递函数。Gh(s)xi(t)xi*(t)xo(t)x

32、o*(t)s1s2G(z)G1(s)s1、s2为同步采样器。9/3/202499第六章 线性离散系统与z变换解解：此系统为有零阶保持器的系统。由于e-sT为延迟一个采样周期的延迟环节，因此，e-sTG1(s)/s对应的时域输出比 G1(s)/s 对应的时域输出延迟了一个采样周期。9/3/2024100第六章 线性离散系统与z变换根据z变换的时域滞后定理，有：9/3/2024101第六章 线性离散系统与z变换l 闭环系统的脉冲传递函数由于采样器位置可变，因此闭环离散系统没有唯一的结构图形式。考虑常见的偏差采样闭环离散系统：(t)*(t)xo(t)xo*(t)s1s3(z)G(s)s1s4为同步采

33、样器H(s)b(t)xi*(t)b*(t)s2s4xi(t)9/3/2024102第六章 线性离散系统与z变换由图可知：Xo(s) G(s)*(s)B(s) H(s)Xo(s)(s)Xi(s) - B(s) = Xi(s) - H(s)G(s)*(s)两边取z变换：(z)Xi(z) - HG(z)(z)G(s)*(s)* = G*(s)*(s)因此：9/3/2024103第六章 线性离散系统与z变换输入作用下的偏差脉冲传递函数为：与连续系统类似，闭环离散系统的特征方程定义为：D(z) 1 + GH(z) = 0其中， GH(z) 为该闭环离散系统的开环脉冲传递函数。所以，闭环脉冲传递函数为：9

34、/3/2024104第六章 线性离散系统与z变换需注意：采用上述类似分析方法，可求得采样器位于其它位置时系统的闭环脉冲传递函数。但只要偏差信号 (t) 处无采样开关，则输入信号xi*(t) (包括虚构的xi*(t) )便无法获得，从而不可能获得闭环离散系统对输入量的脉冲传递函数，尽管如此，仍有可能求出输出采样信号的 z 变换Xo(z)。9/3/2024105第六章 线性离散系统与z变换例如 考虑如下闭环离散系统：Xo(s) G(s)(s)，(s)Xi(s) - H(s)Xo*(s)(t)xo(t)xo*(t)s3G(s)H(s)xi(t)s1xo*(t)Xo(s) G(s)Xi(s) - G(

35、s)H(s)Xo*(s)Xo(z)XiG(z) - GH(z)Xo(z)9/3/2024106第六章 线性离散系统与z变换l 离散系统的过渡过程分析基本方法：z反变换法求输出序列xo*(t)。 单位阶跃响应例1：求图示系统的单位阶跃响应，其中采样周期T = 1s。Xi(s)*(s)Xo(s)s1(s)9/3/2024107第六章 线性离散系统与z变换解解：9/3/2024108第六章 线性离散系统与z变换按照采样点估算的近似性能指标：tr2stp4sts12sMp40%t (sec)xo*(t)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151600.20.40.60.811.

36、21.41.69/3/2024109第六章 线性离散系统与z变换 采样器与保持器对动态性能的影响考虑上例，若无采样器与保持器，则系统为连续二阶系统，闭环传递函数为：若无采样器，只有保持器，闭环传递函数为：9/3/2024110第六章 线性离散系统与z变换若只有采样器，无保持器，闭环脉冲传递函数为：9/3/2024111第六章 线性离散系统与z变换Step Responset (sec)01234567891000.20.40.60.811.21.41.6xo(t), xo*(t)连续系统无采样器无保持器采样保持 采样器使系 统快速性提 高，稳定性 降低；但对 大延迟系统， 适当选择采 样周期可

37、提 高稳定性。 保持器使系统快速性和稳定性均降低。9/3/2024112第六章 线性离散系统与z变换 采样周期对动态性能的影响Step Responset (sec)01234567891000.20.40.60.811.21.41.6xo*(t)T = 1sT = 0.5sT = 0.1s连续系统采样周期越大，快速性改善越好，但超调越大。9/3/2024113第六章 线性离散系统与z变换l 离散系统的稳态误差离散系统没有唯一的典型结构，给不出统一的误差脉冲传递函数形式，因而，其稳态误差需要针对不同形式的离散系统进行求取。离散系统的稳态误差通常利用 z 变换的终值定理进行求解，所获得的误差是离

