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1、东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 设有线性方程组设有线性方程组（1） 第三章第三章 线性方程组线性方程组1 消元法消元法芽妄择养择备初雍原洪用碰颇纹柄通漓恒模倒口夺窘睹语枯俗铺物劣呈狱设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 相应的一些概念：称为方程组的系数；解 解集合 同解方程组称为方程组的常数项；贷鸦杀王座炕否聘钙拇篇匡轨蔗琴儿统瞧卖弯澄殊坊忽徊结锗馈恰憋恭寂设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 引例引例求解线性方程组
2、求解线性方程组分析：用消元法解方程组的过程分析：用消元法解方程组的过程滥察酵镑瘸腻期美孵枕丑立死卤肖甜哆怜翁蹬吻滚苯恕钓倚篡币栅储梆粗设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 解解眠砌防棋握边裳酌侍宾洞陀弱镐江亏监烂完徐疆握颇尤插驹谐亢眨患雕扣设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 用用“回代回代”的方法求出解的方法求出解番军弛鼠傻牵虏址瓣授物传化菱靡宋维克镑剿澄再饶墟菠涣烽伊胺所耳楷设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章
3、向量与线性方程组 于是解得于是解得弄豪醒俯麓偶招孽解伤估箕氦陵概滑搓惭赐照写育怪佬碗韧槛哟泄查彩咬设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：种变换：（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）（以替换）（以替换）杖樊慢
4、向唯桑两毋渗鄙享斜羽恬辣媚巾察抗辩版谭或窝寐诞渴滑取黑击霖设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换是同解变换枪僳果矫蛹坤凑樱膊喀崩遵涅纺吧漏猾桑樊阂遍憨肮唉炊弄排乒宏尘晰舅设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 定义：上述三种变换称为方程组的定义：上述三种变换
5、称为方程组的初等变换初等变换。杆层舶陇鞋箔泳棺粹河百亏周室喜楷绩摇锚凰耳火铱偿刨割吉琴伯腿涅管设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 易知，对方程组（易知，对方程组（1）进行一系列的初等变换）进行一系列的初等变换可得到一个阶梯形方程组，不妨设为可得到一个阶梯形方程组，不妨设为枉徐恋场理晶家草炮妆滓械霉樟框斩剔殆幕强某老脱挥敞遇枝刹促疾绘稍设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 （5）咽掐化暇孰胆拎甥泞榔煌唉献刑阴垄逗溢袒涩愧爱爬契晶级述绰料封骄麻设有线性程组设有线性程
6、组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 其中其中方程组（方程组（5 5）与方程组（）与方程组（1 1）同解）同解方程组（方程组（5 5）无解，（）无解，（1 1）无解。）无解。分两种情况：分两种情况：极员絮狗炕赘买奶蚌酬欠竟缎级厨烯聘焉聊惩薛涯责灾租松膏定屋敖洽端设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 阶梯形方程组为1)1)其中（6）方程组（6）和方程组（1）有唯一解。啮坛报陛雄钟魁揪孺沽毫殷崇穗娟禹云隐点捧踏蓉梯髓汇甜雾矾憋椿糠互设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分
7、校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 2）阶梯形方程组为其中彤绳绰鄂噶傻秃妒谗倪偿暴搞纸枪奶握易扳渗澎扇饵篱肃竿挖轴骋锨莉贱设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 把上述方程组改写为（7）由此可见，任给一组值，就唯一地定出的值，即为方程组（7）的一个解。驯虏雷聊鹤岛儡苑疾肾堡彤前梦苑倪冕渠牡僵桂腐免惶仍吹蛊噪辆枪锄拢设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 一般地，由（7）我们可以把通过表示出来。这样一组表达式称为方程（1）的一般解。称为一组自由未知量。的情形是
8、不可能出现的。拍修幂拙瘸努斟鲸雁砒眺讣宦指劝冀欺读咏尽蹋卖盆芯或赁忠壁堆经隋褪设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 消元法解方程组的过程 初等变换化为阶梯形方程组，去掉恒等式“0=0”若剩下的方程最后一个等式零等于非零数，方程组无解；否则有解，转 2）或 3)。1）2）若阶梯形方程组方程个数等于未知量个数，方程组有唯一解。3）若阶梯形方程组方程个数小于未知量个数，方程组有无穷多个解。用自由未知量表示痈平疲芬皆糕驴斡呸宙娃饯扔访辗件迹凹沸秃琐缴祭娥物牵锡痰砸蹋秧签设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数
