综合评价方法二课件

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1、 数学建模竞赛数学建模竞赛1综合评价方法二3 层次分析法层次分析法 人们在实际问题中常常会遇到各种各样的决策问题，如旅游地的选取问题，旅游者初次筛选几处旅游地，但每个旅游地的景色、所需费用、居住条件、饮食条件交通等各不相同，根据个人的条件和爱好等如何确定旅游地。 再例如，某人准备选购一台电冰箱，他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解后，在决定买那一款式时，往往不是直接进行比较，因为存在许多不可比的因素，而是选取一些中间指标进行考察。例如电冰箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、外界信誉、售后服务等。然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标准下的优劣排序。借助这种排序，最终作出选购决策。2综合评

2、价方法二 在决策时，由于6种电冰箱对于每个中间标准的优劣排序一般是不一致的，因此，决策者首先要对这7个标准的重要度作一个估计，给出一种排序，然后把6种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把这些信息数据综合，得到针对总目标即购买电冰箱的排序权重。 再如：某人准备假期旅游，初次筛选了桂林、黄山和北戴河三处旅游地，但每个旅游地的景色、所需费用、居住条件、饮食条件交通等各不相同，如何在3个旅游地中按照景色、费用、居住条件、饮食和路途6个因素选择一个最佳的旅游地。3综合评价方法二 象这样类似的问题很多，其特点是这类问题所往往涉及到经济、社会、人文等方面的因素。在作比较、判别、评价、决策时这些因素的

3、重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择会起着相当重要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。 4综合评价方法二 层次分析法（analytical hierarchy process ,AHP）是美国匹兹堡大学教授撒泰（A.L.Saaty）于20世纪70年代提出的一种系统分析方法。它综合定性与定量分析，模拟人的决策思维过程，来对多因素复杂系统，特别是难以定量描述的社会系统进行分析。目前，AHP是分析多目标、多准则的复杂公共管理问题的有力工具。它具有思路清晰、方法简便、适用面广、系统性强等特点，便于普及推广，可成为人们工作和生活中思考问题、解决问题的一种方法。将AHP

4、引入决策，是决策科学化的一大进步。它最适宜于解决那些难以完全用定量方法进行分析的公共决策问题。 5综合评价方法二 应用AHP解决问题的思路是，首先，把要解决的问题分层次系列化，将问题分解为不同的组成因素，按照因素之间的相互影响和隶属关系将其分层聚类组合，形成一个递阶的、有序的层次结构模型。然后，对模型中每一层次因素的相对重要性，依据人们对客观现实的判断给予定量表示，再利用数学方法确定每一层次全部因素相对重要性次序的权值。最后，通过综合计算各层因素相对重要性的权值，得到最低层（方案层）相当于最高层（总目标）的相当重要性次序的组合权值，以此作为评价和选择方案的依据。 6综合评价方法二 AHP将人们

5、的思维过程和主观判断数学化，不仅简化了系统分析与计算工作，而且有助于决策者保持其思维过程和决策原则的一致性，对于那些难以全部量化处理的复杂的问题，能得到比较满意的决策结果。因此，它在能源政策分析、产业结构研究、科技成果评价、发展战略规划、人才考核评价以及发展目标分析等许多方面得到广泛的应用。 下面介绍层次分析法的基本原理、步骤、计算方法、及其应用。 7综合评价方法二3.1 层次分析的基本原理层次分析的基本原理 为了说明AHP的基本原理，首先分析下面这个简单的事实。 假定我们已知n只西瓜的每只西瓜的重量分别为，且总和为1，即。把这些西瓜两两比较（相除），很容易得到表示n只西瓜相对重量关系的比较矩

6、阵（以后称之为判断矩阵）：显然 8综合评价方法二对于矩阵，如果满足关系，则称矩阵具有完全一致性。可以证明具有完全一致性的矩阵A=有以下性质：1）A的转置亦是一致阵；2）矩阵A的最大特征根，其余特征根均为零。3）设是A对应的特征向量，则若记9综合评价方法二则矩阵 是完全一致的矩阵，且有AW=nW 即n是n只西瓜相对重量关系的判断矩阵A的一个特征根，每只西瓜的重量对应于矩阵A特征根为n的特征向量W的各个分量。 很自然，我们会提出一个相反的问题，如果事先不知道每只西瓜的重量，也没有衡器去称量，我们如果能设法得到判断矩阵A（比较每两只西瓜的重量是容易的），能否导出每只西瓜的重量呢？ 显然是可以的。 1