38、散系统在采样瞬时的误差。离散系统稳态误差除与系统本身的结构、参数及输入形式有关外，还与采样周期 T 有关。9/3/2024114第六章 线性离散系统与z变换例1： 求图示系统在单位阶跃、单位速度以及单位加速度输入下的稳态误差，其中采样周期T = 1s。Xi(s)*(s)Xo(s)s1(s)9/3/2024115第六章 线性离散系统与z变换解解：图示系统为单位反馈系统，误差信号等于偏差信号，从而，可求得输入作用下的误差脉冲传递函数为：9/3/2024116第六章 线性离散系统与z变换1）单位阶跃输入时9/3/2024117第六章 线性离散系统与z变换2）单位速度输入时9/3/2024118第六章

39、 线性离散系统与z变换3）单位加速度输入时9/3/2024119第六章 线性离散系统与z变换 离散系统的型别与静态误差系数离散系统的型别按照开环脉冲传递函数所具有的 z1的极点数v 进行划分。与连续系统类似， v0，1，2，的系统分别称为0型、I型、II型系统等。考虑常见的偏差采样闭环离散系统：(t)*(t)xo(t)s1G(s)H(s)xi(t)9/3/2024120第六章 线性离散系统与z变换q 稳态位置误差系数9/3/2024121第六章 线性离散系统与z变换q 稳态速度误差系数9/3/2024122第六章 线性离散系统与z变换q 稳态加速度误差系数9/3/2024123第六章 线性离散

40、系统与z变换五、离散系统的稳定性分析l s平面到z平面的映射显然：即z平面上的单位圆对应s平面的虚轴，单位圆内部对应左半s平面，外部对应右半s平面。9/3/2024124第六章 线性离散系统与z变换ReImsReImz00z1-/T/T3/T-3/T19/3/2024125第六章 线性离散系统与z变换注意到argz = T，若 = 0，当由-/T至/T变化时，z平面上的相应点从-逆时针变换到 (逆时针转一圈)。通常将-/T/T称为主频带。当由/T至3/T变化时， z平面上相应点再次逆时针转过一圈。因此， 由-至变化时，z平面上的相应点沿单位圆转过无穷圈。9/3/2024126第六章 线性离散系

41、统与z变换l 离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件：离散系统闭环特征方程的所有特征根 zi 1 (i = 1, 2, 3, , n)均位于 z 平面的单位圆内，即|zi| 1。l 应用劳斯判据判别离散系统的稳定性劳斯判据只能用来判别复变量 s 的代数方程的根是否在虚轴的左面，不能判别特征根的模是否小于 1。9/3/2024127第六章 线性离散系统与z变换考虑如下的双线性变换（w变换）为此，需要对离散系统的特征方程进行坐标变换，将 z 平面的单位圆映射为另一复平面的虚轴，单位圆内部映射到该平面虚轴的左面。令z = x + jy，w = u + jv ，则：9/3/2024128第六章

42、线性离散系统与z变换显然：注意到：9/3/2024129第六章 线性离散系统与z变换ReImwReImz00z1即双线性变换将 z 平面的单位圆映射到 w 平面的虚轴，单位圆内部映射到 w 平面虚轴的左面。9/3/2024130第六章 线性离散系统与z变换双线性变换（w变换）也可采用：例1：分析图示系统稳定时K的取值范围，其中采样周期T = 1s。Xi(s)*(s)Xo(s)s1(s)9/3/2024131第六章 线性离散系统与z变换解解：由系统结构图有：9/3/2024132第六章 线性离散系统与z变换系统特征方程为：1G(z) = 0即：T = 1s时，令：得：9/3/2024133第六章