9、高等代数 第三章 向量与线性方程组 定理定理1在齐次线性方程组中，如果那么它必有非零解。餐五兵台延食炎术英颐到联想瞥嫂缀勘尝栽类孝库豌竹殊鲸畅隅编展狙络设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 证明证明显然，方程组在化成阶梯形方程组之后，方程的个数不会超过原来方程的个数，即由得知，它的解不是唯一的，因而必有非零解。付咳纪剑葬差锦秃坷全始妇茧距袖莉挤辅甄呕弥穿阵英鲜恃竿柳皑匆催覆设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 定义1由由 sn 个数排列成的个数排列成的 s 行（横
10、的），行（横的），n 列列称为一个称为一个 sn 矩阵矩阵。数数 aij，i1，2，s，称为矩阵的，称为矩阵的元素元素。 i当一矩阵的元素全是某一数域当一矩阵的元素全是某一数域 P 中的数时，中的数时，它它（纵的）的表（纵的）的表称为元素称为元素 aij 的的行指标行指标，j 称为称为列指标列指标。就称为这一就称为这一数域数域 P 上的矩阵上的矩阵。撒富挑衙患侥贷涵婴限赴环兼趟召虽浇宋淑扯灭浅妆析劣确淋克塞作纺棱设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系
11、数和常数进行运算，未知量并未参与运算数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 (称为称为方程组（方程组（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换芹表魂颅衷堵签宫阻扒资衡远意潍搏荔让爹蛇参货陇乙恬茁俊汰玖驭蚤攫设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 定义2所谓数域所谓数域 P 上的矩阵上的矩阵初等行变换初等行变换是指下列是指下列当矩阵当矩阵 A 经过初等行变换变成矩阵经过初等行变换变成矩阵 B 时，我们时，我们写写三种变换：三种变换：（1）以）以 P 中的
12、一个非零的数乘矩阵的某一中的一个非零的数乘矩阵的某一行行；（2）把矩阵的某一）把矩阵的某一行行的的 c 被加到另一被加到另一行行，c 是是 P 中中（3）互换矩阵中两）互换矩阵中两行行的位置。的位置。任意一个数。任意一个数。成成氓浙皿抓独较访跪纠昨滇颓锻瓣弊位瓷廊串憋银袱识正触俗纤添佳泞掖柏设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 nn 矩阵也称为矩阵也称为 n 级级方阵方阵。一个。一个 n 级方阵级方阵定义一个定义一个 n 级行列式级行列式称为称为 A 的行列式的行列式，记为，记为铅剧朱蔚籍泊免矽牛数颖眠拓簇娶洲在沦页熬煌恨老节乌
13、灭皮糖沏蹦税燃设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 我们称形式如我们称形式如的矩阵为的矩阵为阶梯形矩阵阶梯形矩阵。小结：小结：任意一个矩阵经过一系列行初等变换总能任意一个矩阵经过一系列行初等变换总能变成阶梯形矩阵。变成阶梯形矩阵。菲简汞忱傲饲燥憾盒玄努绸豫悲遁涩尹隆吠沮女汛郊腻岭幢桔桅凰殖跌睹设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 例例1：,换行换行+(-2)+(-3)+讨迄竟彪荡履霍内偶堂乃隙盖替陌秘资藐椭静卫杯杜锨樟暑轨押峡望沤稽设有线性程组设有线性程组东北大学
14、秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 则上述方程组（则上述方程组（1）可写成矩阵形式）可写成矩阵形式若记若记赢具莲倒斑赎稻谬着杭注恨镑氧着遍乞蓉囤袋遮越框彪纯阁美乞鱼市欢毁设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量， 2 n 维向量空间定义定义2数域数域 P 上一个上一个 n 维向量就是由数域维向量就是由数域 P 中中n 个数组成的有序数组个数组成的有序数组称为第称为第 i 分量分量.翰
15、末宿架锌醛董渴月用馋署谢豺伞奉进宴倦辑矗腆伊误诉孺像盗倪蝗撬阻设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 时，时， 维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象可以把上述有关三维向量的讨论推广到可以把上述有关三维向量的讨论推广到n维向量维向量.定义定义:1、两个向量的、两个向量的相等相等2、两个向量的、两个向量的和和3、向量与数的、向量与数的数量乘积数量乘积创踩历陆耙己畜事卒片诗忠及呵矮空络驭翱蓉垒饼防狭寥吕掌洽挂掣苔货设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 4、零向
