高阶导数与高阶偏导数

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1、1.3 高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数 一、一、高阶偏导数的定义高阶偏导数的定义 二、二、求高阶导数与高阶偏导数求高阶导数与高阶偏导数 三、三、高阶微分高阶微分 四、小结四、小结回顾：回顾：高阶导数的定义高阶导数的定义定义定义记作记作二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数, ,三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, , 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数. .由于函数由于函数展开后的最高次幂项为展开后的最高次幂项为所以所以例例1 已知函数已知函数解解纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及

2、二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数. .一、高阶偏导数的定义一、高阶偏导数的定义解解原原函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形二二阶阶混混合合偏偏导导函函数数图图形形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：解解问题：问题：混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？解解例例 4按定义可知：按定义可知：问题：问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？解解因此因此所以所以例例6解解1.直接法直接法: :根据定义逐步求高阶根据定义逐步求高阶( (偏偏) )导数

3、导数. .二、求高阶导数与高阶偏导数二、求高阶导数与高阶偏导数莱布尼兹公式莱布尼兹公式2. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:解解例例7解解 例例8 常用高阶导数公式常用高阶导数公式利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, , 通过四则通过四则运算运算, ,变量代换等方法变量代换等方法, ,求出求出n阶导数阶导数. .3.间接法间接法:解解例例9解解例例10已知函数已知函数y=f(x)，则它的微分为，则它的微分为 三、高阶微分三、高阶微分亦可称为亦可称为一阶微分一阶微分； 类似地，类似地，二阶微分二阶微分定义为定义为 记作记作 一般的，已知函数一般的，已知函数y=f(x)，则它的，则

4、它的n- -1阶微分阶微分为为 则则n阶微分阶微分定义为定义为 记作记作 由此可得由此可得 注注 (1)(2) 求求 n 阶微分实质上就是求阶微分实质上就是求 n 阶导数阶导数.解解 (3) 求高阶微分时：求高阶微分时：若若 x 是自变量，则由于是自变量，则由于 dx 是不依赖于是不依赖于x 的任意的任意的数，故关于的数，故关于 x 微分时，微分时，必须视必须视 dx为常数因子为常数因子.若若 x 不是自变量，而是某一变量的函数，如不是自变量，而是某一变量的函数，如而而 x 是自变量时，有是自变量时，有结论结论：高阶微分：高阶微分不具有不具有形式不变性形式不变性. 再求二阶微分再求二阶微分,

5、可得可得 由此可见，由此可见，上述两种结果并不相等上述两种结果并不相等. 一般来说，求复合函数的高阶微分，以逐阶求之为宜一般来说，求复合函数的高阶微分，以逐阶求之为宜.解解 故故 注注 上例的分析过程表明，求复合函数的高阶微分，上例的分析过程表明，求复合函数的高阶微分，也可先把中间变量消去后，再求高阶导数可得也可先把中间变量消去后，再求高阶导数可得 1、高阶偏导数的定义高阶偏导数的定义; ;2、高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则( (莱布尼兹公式莱布尼兹公式););3、 n阶导数的求法阶导数的求法; ;(1) 直接法直接法; ;(2) 间接法间接法. .4、高阶微分不具有形式不变性、高阶微分不具有形式不变性.四、小结四、小结思考题：思考题： 证明函数证明函数满足拉普拉斯满足拉普拉斯方程方程证证 利用对称性利用对称性 ,有有所以所以作业作业习题习题1.3 P35 A 组组 1 (1) 、(3) 、(5) ，2 B 组组 4