7、0综合评价方法二 在判断矩阵具有完全一致的条件下，我们可以通过解特征值问题 AW=W求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为1），从而得到n只西瓜的相对重量。 同样，对于复杂的社会公共管理问题，通过建立层次分析结构模型，构造出判断矩阵，利用特征值方法即可确定各种方案和措施的重要性排序权值，以供决策者参考。 11综合评价方法二对于AHP，判断矩阵的一致性是十分重要的。此时矩阵的最大特征根，其余特征根均为零。在一般情况下，可以证明判断矩阵的最大特征根为单根，且。当判断矩阵具有满意的一致性时，最大的矩阵的特征值为n，其余特征根接近于0，这时，基于AHP得出的结论才基本合理。但由于客观事物的复杂性和人们

8、认识上的多样性，要求判断矩阵都具有完全一致性是不可能的，但我们要求一定程度上的一致，因此对构造的判断矩阵需要进行一致性检验。12综合评价方法二3.2 层次分析法的计算步骤层次分析法的计算步骤一、 建立层次结构模型 运用AHP进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。这些层次大体上可分为3类 1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层； 2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为准则层； 3、最底层：表示为实现目标

9、可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。 13综合评价方法二 层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这里要注意，层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若干子层。14综合评价方法二 例如，大学毕业的选择问题，毕业生需要从收入、社会地位及

10、发展机会方面考虑是否留校工作、读研究生、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图8.1所示的层次结构模型。15综合评价方法二再如，国家综合实力比较的层次结构模型如图6 .2： 图中，最高层表示解决问题的目的，即应用AHP所要达到的目标；中间层表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等；最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。16综合评价方法二 用连线表明上一层因素与下一层的联系。如果某个因素与下一层所有因素均有联系，那么称这个因素与下一层存在完全层次关系。有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下一层次的部分因素有联系。层次之间可以建立子层次

11、。子层次从属于主层次的某个因素。它的因素与下一层次的因素有联系，但不形成独立层次，层次结构模型往往有结构模型表示。17综合评价方法二二、构造判断矩阵 任何系统分析都以一定的信息为基础。AHP的信息基础主要是人们对每一层次各因素的相对重要性给出的判断，这些判断用数值表示出来，写成矩阵形式就是判断矩阵。判断矩阵是AHP工作的出发点，构造判断矩阵是AHP的关键一步。 当上、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元素（目标A或某个准则Z）相联系的下层各元素在上层元素Z之中所占的比重。18综合评价方法二 假定A层中因素Ak与下一层次中因素B1，B2，Bn有联系，则我们构造的判断矩阵如表8.16所示。 表

12、8.16判断距阵B1B2AkB1B2BnBnb11b21bn1b12b22bn2b1nb2nbnn 表 8.16中，bij是对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性的数值表示， 判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性。 19综合评价方法二 填写判断矩阵的方法是：向填写人（专家）反复询问：针对判断矩阵的准则，其中两个元素两两比较哪个重要，重要多少。对重要性程度Saaty等人提出用1-9尺度赋值，见下表8.17表8.17重要性标度含义表若元素与元素j的重要性之比为,则元素j与元素的重要性之比为=重要性标度含义1表示两个元素相比，具有同等重要性3表示两个元素相比，前者

13、比后者稍重要5表示两个元素相比，前者比后者明显重要7表示两个元素相比，前者比后者强烈重要9表示两个元素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8表示上述判断的中间值倒数20综合评价方法二设填写后的判断矩阵为，则判断矩阵具有如下性质：根据上面性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，=1部分，然后再仅需判断及填写上三角形通常先填写或下三角形的n(n-1)/2个元素就可以了。在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性，即满足等式： 当上式对判断矩阵所有元素都成立时，则该判断矩阵为一致性矩阵。21综合评价方法二采用19的比例标度的依据是： （1）心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同属性上差别的分辨能力在1