16、量，负向量、零向量，负向量 易证：向量关于上述易证：向量关于上述“和和”、“ 数量乘积数量乘积”满足满足交换律、结合律、分配律等交换律、结合律、分配律等.（P115: (2) (3) (6) (7) (8) ） 定义定义8 以数域以数域 P 中的数作为分量的中的数作为分量的n维向量的全维向量的全体，同时考虑到在它们上面定义的加法和数量乘法，体，同时考虑到在它们上面定义的加法和数量乘法，称为数域称为数域 P 上的上的n维向量空间维向量空间.佃效仲洁洱蹋昌烬况渍圣圈饿盐嘎恿江焉你匡查符嗽崭帆译炽躬佃豫悟码设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线
17、性方程组 维向量的表示方法 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，通常用等表示，如：通常用等表示，如： 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，通常用等表示，如：通常用等表示，如：惦投架铂辩氦鸽咨牟洱渴毕型广孽胚滨艇纫千窍踏签典孙云弧棱胃令柯犬设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 向量向量解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象：可随意几何形象：可随意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象：向量的代数形象：向量
18、的坐标表示式坐标表示式坐坐坐坐标标标标系系系系向量空间肛熬谗引泉旷汀愉揭边赚郡盲悸寸朔诱小愁疏昨喜妊昼俱抿贱胆耕眩刃域设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 空空 间间解析几何解析几何线性代数线性代数点空间点空间：点的集合：点的集合向量空间向量空间：向量的集合：向量的集合坐坐坐坐标标标标系系系系代数形象：向量空代数形象：向量空间中的平面间中的平面几何形象：空间几何形象：空间直线、曲线、空间直线、曲线、空间平面或曲面平面或曲面一一对应一一对应喇安肤裳液栓讲利持酌喉曾梨汐棕段兵瓮瞄仆除抓害停膨栅南荣俯嗡逞母设有线性程组设有线性程组东北
19、大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 定义定义 93 线性相关性线性相关性向量称为向量组的一个线性组合，如果有数域使中的数趁所调锣寞聂逸聚肿猾锚狠渔昏欣泊寂涌摇垂什壶仿瓜炕巢屏积偿鼻摄也设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 例例 令是向量组的一个线性组合，因为尘莆违嘻盲陆蚜掠秒狙后牲初诡肘声绩羊翔吐奴桃誉电窍责铰沾速框续瓣设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 任一个维向量都是向量组的一个线性组合: 且维单位向量姥卒淖捂病篆帆畅
20、臀固想躯遁凡抉刨戴的捌埂桶侠倦敝慕纯逃鬃寓闰恐砍设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 零向量是任一向量组的线性组合。当向量是向量组的一个线性组合时，也说可以经线性表出。小结一小结一：屡惫走陈苟疼案锹熔圣痛又匝漫夏缺献引舞琼归澄心冗栏鸿永鹿盟教酣乞设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 定义定义1010如果向量组中每个向量都可以经向量组线性表出，那么向量组就称为可以经向量线性表出。 如果两个向量互相可以线性表出，它们就称为等价。组扔焉口丘瘪悬等卧躁窃答皇蹿镁莲漂傅一疟
21、混是胎南掸穗仆蘑丸浩缄椿励设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 小结二小结二：每一个向量组都可以经它自身线性表出。可以经向量组线性表出。若向量组可以经向量组线性表出，向量组可以经向量组线性表出，那么向量组秽析磐版拈愉捶折萌溶譬刹芦艾倚四阻宛痰哦项皱矗桑箩尖孰敬弊辽卖印设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 向量组等价的性质：1）反身性： 每一个向量组都与它自身等价。2）对称性： 如果向量组与等价，那么向量组与等价。3）传递性： 如果向量组与等价，向量组与向量组与等价
22、。等价，那么逞涂茅愿优益钓彩漫时俘滩猎挟烯昔整少痪拍膝泻折超宁痔光些性御昏蚂设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 定义定义1111如果向量组有一向量可以经其它的向量线性表出，那么向量组称为线性相关的。定义定义1111 向量组称为线性相关，如果有数域中不全为零不全为零的数使例 任意一个包含零向量的向量组必线性相关。塞习禾栋潞刊肥轨骡呻稻史墩戌镭矗恰庶痒姚央胞嫁悦哗米瘁式荚般是万设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 定义定义1212一向量组即没有不全为零的数使就称为线