43、 线性离散系统与z变换根据劳斯判据，易知系统稳定时，要求：即当 0 K 5.82 时，系统稳定。此例对应的连续系统为二阶系统，对任意K值，连续系统均稳定，但离散化后，系统可能会成为不稳定系统。9/3/2024134第六章 线性离散系统与z变换例2：分析采样周期T对图示系统稳定性的影响。Xi(s)*(s)Xo(s)s1(s)解解：由系统结构图有：9/3/2024135第六章 线性离散系统与z变换系统特征方程为：1G(z) = 0即：令：得：9/3/2024136第六章 线性离散系统与z变换若T2s，得： 0 K 系统稳定时，要求：若T0s，系统变为连续系统，对任意K系统均稳定。若T1s，得： 0

44、 K 若Ts，得： 0 n时：未来时刻的输入显然物理可实现的数字控制器要求：n m。此时：9/3/2024147第六章 线性离散系统与z变换l 离散PID控制器 PID控制规律的离散化PID控制规律：PID控制的传递函数：9/3/2024148第六章 线性离散系统与z变换设采样周期 T 远小于信号变化的周期，应用矩形面积求和法近似积分作用，用后向差分法近似微分作用，即： 位置式PID控制算法9/3/2024149第六章 线性离散系统与z变换从而：其中：由于控制器直接输出至执行机构，控制量u(k)的值与执行机构的输出位置一一对应，因此，上式通常称为位置式PID控制算法。9/3/2024150第六

45、章 线性离散系统与z变换 增量式PID控制算法上式实现了控制量u(k) 的递推运算，与直接运算相比可极大地降低运算量和存储要求，使得实时控制成为可能。9/3/2024151第六章 线性离散系统与z变换若控制系统的执行机构具有记忆功能，如步进电机可以保持其历史位置，此时，控制器需要输出增量信号u(k)，使得执行器以原来位置为起点移动至新的位置。即采用增量式PID控制算法：9/3/2024152第六章 线性离散系统与z变换其中：位置式算法与增量式算法从输出控制量的角度看并无本质区别，但增量式算法在应用中却具有不少优点。9/3/2024153第六章 线性离散系统与z变换增量式输出控制的优点： 控制器

46、只输出增量，误动作时影响小，必 要时可通过逻辑判断的方法消除； 运算时仅与最近几次的采样值有关，无需 累加； 由于利用了执行元件的记忆功能，易于实 现手动/自动的无扰动切换。9/3/2024154第六章 线性离散系统与z变换l 离散PID控制器的脉冲传递函数令：9/3/2024155第六章 线性离散系统与z变换x(k)的一阶前向差分为：注意到：因此：9/3/2024156第六章 线性离散系统与z变换于是：从而离散PID控制器的脉冲传递函数为：D(z)也可直接由增量算式获得。9/3/2024157第六章 线性离散系统与z变换离散PID控制器的脉冲传递函数也可由z 变换方法获得，但需注意的是采用z

47、变换法时需要考虑零阶保持器。即：9/3/2024158第六章 线性离散系统与z变换其中：注意：采用z 变换法获得的脉冲传递函数与近似法获得的脉冲传递函数零点不同。9/3/2024159第六章 线性离散系统与z变换 离散P控制器的脉冲传递函数当Td = 0， Ti = 时， 离散PI控制器的脉冲传递函数当Td = 0时，9/3/2024160第六章 线性离散系统与z变换 离散PD控制器的脉冲传递函数当Ti = 时，离散 P、PI、PD、PID 控制作用对系统性能的影响与相应的连续控制作用对系统性能的影响相同。9/3/2024161第六章 线性离散系统与z变换七、小结l 采样过程与采样定理采样：脉冲调制过程采样定理： s 2maxl Z变换与Z反变换Z变换：采样拉氏变换Z变换与反变换对应的时域信号均为离散信号l 脉冲传递函数单位脉冲响应序列g(kT)的z变换。闭环系统的脉冲传递函数不一定能求出。9/3/2024162第六章 线性离散系统与z变换l 离散系统的动态性能分析l 离散系统的稳定性分析l 离散系统的稳态误差充要条件：闭环极点位于z平面单位圆内部判据：劳斯判据l 数字控制器与离散PID控制