14、9级之间，采用19的标度反映了大多数人的判断能力； （2）大量的社会调查表明，19的比例标度早已为人们所熟悉和采用； （3）科学考察和实践表明，19的比例标度已完全能区分引起人们感觉差别的事物的各种属性。 因此目前在层次分析法的应用中，大多数都采用尺度。当然，关于不同尺度的讨论一直存在着。 22综合评价方法二三、层次单排序 所谓层次单排序是指根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。它是本层次所有因素相对上一层而言的重要性进行排序的基础。 层次单排序可以归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，即对判断矩阵B，计算满足 BW=W的特征根与特征向量。式中，为B

15、的最大特征根；W为对应于的正规化特征向量；W的分量即是相应因素单排序的权值。为了检验矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标CI，CI的定义为 23综合评价方法二CI=显然，当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0。越大，CI越大，判断矩阵的一致性越差。 注意到矩阵B的n个特征值之和恰好等于n,所以CI相当于除外其余n-1个特征根的平均值。 为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要找出衡量矩阵B的一致性指标CI的标准，Saaty引入了随机一致性指标表8.18。 表8.1819矩阵的平均随机一致性指标阶数123456789RI0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.4

16、1 1.4524综合评价方法二阶数123456789RI0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45对于1阶、2阶判断矩阵，RI只是形式上的，按照我们对判断矩阵所下的定义，1阶、2阶判断矩阵总是完全一致的。当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI，与同阶平均随机一致性的指标RI之比称为判断矩阵的随机一致性比率，记为CR。当CR=0.01时，判断矩阵具有满意的一致性，否则就需对判断矩阵进行调整。四、层次总排序 利用同一层次中所有层次单排序的结果，就可以计算针对上一层次而言本层次所有因素重要性的权值，这就是层次总排序。 25综合评价方法二 层次总排序需要

17、从上到下逐层顺序进行，设已算出第k-1层上n个元素相对于总目标的排序为的单排序向量第k层个元素对于第层上第j个元素为准则其中不受第j个元素支配的元素权重取零，于是可得到阶矩阵其中中的第列为第k层个元素对于第层上第j个元素为准则的单排序向量。26综合评价方法二记第k层上各元素对总目标的总排序为：则 即有27综合评价方法二五、一致性检验 为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，需要计算与单排序类似的检验量。由高层向下，逐层进行检验。 设第k层中某些因素对k-1层第j个元素单排序的一致性指标为，平均随机一致性指标为，(k层中与k-1层的第j个元素无关时，不必考虑)，那么第k层的总排序的一致性比率为：

18、同样当0.10时，我们认为层次总排序的计算结果具有满意的一致性。28综合评价方法二3.3 层次分析法的应用层次分析法的应用 层次分析法在T .L.Saaty正式提出以来，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用，目前它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、医疗、环境等领域。从处理的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等，这个方法在20世纪80年代初引入我国，很快为广大的数学工作者和有关领域的科技人员所接受，得到了成功的应用。29综合评价方法二1、旅游地的选择 问题：某人准备假期旅游，初次筛选了桂林、黄

19、山和北戴河三处旅游地，但每个旅游地的景色、所需费用、居住条件、饮食条件交通等各不相同，如何在3个旅游地中按照景色、费用、居住条件、饮食和路途6个因素选择一个最佳的旅游地。根据层次分析的基本思想，可分以下几步进行处理： 将选择旅游地的决策问题分解为三个层次，最上层为目标层，即选择旅游地，最下层为方案层，有P1（桂林）、P2（黄山）、P3（北戴河）三个供选择的地点，中间层为准则层，有C1（景色）、C2（费用）、C3（居住）、C4（饮食）、C5（旅途）5个准则，各层间的联系用相连的直线表示如图8.3所示。30综合评价方法二目标层O(选择旅游地) 准则层C1景色C2费用C3居住C4饮食C5旅途方案层P