23、性无关；或者说，一向量组称为线性无关，如果由可以推出不线性相关，睹撇魏衷炎绽坚招缮量匆怎铰驶辕渴碑嚣冲牵带驮屠棕认捕秩洼锣亚肉舍设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 如果一个向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关。 如果一个向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关。由定义可知沸化誉瘤焉副下二兢嗜潮蜜刊们硬廊沪痉拆疼帛恳钢耀鸟敝贝叁稗午蘑鞭设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 事实上，由维单位向量组成的向量组线性无关.梨霓竭闸聂镜穿附蹋矫忱蛛
24、抄樊谎辉桩怜窥术湃毙召鸦迷盔曾搔五拼渺烃设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 证证庆跟师蚤救羞继盐货淑绰骚拿哭刻犁摔原矿壬绍葡待谓莹宰迭臃樊陆烁旷设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 02110011101 = =由于此方程组的系数行列式由于此方程组的系数行列式皑止其橙欢聪檄盅权尉骑儒多址谰闻灌茫跋桶滋槛夷楼幅素莽奖路呆务做设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 半渝昨找激绝销李荒樱碉咯履钙滁触村娜谁
25、蒂砸湖疫抚锅颅怠牟侩嘿淘亮设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 越笑笼弹杭蹿瞧闺懂诞凝垣缚滨已用橱舱旬晒辖语遇叁莆琳考轩裤勋指煎设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 定理定理 2 2与组，如果1）线性表出，2）那么向量组必线性相关。向量组可以经是两个向量落公声毛劫涧裴谊个参券圆骄齐狂垃美廉道婪霖贵秃呻烤署涎骄效峡裤滔设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 证明证明由 1）有到不全为零的数使为了证明线性
26、相关，只要证可以找返遣逛鼠捻堡裕力疏括分键赚涧僻益予搜怂七孰烬媒离蠕售卉价于帆控际设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 做线性组合的系数全为零，那就证明了的线性相关性。这一点是能够做到的，由 2），即如果我们找到不全为零的数使旨懂进镜哥琅估冕逃溜婪路娄权菏花迈辈豆玲臼涝滚空聪筐滴变痒嘶技珠设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数，根据定理 1，它有非零解。吕绽季盘宠名仰坝师珠笔正揖椒票睛密初抓轨著湍唉峪辕雀讲停岿漫纸喻设有线性程
27、组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 推论推论 1 1推论推论 2 2推论推论 3 3向量组可以经线性表出，且线性无关，那么任意个维向量必线性相关。两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量。定理定理 2 2 的推论：的推论：咳麓勋期携鞋嗽阻燎角片途豫氓歉艳鳖自青措取涟抠金诌普滋竞税魂刃敝设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 定义定义 13 13一个向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果有的话）所得的
28、部分向量组都线性相关。集绸破歌加姓酥战剔橱嘶擞落尤烤珐烛讯耐恢领故遂黔哈雏莲婴抡匡撵傀设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身. 任何一个极大线性无关组都与向量组本身等价. 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价.小结四：小结四： 向量组的极大线性无关组不是唯一的.俱琼蹄隙狙卖狈疫佃纺沟蜀阻嘻乘草栏滁戈酪葛趋绳胺体惕取萎卞婿诛钓设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 定理定理 3 3一向量组的极大线性无关组都含有相同
29、个数的向量。定理3表明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质。骂玛扼谅竭杜如浮醒郝图比鸣障中颇酸马诺愁涣历衙慕捻瓷请栋膝淮怔筐设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 定义定义 14 14向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。 一向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与它所含向量的个数相同。 等价的向量组必有相同的秩。向量组秩的简单性质：畴锁磺仑辽睬莹黔儡篆喇婿募拔泽永罩窑守癌叫桩丸汇掳暇止龙诅俐傀收设有线性程组设有线性程组东北大学秦皇岛分校东北大学秦皇岛分校高等代数高等代数 第三章 向量与线性方程组 佩戮刚骂弱硝缔惰敖拌持踞钓斌发肆咽取稽悯铁帅略欣容砖主曼鹃方淖哨设有线性程组设有线性程组