20、1桂林P2黄山P3北戴河 相对于总目标而言，根据旅游者自己的喜好，给出5个准则之间的相对重要性，利用Saaty等人提出用1-9尺度赋值，构造准则层对目标的成对比较阵构造判断矩阵31综合评价方法二这里，判断矩阵是不一致，如，为了计算对于上一层选择旅游地而言本层次的5个准则的重要性次序的权值和判断矩阵是否具有满意的一致性，利用MATLAB软件可求出矩阵A的最大特征根=5.073及对应于的正规化特征向量=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110。一致性指标CI= 32综合评价方法二随机一致性指标 RI=1.12 (n=5,查表)，一致性比率CR= = 0.018/1.12=0.0

21、160.1 通过一致性检验，所以判断矩阵具有满意的一致性。对于上一层选择旅游地而言本层次的5个准则的重要性次序的权值=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量：方案层对C1(景色)的成对比较阵 33综合评价方法二最大特征根 对应于的正规化特征向量=(0.595,0.276,0.128。 一致性指标随机一致性指标=0.58(n=3)， 一致性比率CR=0.003/0.58=0.00520.1，通过一致性检验，判断矩阵具有满意的一致性。 所以对于上一层景色而言本层次的3个方案的重要性次序的权值 =(0.595,0.276,0.

22、12834综合评价方法二 方案层对C2(费用)的成对比较阵最大特征根 对应于的正规化特征向量=(0.082,0.236,0.682 一致性指标随机一致性指标=0.58(n=3)， CR=0.001/0.58=0.00170.1,一致性比率 通过一致性检验，所以判断矩阵具有满意的一致性。对于上一层费用而言本层次的3个方案的重要性次序的权值(0.082,0.236,0.682。35综合评价方法二方案层对C3(居住)的成对比较阵最大特征根对应于的正规化特征向量=(0.429,0.429,0.142通过一致性检验，所以判断矩阵具有满意的一致性。对于上一层居住而言本层次的3个方案的重要性次序的权值随机一

23、致性指标 RI=0.58 (n=3)，一致性比率=0/0.58=00.1=(0.429,0.429,0.142一致性指标36综合评价方法二方案层对C4(饮食)的成对比较阵最大特征根对应于的正规化特征向量通过一致性检验，所以判断矩阵具有满意的一致性。对于上一层饮食而言本层次的3个方案的重要性次序的权值随机一致性指标 RI=0.58 (n=3)，一致性比率=(0.634,0.192,0.174CR=0.0045/0.58=0.00780.1,=(0.634,0.192,0.174一致性指标37综合评价方法二方案层对C5(旅途)的成对比较阵最大特征根对应于的正规化特征向量通过一致性检验，所以判断矩阵

24、具有满意的一致性。对于上一层旅途而言本层次的3个方案的重要性次序的权值随机一致性指标 RI=0.58 (n=3)，一致性比率(0.167,0.167,0.667 CR=0/0.58=00.1(0.167,0.167,0.667一致性指标38综合评价方法二第3层（方案层）对第1层（目标层）的组合权向量 即选取桂林、黄山、北戴河的权重分别为0.299、0.245和0.455. 组合一致性检验39综合评价方法二记,=0.003 通过一致性检验，我们认为层次总排序的计算结果具有满意的一致性，所以旅游地的选取次序为北戴河、桂林、黄山，它们的权重分别为0.455、0.299和0.245.40综合评价方法二

25、3.4层次分析法的优点和局限性层次分析法的优点和局限性1 系统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策 ，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。2 实用性 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。41综合评价方法二3 简洁性 具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。 以上三点体现了层次分

26、析法的优点，该法的局限性主要表现在以下几个方面： 第一 只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。 第二 该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。 第三 从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。 42综合评价方法二 层次分析法是一种定性分析与定量分析相结合的系统分析方法，其解决问题的思路是：首先，把要解决的问题分层系列化。然后，对模型中每一层因素的相对重要性，依据人们对客观现实的判断给予定量表示，再利用数学方法确定每一层次全部因素相对重要性次序的权值。最后，通过综合计算各层因素相对重要性的权值，得到最低层（方案层）相对于最高层（总目标）的相对重要性次序的组合权值，以次作为评价和选择方案的依据。43综合评价方法二